清北计划——2022届高三数学导数压轴

清北计划——2022届高三数学导数压轴
1．已知函数有两个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)记为的导函数，证明：；
(2)证明：.
2．证明不等式：
(1)当时，求证：；
(2)已知函数，设，，且，证明：．
3．定义：若在上为增函数，则称为“次比增函数”，其中，已知．（其中
(1)若是“1次比增函数”，求实数的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最小值；
(3)求证：．
4．已知函数，为实常数）
(1)当时，求函数在上的最小值；
(2)若方程（其中 在区间上有解，求实数的取值范围；
(3)证明：（参考数据：
5．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，对于任意的，且，证明：不等式.
6．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有两个极值点、，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：.
7．已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立.
8．已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若，求实数的取值集合．
9．已知函数，函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数与函数的图象有仅有一个公共点，，证明：．
10．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
11．已知函数，，，是两个任意实数且．
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若函数在上是增函数，求的取值范围；
(3)求证：．
12．已知为自然对数的底．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个不同零点，，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数，由有两个零点求出a的取值范围即可推理作答.
(2)将零点代入计算并等价转化证，令，用表示出，构造函数推理作答.
(1)
函数定义域R，，
因函数有两个极值点，则有方程有两个不等的实数根，
显然，方程化为，
令，，，当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，，
依题意，函数有两个零点，必有，即，此时，，
令，，则，即有在上递增，，，
于是得，因此，当时，函数必有两个零点，从而得，
所以.
(2)
由已知及(1)得，且，，则，，
，
因此，，
又且，则，令，则有，，
则，于是得，
令，，，即函数在上单调递减，
，成立，即恒成立，恒成立，
所以不等式成立.
【点睛】
思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决.
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1) 构造函数和,求导得出函数单调性，即可求解.
(2)不妨设，，即，两边同除以得，令，则，即证：，令，利用导数证明即可．
(1)
证明：当，时，求证：；
构造函数，则，，，，
在区间，上单调递增，，；
构造函数，则，
在区间，上单调递增，，；
；
(2)
不妨设，
，
即，
，
两边同除以得，
令，则，即证：，
令，
，
令，，
，在上单调递减，
，即，即恒成立，
在上是减函数，所以，
得证，
成立．
3．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将函数在上为增函数，转化为在上恒成立，即可求解；
（2）当时，得到，利用导数求得，分、和，三种情况讨论，即可求解；
（3）由（2）得到在上单调递减，在上单调递增，得到，即，取，得到 ，进而作出证明.
(1)
解：由题意，函数在上为增函数，
则在上恒成立，故在，上恒成立，
即在上恒成立，又由，所以，
所以实数的取值范围是.
(2)
解：当时，函数，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当且时，，所以在，上单调递减；
又由，可得，
故当时，在上单调递增，此时；
当时，则，在上单调递减，此时；
当时，在上单调递减，在单调递增，故此时；
综上有：当时，；
当时，；
当时，．
(3)
解：由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
故当时，总有成立，
取时，有，即，
故．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，得到，利用导数求得函数的单调性，得到时，取得最小值，即可求解；
（2）因为方程在区间上有解，转化为在区间上有解，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与值域，即可求解；
（3）设，利用放缩法即裂项法，求得，构造函数，利用导数求得函数的单调性，得出，即可得到结论.
(1)
解：当时，函数，则，
当上，；当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在上，当时，的最小值为．
(2)
解：因为方程在区间上有解，即在区间上有解，
即在区间上有解，
令，，所以，
当上，；当上，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又因为，所以，即，
所以实数的取值范围.
(3)
解：设，
由（1）知，的最小值为，所以，
又因为
所以，
所以
构造函数，则，
所以当时，，所以在上单调递减，
即，
所以当时，，
所以，即，
所以，
所以.
5．(1)当时，函数在上为增函数，在上是减函数；当时，函数在上是增函数，在和上是减函数.
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，求导后分，与分类讨论出函数单调性；
（2）构造（），得到，即，利用裂项相消法求和，证明出不等式.
(1)
函数的定义域为，求导函数可得
当时，，令可得，令，∵，∴，∴函数在上是增函数，在上是减函数；
当时，令得：，解得或（舍去），令得：，解得：，此时函数在上增函数，在上是减函数；
当时，令得：，解得：，令，得：，解得：或，此时函数在上是增函数，在和，上是减函数.
综上：当时，函数在上为增函数，在上是减函数；当时，函数在上是增函数，在和上是减函数.
(2)
证明：由（1）知：时，在上是增函数，
时，，
设（），则
恒成立，时，，在上单调递减
时，，即
∵，∴
不等式得证
【点睛】
导函数证明不等式，要从不等式结构出发，构造出合适的函数，通过研究函数的单调性，极值和最值等性质进行证明.
