高中数学苏教版（2019）必修第二册解三角形单元检测卷Bword版含答案

解三角形单元检测
一、单选题
1．某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
2．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中， 所对的边分别为 ，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a-b=2bcosC，则（ ）
A．C=2B B．B的取值范围是
C．B=2C D．的取值范围是
10．已知a，b，c分别为的三个内角A， B，C的对边，a=2， 且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则以下四个命题中正确命题有（　　）
A．A=60°
B．三角形△ABC面积的最小值为
C．三角形△ABC周长的最小值为6
D．三角形△ABC面积的最大值为
11．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则为钝角三角形
D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
12．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是等边三角形
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知，则________．
14．已知锐角的面积为9，，点D在边上，且，则的长为__________．
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.
16．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
四、解答题
17．如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．
18．已知锐角△的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的值；
(2)求的最小值.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．
(1)求B；
(2)设D是AB边上点，且，求证：．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若a=5，c=2，D为边BC的中点，求cos2∠ADC的值．
21．如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．
22．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，点D满足且，求边b的长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据高可得三边之比，再根据余弦定理可得正确的选项
【详解】
因为三条高线的长度为，故三边之比为，
设最大边所对的角为，则，
而为三角形内角，故为钝角，故三角形为钝角三角形，
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求.
【详解】
因为，所以.
因为，所以，
故外接圆的半径为5.
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得.
【详解】
，则，
由余弦定理得.
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.
【详解】
因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
设外接圆的半径为，由正统定理得，，
所以，
所以外接圆的面积是.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】
因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.
【详解】
根据题意，由正弦定理，可得：，
解得，故可得或，
由，可得，故.
故选：B.
7．C
【解析】
【分析】
解法一：根据得到，再根据，利用余弦定理得到 ，利用余弦定理求解；解法二：根据得到，再由，得到，利用正弦定理求解.
【详解】
解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，
∴．
故选：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，
∴．
故选：C．
8．D
【解析】
【分析】
由余弦定理得出，再求的面积.
【详解】
由，得．因为，，，所以，故的面积．
故选：D
9．AB
【解析】
【分析】
由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得，可判断；再由锐角三角形的定义可判断；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断．
【详解】
解：由，可得，
即，
即有，
因为三角形为锐角三角形，
所以，即，故正确，错误；
由，，且，解得，故正确；
而，，故错误．
故选：．
10．AD
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得由此求得.利用基本不等式求得，由此求得三角形面积的最大值.结合图象判断BC选项的正确性，
【详解】
由a=2且（2 + b）（sinA-sin B）=（c-b）sinC，
即（a + b）（sin A-sin B）=（c-b）sinC，由及正弦定理得∶ （a+b）（a-b）=（c- b）c
∴， 故，∴∠A=60°，A选项正确.
由于，所以，即，当且仅当时等号成立.∴.D选项正确.
对于B选项，当时，设三角形外接圆的直径为，则.
画出三角形的图象如下图所示，当在上方运动时，和为定值，边上的高接近，所以B错误.
对于D选项，由上图可知，当接近或接近时，三角形的周长接近（但不等于），所以C选项错误.
故选：AD
11．BC
【解析】
【分析】
A.可以判断出A=B,或，即△ABC是等腰三角形或直角三角形;B.利用诱导公式进行判断;C.由正弦定理和余弦定理判断出C为钝角即可;D.先由三角形面积求出c=4.由余弦定理求得：，利用正弦定理即可求得.
【详解】
对于△ABC：
A.∵,∴2A=2B,或,解得:A=B,或，则△ABC是等腰三角形或直角三角形,因此A不正确;
B.∵△ABC是锐角三角形,∴,∴,化为sinA>cosB恒成立,因此B正确;
C.∵，∴，由正弦定理可得：，∴，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形，因此C正确;
D. 因为，三角形面积，所以,解得：c=4.由余弦定理得：.由正弦定理，三角形的外接圆半径满足：,所以半径为.因此D不正确.
故选：BC
12．ACD
【解析】
【分析】
根据正弦定理与余弦定理，可判断AC选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B选项；根据余弦定理,结合b2＝ac，求得a=c，即可判断D选项.
【详解】
A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得，故A正确；
B选项，在中，若，则或，所以或，故B错误；
C选项，若，则，而，所以角为钝角，即为钝角三角形，故C正确；
D选项，若B＝60°，b2＝ac，所以，而b2＝ac，
所以，所以，即，则，
又B＝60°，所以△ABC是等边三角形.
故选：ACD.
13．2
【解析】
【分析】
由题意结合正弦定理可得，即可得解.
【详解】
，
，
.
故答案为：.
14．4
【解析】
【分析】
先求出，利用面积为9求出，在中，由余弦定理求出．
【详解】
因为，所以，所以，则，所以，所以，，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
故答案为：4
15．##0.75
【解析】
【分析】
利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】
在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.
【详解】
在△ABM中，，则（m），
在△ACM中，因为，，
所以.
因为，
所以（m），
故（m）.
故答案为：
17．
【解析】
【分析】
根据题意，计算得的值，根据正弦定理计算.
【详解】
在中，，，，由正弦定理得，，即，所以灯塔S到B处的距离为
18．(1)；
(2)3.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，应用正余弦定理可得，根据锐角三角形的性质即可求A的值；
（2）由（1）及和角正切公式可得，再应用基本不等式及换元法将其转化为一元二次不等式求解集，即可确定最小值，注意等号成立条件.
(1)
由正弦定理知：，则，
因为△为锐角三角形，故，
所以，可得.
(2)
由，又，
所以，则，当且仅当时等号成立，
令，则，即，
解得，即，当时等号成立.
所以的最小值为3.
19．(1)；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用同角关系式及正弦定理即求；
（2）利用和角公式可得，然后利用正弦定理可得，再利用向量法求得，即证.
(1)
∵在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
∴，又，，
∴，
又，，
∴；
(2)
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；
（2）在中利用余弦定理及正弦定理求出，再根据计算即可.
(1)
在中，由及正弦定理得，
即，
由余弦定理，
而，所以角；
(2)
因为，所以，
由（1）知，
中，由余弦定理得，，
所以．
由正弦定理得，故，
故．
21．km
【解析】
【分析】
由题意，先计算得，，，由正弦定理计算，再由余弦定理计算
【详解】
∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°
在△ADC中由正弦定理得：
∴
在△CDB中由正弦定理得：
∴
在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5
∴AB＝km
答：A、B两点间的距离为km
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小；
（2）利用余弦定理建立方程组，联立方程组可得结果.
(1)
由正弦定理化简可得
，
即
所以
因为，所以即
因为可得
所以即.
(2)
由，可知在一条直线上且，
在中，由余弦定理得
①
②
在中，由余弦定理可得
即③
②×2+③得即④
联立①④可得，解得或（舍），
所以，.
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