高中数学苏教版（2019）必修第二册立体几何初步单元测试卷Bword版含答案

立体几何初步单元测试卷B
一、单选题
1．直线a与平面所成的角为15°，点P为空间一定点，过点P作与成45°、与a成60°的直线l可以作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
2．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，且侧棱长，当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点，当底面水平放置时，液面高为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　）
A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点G，使得
D．直线与直线BC所成的角可能为
7．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则， D．若，，则
8．给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
二、多选题
9．已知正方体的棱长为，点是棱上的定点，且．点是棱上的动点，则（ ）
A．当时，是直角三角形
B．四棱锥的体积最小值为
C．存在点，使得直线平面
D．任意点，都有直线平面
10．下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ）
A．PQ的长度为定值
B．三棱锥的外接球的半径长为定值
C．三棱锥的体积为定值
D．点M到AB的距离为定值
12．如图，在四棱柱中，，，直线与所成的角为60°，，三棱锥的体积为，则（ ）
A．四棱柱的底面积为
B．四棱柱的体积为
C．四棱柱的侧棱与底面所成的角为45°
D．三棱锥的体积为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知点A，B，C，D均在球О的球面上，且球心О在线段AD上，若球О的表面积为，是面积为的等边三角形，则三棱锥的体积为___________.
14．已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，设内切球的半径为，外接球的半径为，则:=________.
15．在棱长为2的正方体中，E为CD中点，O为侧面的中心，平面，则_____．
16．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
四、解答题
17．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.
18．如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱的下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1．
(1)证明：；
(2)，B为的中点，点Q在线段PB上，记，求多面体PQACD的体积．
19．如图，在长方体中，，点是的中点，在上，且.若过的平面交于，交于.
(1)求证：平面；
(2)若，求多面体的体积.
20．求证：过平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，那么这条直线在该平面内．
21．画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，
(1)证明：平面PBC；
(2)已知直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求PD的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
设直线与平面交于点，过点作与成的直线，它在如图的轴截面为等腰直角三角形的圆锥侧面上运动．设在内的射影为直线，、确定的平面为，由直线与平面所成角的性质可得当圆锥的母线在落在平面内时，它与所成角为或．由此将圆锥的母线绕点旋转并观察母线与直线所成角的变化，可得圆锥侧面上共有三条母线所在的直线与所成角为，由此结合异面直线所成角的定义可得满足条件的直线的条数．
【详解】
解：设直线与平面相交于点，在内的射影直线为，
设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，圆锥的轴截面为等腰
，如图所示．
可得图中圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于，
设直线为圆锥的一条母线所在直线，直线、确定的平面为，
由直线与平面所成角的性质，可得当落在平面内时，
直线与直线所成角等于或，
当与所在直线重合时，与所成角为；当与所在直线重合时，与所成角为．
当直线从的位置按顺时针方向旋转到位置时，、所成角从增大到，再减小到，
这个过程中必定有一个位置满足与所成角为；
同理当直线从的位置按逆时针方向旋转到位置时，这个过程中也存在一个位置满足与所成角为．
综上所述，经过点的直线共有3条满足与所成角为．
将满足条件的直线平移到使它经过空间的点得到直线，
根据异面直线所成角的定义，可得直线与直线所成角为，满足条件的直线有3条．
过点作与成、与成的直线可以作3条．
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和
【详解】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为
，
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
由圆柱的侧面积公式直接可得.
【详解】
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
利用等体积法即可求得答案.
【详解】
易知，水的体积不变，如图，设液面与棱的交点分别为，侧面梯形高为h，，则，于是，，
当底面水平放置时，记液面高为x，于是水的体积，即.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得；
【详解】
解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．
故选：C．
6．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对A：连接，作图如下：
因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，
故可得，则，故A正确；
对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，
故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对C：取的中点分别为，连接，作图如下：
容易知在△中，//，又//，，
面面，故面//面，
又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段;
又因为为正方体，故面面，故，
则当与重合时，，故C正确；
对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即，
在中，，
故，而当直线与直线BC所成的角为时，
，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化.
7．B
【解析】
【分析】
根据线线、线面、面面位置关系逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A选项，若，，不能推出，故A不正确；
对于B选项，根据线面垂直的性质得：若，，则，故B正确；
对于C选项，若，则或，故C不正确；
对于D选项，若，，则或互为异面直线，故D不正确，
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】
对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
9．AB
【解析】
【分析】
由已知计算利用勾股定理可判断A, 当与重合时，到平面的距离最小利用等体积转化计算可判断选项B,由平面,平面与平面不平行，可判断选项C,当与重合时，可验证平面不成立，即可判断选项D.
【详解】
由已知计算可得：,,,
为直角三角形，A对
与重合时，到平面的距离最小
在上取，使
，
，B对
平面
平面与平面不平行，与平面不垂直
与重合时，平面为平面
若平面，则平面，与平面矛盾，D错.
故选:AB
10．AB
【解析】
【分析】
空间想象直接可知.
【详解】
可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
故选：AB
11．ABD
【解析】
【分析】
根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，进而判断A，B；
根据，进而判断C；
设交于R，则R为CQ的中点，取AB的中点N，然后证明四边形RBNM是平行四边形，进而证明，最后求得答案.
