2013年中考数学复习 第12讲 分式方程
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| 名称 | 2013年中考数学复习 第12讲 分式方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 177.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 新人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-12-17 10:27:33 | ||
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文档简介
第12讲 分式方程
本讲重点：分式方程的概念、解法及其应用.
【考点链接】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
【典例探究】
考点1 分式方程的解法
『例1』（1）（2012梅州）解方程：;
（2）（2012苏州）解分式方程：;
（3）（2012山西）解方程：．
『解析』（1）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1），整理，，3x=1，解得x=．
经检验，x=是原方程的解．故原方程的解是x=．
（2）去分母得：3x+x+2=4，解得：x=，
经检验，x=是原方程的解．
（3）方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，
化简，﹣6x=﹣3，解得x=．检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0
所以，x=是原方程的解．
『备考兵法』解分式方程分三大步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
考点2 列分式方程解应用题
『例2』（2012珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
『解析』（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，
解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．
答：第一次每只铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得，y≥6．
答：每支售价至少是6元．
『备考兵法』分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
考点3 探究型问题
『例3』（2011杭州市模拟）阅读下列材料解答下列问题：
观察下列方程：；；……
（1）按此规律写出关于x的第n个方程为 ，此方程的解为
（2）根据上述结论，求出的解.
『解析』（1）； .
（2）.
由（1）得，
∴ .
经检验，，是原方程的解.
『备考兵法』考查简单情形提出猜想是解这类问题的关键.
【当堂过关】
1. （2012宿迁模拟）方程的解是（ ）
A、﹣1 B、2 C、1 D、0
『解析』方程的两边同乘（x+1），得2x﹣x﹣1=1，解得x=2，检验得原方程的解为x=2．
『答案』B
2. （2012东营市模拟）分式方程的解为（ ）
A、 B、 C、x=5 D、无解
『解析』方程的两边同乘2（x-2），得3-2x=x-2，解并检验得．
『答案』B
3. （2012长春模拟）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
『解析』根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
『答案』A
4. （2012重庆模拟）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为 ．
『解析』解分式方程得：x=，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为．
『答案』
5. (2012连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为
元．
『解析』假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出 (1＋10%)＝，解得：x＝2200，经检验得出：x＝2200是原方程的解.
『答案』2200
6. (1) （2012武汉）解方程：．
(2) （2012重庆）解方程：．
解：(1)方程两边都乘以3x（x+5）得，6x=x+5，解得x=1，
检验：当x=1时，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0，
所以x=1是方程的根，因此，原分式方程的解是x=1．
(2)方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣2）得，2（x﹣2）=x﹣1，2x﹣4=x﹣1，x=3，
经检验，x=3是原方程的解，所以，原分式方程的解是x=3．
7. （2012丹东模拟）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
解：（1）设第一次购进x件玩具，=﹣2.5，x=100，2x=2×100=200.
答：第二次购进200件文具．
（2）（100+200）×15﹣1000﹣2500=1000（元）．答：盈利1000元．
8. （2012安顺）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
解：设原计划每天铺设管道x米，则，
解得x=10，经检验，x=10是原方程的解．
答：原计划每天铺设管道10米．
【浙江两年中考】
1. （2012丽水）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
『解析』根据各分母寻找公分母x(x＋4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程.
『答案』D
2. （2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
『解析』由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x＋20千米/时.等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了，即回来时路上所花时间是去时路上所花时间的.
『答案』A
3. （2012温州）若代数式的值为零，则x= .
『解析』由=0，得x=3.
『答案』3
4. （2012宁波）分式方程的解是 ．
『解析』方程的两边同乘2（x+4），得2（x﹣2）=x+4，解得x=8.检验得x=8.
『答案』x=8
5. （2011义乌）解分式方程：＝．
解：2（x＋3）＝3（x－2），解得：x＝12，检验：当x＝12时，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
【命题趋势提醒】
分式方程是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题等，主要考查分式方程的解法和与分式方程有关的实际问题.
【迎考精炼】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1. （2012芜湖模拟）分式方程的解是（ ）
A、x=﹣2 B、x=2 C、x=1 D、x=1或x=2
『解析』方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验得原方程的解为x=1．
『答案』C
2. （2012成都）分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
『解析』去分母得3x﹣3=2x，移项得3x﹣2x=3， x=3，检验.
