2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
的绝对值是
A. B. C. D.
下列运算正确的是
A. B.
C. D.
下列选项中的图形，是轴对称图形、不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
如图是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是
A.
B.
C.
D.
把函数图象向左平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
方程的解为
A. B. C. D.
如图，是的直径，是弦，若，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，点，，分别在，，上，，，则下列式子一定正确的是
A.
B.
C.
D.
为了让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是
A. 该游泳池内开始注水时已经蓄水
B. 每小时可注水
C. 注水小时，游泳池的蓄水量为
D. 注水小时，还需注水，可将游泳池注满
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
将数用科学记数法表示为______．
在函数中，自变量的取值范围是______．
已知反比例函数的图象经过点，则______．
化简：的结果是______．
把多项式分解因式的结果是______．
不等式组的解集是______．
掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则这枚骰子向上一面出现的点数为的倍数的概率为______．
点为外一点，直线与的两个公共点为，，过点作的切线，点为切点，连接，若，则为______度．
一个扇形的弧长是，圆心角是度，则此扇形的半径是______．
如图，点在正方形的边上，，过点作的垂线交于，点为垂足，若，则的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
先化简，再求代数式值，其中．
如图所示，在每个小正方形的边长均为的网格中，线段的端点、均在小正方形的顶点上．
在图中画出等腰，且为钝角三角形，点在小正方形顶点上；
在的条件下确定点后，再画出矩形，点，，都在小正方形顶点上，且矩形的周长为，请你连接，直接写出的长为______．
某校为了解学生对生物知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，抽调的学生成绩为及格的占抽调学生总人数的．
求一共抽调多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计该校学生中有多少人的成绩为不及格？
如图，点，在上，，，．
如图，求证：；
如图，与交于点，连接，，直接写出图中所有面积相等的三角形．
某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具个，乙种文具个，共花费元；若购买甲种文具个，乙种文具个，共花费元；
求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？
班主任决定购买甲、乙两种文具共个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过元，求至多需要购买多少个甲种文具？
四边形为矩形，点，在上，连接，．
如图，求证：；
如图，点在上，，求证：平分；
如图，在的条件下，与相切，交于点，点在弧上，弧弧，连接，若，，求的长．
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，点在抛物线上，连接，，．
如图，求抛物线的解析式；
如图，点在抛物线上，点在第四象限，点的横坐标为，过点作轴的平行线交于点，设线段的长为，求与之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，点在上，，交线段于点，过点作的垂线，点为垂足，点在射线上，连接，，，，若，，求点与点的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义分析得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查简单几何体的三视图，俯视图就是从上面看所得到的图形，俯视图也可以理解为从上面对该几何体正投影所得到的图形．从上面看该几何体所得到的图形即为该几何体的俯视图．
【解答】
解：从上面看该几何体，选项B的图形符合题意，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：原抛物线的顶点为，
向左平移个单位后，得到的顶点为，
平移后图象的函数解析式为．
故选：．
易得原抛物线的顶点为，根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
6.【答案】
【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故选：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
7.【答案】
【解析】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：．
根据为的直径，可以得出所对弧为半圆，可以得出，即可得出答案．
此题主要考查了圆周角定理的推论，根据已知可以得出是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
在中，，，，
，，
是等边三角形，
，
故选：．
由旋转的性质知，，可证是等边三角形是等边三角形，从而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，所以选项错误；
，
，所以选项错误；
，
，即，所以选项错误；
，
，
，
，
∽，
，所以选项正确．
故选：．
根据平行线分线段成比例可对选项和选项进行判断；：利用得到，则根据比例的性质可对选项进行判断；通过证明∽，则利用相似比可对选项进行判断的．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
10.【答案】
【解析】解：由图象可得，
该游泳池内开始注水时已经蓄水，故选项A不符合题意；