6．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）（i）求得，利用导数分析函数的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（ii）分析可知，，将所证不等式转化为证明，分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立，在时，通过构造函数，并利用导数分析函数的单调性，结合不等式的基本性质可证得结论成立.
(1)
解：当时，，则，
所以，，，
因此，在处的切线方程为.
(2)
解：（i），令，则，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，当时，，即，
当时，，即，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为有两个极值点、，则，解得.
（ii）令，
，，
由（i）可知，，
只需证，即证：，
当时，，得证；
当时，先证：，令，，，
当时，，当时，，
则在上递增，在上递减，所以，得证，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
则，
记与的交点横坐标分别为，，
则，，则，
又，，
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将在有两个不同根转化为方程在有两个不同根，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而求出的取值范围；
（2）两边取对数，将证明转化为证明，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明恒成立，再通过求其最值进行证明.
(1)
解：由题意知，函数的定义域为，
方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根；
令，则，
则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，当时，，当时，，
所以的取值范围为；
(2)
证明：欲证 两边取对数等价于要证，
由（1）可知，分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，
又，
当时，可见时，，
所以在上单调增，
又，,
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
8．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数在时的极值，可得答案;
（2）将，并由此构造函数
，根据题意可判断为其最小值，由此判断1为的极值点，因此可求得得或，再分别证明在或 时满足题意，则可得答案.
(1)
，
时，的单调性和极值情况如下表：
x 0 1 2
- 0 + 19
0 减函数 极小值 增函数 6
所以，的值域为．
(2)
， ，
即，
设，
则，
∵在内，且，
∴，则1为的极值点，
∴，即，解得或．
当时，，
设，
则，
∴在内为减函数；在内为增函数，
∴，则，故成立．
当时，，
设，
则
，
设，则．
当时，为减函数；当时，为增函数．
∴（当且仅当时等于0）．
设，则，
故在内为增函数，且．
所以，当时，；当时，，
于是，当时，为减函数；时，为增函数，
∴，故成立．
综上所述，a的取值集合为．
【点睛】
本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求极值最值问题，考查了利用导数解决不等式成立时求参数的值的问题，综合性较强，计算量很大；解答的关键是合理的变形，从而构造新函数，利用导数解决问题.
9．(1)答案见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，再令，讨论的范围根据导数正负即可得出单调性；
（2）构造函数，两次求导根据单调性可得出，再构造函数判断单调性可证明.
(1)
，，
，
令，
①当时，的对称轴，，，即单调递增，
②当时，二次函数的△，，即单调递增，
③当时，有两根，设为，，
当，，时，，，即单调递增，
当，时，，，即单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，
在，上单调递减，
(2)
令，，
由题意知函数有且只有一个零点，
，，
为上的增函数，易知其值域为，
在上有唯一的零点，且当时，，
当，时，，
故为的最小值，
又函数有唯一的零点，可知，
，且，
即，
消去可得，
整理可得，
令，显然是的零点，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
，
在内有一个零点，在，内无零点，
的零点一定小于2，
从而函数与函数的图象有仅有一个公共点，时，一定有．
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求解；（2）不等式恒成立等价于恒成立，即，构造函数，求出其最大值即可得到的取值范围.
(1)
当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
(2)
，令得或，
∵，所以，
当时，，所以函数在上单调递减，
则，，
∵对，不等式恒成立，
∴，
即对恒成立，
令，则函数在上单调递增，
所以只需．所以．
【点睛】
关键点：（1）关键是应用导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解切线方程；（2）关键是通过函数的最大、最小值去掉不等式中的绝对值符号，转化为，即，构造函数，求出其最大值即可得到的取值范围.
11．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【详解】
解：（1）因为，
则切线的斜率为，切点为，
所以函数的图象在处切线方程为；
（2）由得，
因为函数在实数集上是增函数，
所以恒成立，
则恒成立，
令，
由得，
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；
所以当时，函数，
故实数的取值范围是；
（3）要证明，即证明，
只需证明，不妨设，，
只需证明，
只需证明对恒成立，
设，
则，
设，当时恒成立，
则递增，，即，
则，故函数递增，有恒成立，
即对恒成立，
所以，即．
12．(1)见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出原函数的导函数，分和两种情况讨论，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（2），设，利用导数求出的最大值，则实数的取值范围可求；
（3）由有两个不同零点，，得，，两式作差可得，即，要证，只要证明，即证，不妨设，记，则，，转化为，构造函数，利用导数证明成立即可．
(1)
解：，
当时，，
所以在上是增函数，
当，
当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数；
(2)
解：对恒成立可化为对恒成立，
故对恒成立，
令，
则，因为函数时减函数，且，
则当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
故F在处有最大值
所以；
(3)
证明：有两个不同零点，，则，
因此，即．
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即．
记，，
令，则，
当时，，
所以函数在上递增，则，
即，
则在上单调递增，，
即成立，
．
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键，主要查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，属难题．
答案第1页，共2页
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