『答案』C
3. （2012山西模拟）分式方程的解为（ ）
A、x=﹣1 B、x=1 C、x=2 D、x=3
『解析』方程的两边同乘2x（x+3），得x+3=4x，解得x=1．检验得原方程的解为x=1．
『答案』B
4. （2012年宿迁模拟）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A、a<－1 B、a≠－2 C、a＜－1且a≠－2 D、a＞－1且a≠2
『解析』解方程后列不等式组求解.
『答案』C
5. （2012上海市奉贤调研试题）解方程时，如果设，那么原方程可变形为关于的整式方程是（ ）
．； ．；
．； ．．
『解析』去分母即得.
『答案』B
6. （2012天水模拟）如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与，且点A、B到原点的距离相等．则x=（ ）
A、－2.2 B、2.2 C、x= D、－
『解析』∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与，点A、B到原点的距离相等，∴4=，∴x=2.2．检验：把x=2.2代入3x﹣5≠0，∴分式方程的解为：x=2.2．
『答案』B
7. （教材习题变式题）方程1+=0有增根，则增根是( )
A.1 B.－1 C.±1 D.0
『解析』使分母为0的根是增根.
『答案』A
8. （2012黑河模拟）分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A、0和3 B、1 C、1和﹣2 D、3
『解析』∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x=1，x=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3；当x=﹣2时，m=﹣2+2=0．
『答案』A
9. （2012沈阳模拟）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A、 B、
C、 D、
『解析』若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
『答案』A
10. （2012綦江模拟）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
『解析』根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列出分式方程．
『答案』B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）
11. （2012无锡）方程的解为 ．
『解析』方程的两边同乘x（x﹣2），得：4（x﹣2）﹣3x=0，解得：x=8．检验得原方程的解为x=8．
『答案』x=8
12. （2012广安模拟）分式方程的解＝_____________．
『解析』方程两边都乘(2x＋5)(2x－5)，得，
整理，得，解得．经检验是原分式方程的解．
『答案』
13. （2012乐山模拟）当x= 时，．
『解析』去分母得x﹣2=1，∴x=3，检验原方程的根为x=3．
『答案』3
14. （2012成都模拟）已知x＝1是分式方程的根，则实数k＝ ．
『解析』将x＝1代入得，， 解得，k＝．
『答案』
15. （2012青岛模拟）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为 ．
『解析』由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．
『答案』
16. （2012阜新模拟）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程是 ．
『解析』若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．
『答案』
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17.（8分）（1）（2012宁夏模拟）解方程：；
（2）（2012威海模拟）解方程：=0．
解：（1）原方程两边同乘（x﹣1）（x+2），
得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3（x﹣1），展开、整理得﹣4x=﹣5，解得x=，
检验：当x=时，（x﹣1）（x+2）≠0，∴原方程的解为：x=．
（2）方程的两边同乘（x–1）（x+1），得3x+3–x–3=0，解得x=0． 检验：把x=0代入（x–1）（x+1）=–1≠0．∴原方程的解为：x=0．
18.（6分）（2012信阳市二中模拟）先化简÷?(1+)，若结果等于，求出相应的的值．
解:原式=???=． 由=，可解得=±．
19.（8分）（201淮安模拟）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？
解：设小峰每分钟跳x个，则=，x=50，
检验：x=50时，x（x+20）=3500≠0．∴x=50是原方程的解．
答：小峰每分钟跳50个．
20.（8分）(2012扬州)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？
解：设原计划每天种x棵树，据题意得，
，解得x＝30，经检验得出：x＝30是原方程的解．
答：原计划每天种30棵树．
21.（8分）（2012徐州模拟）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．
（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程： ；
（2）求A车的平均速度及行驶时间．
解：（1）设A车的平均速度是xkm/h，可列分式方程:．
（2）设B车的速度是xkn/h．．解得；x=130．2x=260．
650÷260=2.5故A车的平均速度是260千米每小时，行驶的时间2.5小时．
22.（8分）（2012防城港模拟）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．
（1）求两批水果共购进了多少千克？
（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？
（利润率＝×100%）
解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意，得，解得x＝200，经检验x＝200是原方程的解，∴x＋2.5x＝700．
答：这两批水果共购进700千克．
（2）设售价为每千克a元，根据题意，得，
630a≥7500×1.26，a≥，∴a≥15，
答：售价至少为每千克15元．
本讲重点：分式方程的概念、解法及其应用.
