高中数学苏教版（2019）必修第二册复数单元测试卷word版含答案

复数单元测试卷
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（，，i为虚数单位），复数，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．复数z满足i（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．1 B．－1 C．i D．－i
4．若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
5．已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
7．复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于复数知识的论述，错误的有（ ）
A．在复数集内因式分解的结果是
B．
C．在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数
D．复数的虚部为
11．已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点坐标为
B．的虚部为
C．
D．为纯虚数
12．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）
A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.
14．写出一个同时满足下列条件的复数________.①；②复数z在复平面内对应的点在第四象限.
15．若复数，则的最大值为______．
16．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．
四、解答题
17．（1）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．
（2）计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021．
18．已知，，，，，求．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.
21．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
22．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
首先求出，再根据复数代数形式的乘法法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
对化简，可求出复数，从而可求出
【详解】
由，得．所以
因为，所以，，
所以．
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
根据题意复数的除法运算可得可得，再结合虚部的概念即可得解.
【详解】
由，可得，
故虚部为，
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据复数的分类，纯虚数的概念，求出a，即可判断出点得象限．
【详解】
∵复数﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
利用复数的模公式化简求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
即，
化简得：，
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由复数相等，应用复数的乘法求出复数z的代数形式，进而求模即可.
【详解】
由题设，，
所以.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
先化简复数，再得共轭复数，由复数的几何意义可判断对应的点所在象限.
【详解】
，所以共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标为，可知该点在第四象限.
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】
由题意得，，
所以复数的虚部为.
故选：A.
9．AD
【解析】
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
，，
，，，
故选：AD.
10．ABCD
【解析】
【分析】
由可判断A；
虚数不可比较大小可判断B；
原点表示实数0可判断C；
复数的虚部为可判断D
【详解】
选项A：在复数集内，由于，因式分解的结果是，故A错误；
选项B：虚数不可比较大小，故B错误；
选项C：在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数（除了原点），故C错误；
选项D：复数的虚部为，故D错误.
故选：ABCD
11．CD
【解析】
【分析】
根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.
【详解】
复数．因为，所以，，所以原式，所以选项A错误；复数的虚部为，所以选项B错误；，所以选项C正确；，所以选项D正确.
故选：CD.
12．BC
【解析】
【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
，，
所以，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
共轭复数为，故C正确；
复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.
故选：BC.
13．##2.5
【解析】
【分析】
由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出的代数形式，代入计算作答.
【详解】
因，是方程有两个虚根，设，则，
由得：，解得，
又，即，因，
于是得：，解得，，
所以m的值是.
故答案为：
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.
【详解】
不妨令，则，复数z在复平面内对应的点位于第四象限，满足①②，故符合题意（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
15．2
【解析】
【分析】
根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
，当时，，
故答案为：
16．##
【解析】
【分析】
设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．
【详解】
解：设，则，
甲：由可得，则，
乙：由可得：，
丙：由可得，即，所以，
若，则，则不成立，，则，解得或，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，
所以，
故答案为：．
17．（1）32＋7i；（2）1011i.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的乘法运算法则即可求解；
（2）根据复数乘方的运算法则即可求解.
【详解】
解：（1）原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.
（2）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
18．
【解析】
【分析】
设复数对应，对应，，利用余弦定理可得，再利用余弦定理即可得出答案．
【详解】
设复数对应，对应，，
则，
解得．
．
．
19．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
利用三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值代入化简两式，然后利用复数乘除法运算法则计算即可.
(1)
(2)
20．.
【解析】
【分析】
首先设二次方程的实数根为，代入方程求的，再利用复数模的公式，结合基本不等式，即可求得模的最小值.
【详解】
设为方程的实根，则
，
当即时，.
21．(1)图象见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
(1)
因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)
因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
22．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
(1)
(2)
(3)
∵
∴
∴
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