高中数学苏教版（2019）必修第二册解三角形单元检测卷word版含答案

解三角形单元检测
一、单选题
1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
2．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在△中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．在中，角的对边分别是，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
二、多选题
9．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
10．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是等边三角形
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．为直角三角形 D．若，则外接圆半径为
12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．中，内角，，的对边分别为，，，若面积为，，且，则________．
14．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且千米，若要求观景台D与两接送点所成角∠EDF与∠BAC互补且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE与DF，当观光线路之和最长时，观景台D到A点的距离______千米.
15．如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______．
16．四面体中，，，，，若为中点，则长为___________.
四、解答题
17．已知锐角△的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的值；
(2)求的最小值.
18．已知△中，
(1)若a＝3，，，求c；
(2)若a＝8，，，求c；
(3)若a＝7，，，求c；
(4)若a＝14，，，求∠C．
19．如图所示，已知直线，，并交于点，交于点，是上一定点，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，设．
(1)若，试比较△与△面积的大小；
(2)若，，求△与△面积之和的最小值．
20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求△ABC的面积.
21．如图，在中，AB＝AC，D为BC上一点，分别作和的外接圆．试比较两个外接圆的大小，并说明理由．
22．如图，两条笔直的公路相交成60°角，两辆汽车A和B同时从交点O出发，分别沿两条公路行驶．如果汽车A的速度是48km/h，那么汽车B应以多大的速度行驶，才能使这两辆汽车在出发1h后相距43km(结果精确到1km/h)？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据方向角的概念判断即可.
【详解】
根据方向角的概念可知A正确．
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.
【详解】
已知，由正弦定理，得，
所以，有，
由，
得，
，
，
，
，
由，解得，
又，所以.
故选：A.
3．A
【解析】
【分析】
根据正弦定理及同角关系可得，再用余弦定理可求解.
【详解】
由，根据正弦定理有：
，
因为在三角形中,，所以，
从而有
再由余弦定理有：，解得.
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，进而可得结果.
【详解】
因为，
由正弦定理可得，
由于，即，所以，得，
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
诱导公式化简后用正弦定理得到，利用正切值求出正弦与余弦值，根据余弦定理求出，利用面积公式求出答案.
【详解】
由题意得，，由正弦定理得，.
∵，，联立两式，解得，.由余弦定理得，，即，解得：，
∴.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
结合三角形的边角关系以及正弦定理得到，从而有，进而结合余弦定理可得到关于的不等式组，进而求出结果.
【详解】
由于为最大角，则的对边最长，则，得出.，得，由于为锐角三角形，则，，则.
即，整理得，解得. 则实数的最小值是1.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理直接求解即可
【详解】
依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
在三角形中由正弦定理，即可求出答案.
【详解】
由正弦定理得.
或.，（舍）.
故.
故选：A.
9．ABD
【解析】
【分析】
先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】
依题意，设，
所以，
由正弦定理得：，故选项A正确；
，
故,选项B正确；
若，则，所以，所以，
所以，故的面积是：，故选项C不正确；
若，则，所以，所以，
所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，
故选项D正确.
故选：ABD
10．ACD
【解析】
【分析】
根据正弦定理与余弦定理，可判断AC选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B选项；根据余弦定理,结合b2＝ac，求得a=c，即可判断D选项.
【详解】
A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得，故A正确；
B选项，在中，若，则或，所以或，故B错误；
C选项，若，则，而，所以角为钝角，即为钝角三角形，故C正确；
D选项，若B＝60°，b2＝ac，所以，而b2＝ac，
所以，所以，即，则，
又B＝60°，所以△ABC是等边三角形.
故选：ACD.
11．AD
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合已知可判断选项A；利用余弦定理结合已知可计算判断选项B，C；先求出，再借助正弦定理计算即可判断D并作答.
【详解】
在中，由正弦定理得，A正确；
令，显然是最大角，由余弦定理得：
，则是锐角，B，C都不正确；
因，则，令外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得，D正确.
故选：AD
12．ACD
【解析】
【分析】
根据正弦定理知A正确，计算最大角为锐角，B错误，根据面积公式得到C正确，根据正弦定理得到D正确，得到答案.
【详解】
，A正确；
，三角形最大角为锐角，B错误；
，故，，
设内切圆半径为，则，故，C正确；
，，D正确.
故选：ACD.
13．
【解析】
【分析】
先由三角形的面积求出，再由余弦定理可求出结果
【详解】
由，得，
所以．
从而．
故答案为：
14．4
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
在中，，，故.
设，又，所以，
，在中，根据正弦定理，得
，
故，，
所以，，当时，
最大，此时，所以.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
设，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值．
【详解】
，
设，，则，
中，，由正弦定理，
，所以，
，
所以，即时，取得最大值．
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得，，由，求得，计算即可得出结果.
【详解】
在中，，
由余弦定理可得，,
所以，
同理，在中，，
在中，，，所以，
因为E为CD的中点，则在中，，
，
所以
故答案为：
17．(1)；
(2)3.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，应用正余弦定理可得，根据锐角三角形的性质即可求A的值；
（2）由（1）及和角正切公式可得，再应用基本不等式及换元法将其转化为一元二次不等式求解集，即可确定最小值，注意等号成立条件.
(1)
由正弦定理知：，则，
因为△为锐角三角形，故，
所以，可得.
(2)
由，又，
所以，则，当且仅当时等号成立，
令，则，即，
解得，即，当时等号成立.
所以的最小值为3.
18．(1)；
(2)；
(3)
(4)或.
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理，代值计算即可；
（2）根据余弦定理，代值计算即可；
（3）根据三角形内角和求得，再利用正弦定理即可求得结果；
（4）根据正弦定理求得，再根据三角形内角和即可求得.
(1)
根据余弦定理：可得，
整理得，解得（舍）或.
故.
(2)
根据余弦定理：可得，
整理得，解得（舍）或.
故.
(3)
因为，故可得，
由正弦定理可得，解得.
(4)
由正弦定理可得，解得，故或，
当时，；当，.
故或.
19．(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设易得△△且相似比为，讨论判断△与△面积的大小关系；
（2）由图知，结合（1）求相关线段的长度，进而得到面积关于的表达式，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件.
(1)
由，，则，又，
所以△、△中，即，，
所以△△，相似比为，
当，即时，△面积比△大；
当，即时，△、△面积相等；
当，即时，△面积比△小；
(2)
由题设，，由（1）知：，，
所以，又，
故，当且仅当时等号成立，
所以△与△面积之和的最小值为.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
(1)
由正弦定理可得，
又，所以，因此，
又，所以；
(2)
由余弦定理，得，
所以，
所以△ABC的面积.
21．两外接圆一样大，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据正弦定理即可得答案.
【详解】
解：，
两外接圆一样大.
22．或
【解析】
【分析】
设1小时后，汽车在点，汽车在点，问题即为，在三角形中，已知，，且，求的长，利用余弦定理，列出的方程，解出即可．
【详解】
如图：
设1小时后，汽车在点，汽车在点，
由已知：在中，，，，
由余弦定理得，
即，
化简得，
解得或13．
∴汽车的速度是，或时，两辆汽车在出发后相距．
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