【考点链接】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
【典例探究】
考点1 分式方程的解法
『例1』（1）（2012梅州）解方程：;
（2）（2012苏州）解分式方程：;
（3）（2012山西）解方程：．
『解析』（1）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1），整理，，3x=1，解得x=．
经检验，x=是原方程的解．故原方程的解是x=．
（2）去分母得：3x+x+2=4，解得：x=，
经检验，x=是原方程的解．
（3）方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，
化简，﹣6x=﹣3，解得x=．检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0
所以，x=是原方程的解．
『备考兵法』解分式方程分三大步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
考点2 列分式方程解应用题
『例2』（2012珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
『解析』（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，
解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．
答：第一次每只铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得，y≥6．
答：每支售价至少是6元．
『备考兵法』分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
考点3 探究型问题
『例3』（2011杭州市模拟）阅读下列材料解答下列问题：
观察下列方程：；；……
（1）按此规律写出关于x的第n个方程为 ，此方程的解为
（2）根据上述结论，求出的解.
『解析』（1）； .
（2）.
由（1）得，
∴ .
经检验，，是原方程的解.
『备考兵法』考查简单情形提出猜想是解这类问题的关键.
【当堂过关】
1. （2012宿迁模拟）方程的解是（ ）
A、﹣1 B、2 C、1 D、0
『解析』方程的两边同乘（x+1），得2x﹣x﹣1=1，解得x=2，检验得原方程的解为x=2．
『答案』B
2. （2012东营市模拟）分式方程的解为（ ）
A、 B、 C、x=5 D、无解
『解析』方程的两边同乘2（x-2），得3-2x=x-2，解并检验得．
『答案』B
3. （2012长春模拟）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
『解析』根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
『答案』A
4. （2012重庆模拟）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为 ．
『解析』解分式方程得：x=，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为．
『答案』
5. (2012连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为
元．
『解析』假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出 (1＋10%)＝，解得：x＝2200，经检验得出：x＝2200是原方程的解.
『答案』2200
6. (1) （2012武汉）解方程：．
(2) （2012重庆）解方程：．
解：(1)方程两边都乘以3x（x+5）得，6x=x+5，解得x=1，
检验：当x=1时，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0，
所以x=1是方程的根，因此，原分式方程的解是x=1．
(2)方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣2）得，2（x﹣2）=x﹣1，2x﹣4=x﹣1，x=3，
经检验，x=3是原方程的解，所以，原分式方程的解是x=3．
7. （2012丹东模拟）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
解：（1）设第一次购进x件玩具，=﹣2.5，x=100，2x=2×100=200.
答：第二次购进200件文具．
（2）（100+200）×15﹣1000﹣2500=1000（元）．答：盈利1000元．
8. （2012安顺）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
解：设原计划每天铺设管道x米，则，
解得x=10，经检验，x=10是原方程的解．
答：原计划每天铺设管道10米．
【浙江两年中考】
1. （2012丽水）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
『解析』根据各分母寻找公分母x(x＋4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程.
『答案』D
2. （2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
『解析』由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x＋20千米/时.等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了，即回来时路上所花时间是去时路上所花时间的.
『答案』A
3. （2012温州）若代数式的值为零，则x= .
『解析』由=0，得x=3.
『答案』3
4. （2012宁波）分式方程的解是 ．
『解析』方程的两边同乘2（x+4），得2（x﹣2）=x+4，解得x=8.检验得x=8.
『答案』x=8
5. （2011义乌）解分式方程：＝．
解：2（x＋3）＝3（x－2），解得：x＝12，检验：当x＝12时，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
【命题趋势提醒】
分式方程是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题等，主要考查分式方程的解法和与分式方程有关的实际问题.
【迎考精炼】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1. （2012芜湖模拟）分式方程的解是（ ）
A、x=﹣2 B、x=2 C、x=1 D、x=1或x=2
『解析』方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验得原方程的解为x=1．
『答案』C
2. （2012成都）分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
『解析』去分母得3x﹣3=2x，移项得3x﹣2x=3， x=3，检验.