【详解】
如图，将图形还原为长方体，

因为，所以（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即，易知，则.A正确；
对B，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B正确；
对C，
，不为定值.C错误；
对D，设交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因为M为PQ的中点，所以，而，故，所以四边形RBNM是平行四边形，则，因为，则.
因为AB⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，则，所以点M到AB的距离为1.D正确.
故选：ABD.
12．ABC
【解析】
【分析】
选项A根据进行判定；
选项B根据四棱柱的体积与其内接四面体的体积比为求出四棱柱的体积，从而可判定；选项C先求出四棱柱的高，设侧棱与底面夹角为，根据，可求出，从而可判定；
选项D根据三棱锥的体积公式进行求解即可判定．
【详解】
选项A：连接交BD于O，∵，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴与的夹角为，
如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，
则
，故选项A正确；
选项B：设四棱住的高为h，
则＝
∴
故选项B正确；
选项C：设四棱柱的高为，由选项B可知四棱柱的体积为，所以，设侧棱与底面夹角为，则，∴，故选项C正确；
选项D：由C选项可知三棱锥的高为2，因为四边形的形状不确定，故三棱锥的底面的面积不为定值，故体积无法确定，故选项D不正确．
故选：ABC．
13．
【解析】
【分析】
判断出AD为球О的直径，由面积分别求出，.
利用判定定理证明出面OBC，求出，即可求出三棱锥的体积.
【详解】
点A， D均在球О的球面上，且球心О在线段AD上，所以О为线段AD的中点.
因为球О的表面积为，设球的半径为R，则，解得：，
所以.
又是面积为的等边三角形，所以，
解得：.
因为AD为球的直径，所以，
由勾股定理得：
，,
所以均为等腰直角三角形，所以且，
又，所以面OBC.
在△OBC中，，，所以，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由题意可知，将三棱锥补成一个正方体，则其外接球的半径为正方体对角线的一半，内切球的半径利用等积法求解
【详解】
因为三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，
所以将三棱锥补成如图所示的正方体，
设外接球半径为，则，
设内切球的半径为，则内切球的球心到四个面的距离均为，
由，得
，
解得，
所以，
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
如图，连接，，DB，证明N为PQ的中点，再利用求解.
【详解】
解：如图，连接，，DB，则O为中点，，，
连接，∵，，
∴，又O为的中点，
∴N为PQ的中点，∴
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
由题意可知三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，进而求出三棱柱的外接球的半径即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，故，
又因为平面BCD，因此三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，如图：
取的中点，则为外接圆的圆心，取的中点，则为外接圆的圆心，则的中点即为外接球的球心，因此，,
因此，所以三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：.
17．πa3
【解析】
【分析】
将四面体返还到正方体，进而求该正方体的外接球体积即可.
【详解】
如图，将该四面体返还到正方体，则四面体的外接球与正方体的外接球是同一个球，球的直径恰为正方体的对角线长.
易知正方体的棱长为，则对角线长为，故球的半径，体积.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）AC为直径得，平面ABCD得，由线面垂直的判断定理可得平面PDC，再利用线面垂直的性质定理可得答案；
（2）B为的中点可得四边形ABCD为正方形，设点Q到平面ABCD的距离为d，利用，可得，根据分别计算他们的体积可得答案.
(1)
∵AC为直径，点D在圆上且不同于A，C点，
∴，又∵PD为母线，
∴平面ABCD，又平面ABCD，
从而，又，
∴平面PDC，又平面PDC，∴．
(2)
∵，圆柱的底面直径为2，即，∴，
又B为的中点，∴，即四边形ABCD为正方形，
设点Q到平面ABCD的距离为d，∵，∴，∵，∴，
，，
∴，
，
∴.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的性质可证，进而得证；
（2）连接，将多面体分割成两个四棱锥，分别求解两四棱锥体积，即可求解.
(1)
长方体
平面平面，
交长方体于，
，
又平面，平面，
平面
(2)
由面面平行性质，可得，
四边形为平行四边形，
过点分别向 作垂线，交点分别为
过点向作垂线，交点为
由长方体中，
可得，故
点是的中点，，
结合立体图形可得：
四边形为棱形
同理可证：，可得，
进而可得
为中点，连接
将多面体分割成两个四棱锥和
由几何关系知，
，
多面体.
20．答案见解析
【解析】
【分析】
利用反证法证明即可
【详解】
假设过平面内一点的直线平不在此平面内，设这条直线为，过平面内一点为A，平行平面的直线为，平面为P，P上存在直线与平行，
，，又因为,，又因为，
与有交点，与不平行，与假设矛盾，原命题得证
21．详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法求解.
【详解】
如图所示：
22．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性质可得面，由及线面垂直的性质有，最后根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）为中点，连接，易证是平行四边形，则，根据线面角的定义有为直线与平面PBC所成角的平面角，结合已知即可求线段PD的长．
(1)
由面面ABCD，，面面，且面，
所以面，又，即面，
又面，则，而，，
所以平面PBC；
(2)
若为中点，连接，由，，
所以，，即是平行四边形，
所以，即直线AB与平面PBC所成角为直线与平面PBC所成角，
由（1）知：平面PBC，则为直线与平面PBC所成角的平面角，
所以在△中，，而，
故.
答案第1页，共2页
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