『答案』C
3. （2012山西模拟）分式方程的解为（ ）
A、x=﹣1 B、x=1 C、x=2 D、x=3
『解析』方程的两边同乘2x（x+3），得x+3=4x，解得x=1．检验得原方程的解为x=1．
『答案』B
4. （2012年宿迁模拟）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A、a<－1 B、a≠－2 C、a＜－1且a≠－2 D、a＞－1且a≠2
『解析』解方程后列不等式组求解.
『答案』C
5. （2012上海市奉贤调研试题）解方程时，如果设，那么原方程可变形为关于的整式方程是（ ）
．； ．；
．； ．．
『解析』去分母即得.
『答案』B
6. （2012天水模拟）如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与，且点A、B到原点的距离相等．则x=（ ）
A、－2.2 B、2.2 C、x= D、－
『解析』∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与，点A、B到原点的距离相等，∴4=，∴x=2.2．检验：把x=2.2代入3x﹣5≠0，∴分式方程的解为：x=2.2．
『答案』B
7. （教材习题变式题）方程1+=0有增根，则增根是( )
A.1 B.－1 C.±1 D.0
『解析』使分母为0的根是增根.
『答案』A
8. （2012黑河模拟）分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A、0和3 B、1 C、1和﹣2 D、3
『解析』∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x=1，x=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3；当x=﹣2时，m=﹣2+2=0．
『答案』A
9. （2012沈阳模拟）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）
A、 B、
C、 D、
『解析』若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
『答案』A
10. （2012綦江模拟）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
『解析』根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列出分式方程．
『答案』B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）
11. （2012无锡）方程的解为 ．
『解析』方程的两边同乘x（x﹣2），得：4（x﹣2）﹣3x=0，解得：x=8．检验得原方程的解为x=8．
『答案』x=8
12. （2012广安模拟）分式方程的解＝_____________．
『解析』方程两边都乘(2x＋5)(2x－5)，得，
整理，得，解得．经检验是原分式方程的解．
『答案』
13. （2012乐山模拟）当x= 时，．
『解析』去分母得x﹣2=1，∴x=3，检验原方程的根为x=3．
『答案』3
14. （2012成都模拟）已知x＝1是分式方程的根，则实数k＝ ．
『解析』将x＝1代入得，， 解得，k＝．
『答案』
15. （2012青岛模拟）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为 ．
『解析』由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．
『答案』
16. （2012阜新模拟）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程是 ．
『解析』若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．
『答案』
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17.（8分）（1）（2012宁夏模拟）解方程：；
（2）（2012威海模拟）解方程：=0．
解：（1）原方程两边同乘（x﹣1）（x+2），
得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3（x﹣1），展开、整理得﹣4x=﹣5，解得x=，
检验：当x=时，（x﹣1）（x+2）≠0，∴原方程的解为：x=．
（2）方程的两边同乘（x–1）（x+1），得3x+3–x–3=0，解得x=0． 检验：把x=0代入（x–1）（x+1）=–1≠0．∴原方程的解为：x=0．
18.（6分）（2012信阳市二中模拟）先化简÷?(1+)，若结果等于，求出相应的的值．
解:原式=???=． 由=，可解得=±．
19.（8分）（201淮安模拟）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？
解：设小峰每分钟跳x个，则=，x=50，
检验：x=50时，x（x+20）=3500≠0．∴x=50是原方程的解．
答：小峰每分钟跳50个．
20.（8分）(2012扬州)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？
解：设原计划每天种x棵树，据题意得，
，解得x＝30，经检验得出：x＝30是原方程的解．
答：原计划每天种30棵树．
21.（8分）（2012徐州模拟）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．
（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程： ；
（2）求A车的平均速度及行驶时间．
解：（1）设A车的平均速度是xkm/h，可列分式方程:．
（2）设B车的速度是xkn/h．．解得；x=130．2x=260．
650÷260=2.5故A车的平均速度是260千米每小时，行驶的时间2.5小时．
22.（8分）（2012防城港模拟）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．
（1）求两批水果共购进了多少千克？
（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？
（利润率＝×100%）
解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意，得，解得x＝200，经检验x＝200是原方程的解，∴x＋2.5x＝700．
答：这两批水果共购进700千克．
（2）设售价为每千克a元，根据题意，得，
630a≥7500×1.26，a≥，∴a≥15，
答：售价至少为每千克15元．
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