每小时可注水：，故选项B符合题意；
注水小时，游泳池的蓄水量为，故选项C不符合题意；
注水小时，还需注水，可将游泳池注满，故选项D不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：，解得．
故答案为：．
已知反比例函数的图象经过点，则把，代入解析式就可以得到的值．
本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
14.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
15.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是的倍数的有，，
故骰子向上的一面出现的点数是的倍数的概率是，
故答案为：．
共有种等可能的结果数，其中点数是的倍数有和，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是的倍数的概率．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
18.【答案】或
【解析】解：如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
如图，，
是的直径，
，
．
综合以上可得为或．
故答案为：或．
由切线的性质得出的度数，由圆周角定理及等腰三角形的性质求出或的度数可得出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，由题意得，
，
解得，
故答案为：．
根据弧长计算公式列方程求解即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提．
20.【答案】
【解析】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，，
，
：：，即有，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先由得到，得到，由正方形的性质得到，，，从而得到，得证≌，然后得到，，，再由得到：：，进而由同角的三角函数值相等和得到，然后用勾股定理求得、的长，进而得到、的长，最后得到的长．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，解题的关键是通过同角的余角相等得证≌．
21.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入三角函数值求出的值，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，矩形即为所求．．
故答案为：．
作出腰为且是钝角的等腰三角形即可；
作出边长分别为，的矩形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：一共抽调的学生有：名；
良好的人数为：名，
补全图形如下：
估计该校学生中成绩不及格的人数有：名．
【解析】根据及格的人数和所占的百分比即可得出答案；
根据总人数求得良好的人数，再补全统计图即可；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得结论；
由全等三角形的性质，可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25.【答案】解：设购买一个甲种文具需要元，一个乙种文具需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种文具需要元，一个乙种文具需要元．
设需要购买个甲种文具，则购买个乙种文具，
依题意得：，
解得：．
答：至多需要购买个甲种文具．
【解析】设购买一个甲种文具需要元，一个乙种文具需要元，根据“若购买甲种文具个，乙种文具个，共花费元；若购买甲种文具个，乙种文具个，共花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出购买一个甲种、一个乙种文具所需费用；
设需要购买个甲种文具，则购买个乙种文具，利用总价单价数量，结合购买甲、乙两种文具的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】证明：连接，，如图，
，
．
四边形是矩形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌．
．
过点作于点，如图，
，，
．
，，
．
．
，
．
．
即平分；
解：连接，，，，，设与交于点，如图，
是圆的切线，
．
，
．
．
．
为弦切角，
．
由得：平分，，
．
，
．
弧弧，
．
．
，
．
，
．
，，
．
．
即圆的半径为．
．
．
．
过点作于点，
则四边形为矩形．
，．
，
．
在中，
．
．
【解析】连接，，如图，证明≌即可得出结论；
过点作于点，利用平行线的性质和等腰三角形的三线合一即可得出结论；
连接，，，，，设与交于点，利用切线的性质定理可得，进而得到；利用弦切角定理和的结论可得；利用平行线的性质可得，利用圆周角定理可得，利用勾股定理可求得圆的半径为，利用勾股定理可求的长；过点作于点，利用矩形的性质可得，，在中，利用勾股定理可求得的长，则可得．
本题是一道圆的综合题，主要考查了矩形的判定与性质，圆周角定理，弦切角定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质，通过恰当的添加辅助线使已知条件之间产生联系是解题的关键．
27.【答案】解：当时，，
点，
，
，
，即，
将点和点的坐标代入函数解析式，得
，解得：，
二次函数的解析式为．
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
点的横坐标为，过点作轴的平行线交于点，
点，点，
；
对，令，，
解得：，或，
点的坐标为，即，
，
点的坐标为，
如图，记直线：与轴的交点为点，则时，，
点的坐标，即，
，
过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，即，
由知，点，点，
记与轴的交点为点，则，，
，
解得：，
，，
，，
，
记直线与轴的交点为点，
，
，
又，
，
，
，，
，点在直线上，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
过点作轴于点，过点作于点，则，四边形是矩形，
，，
，
，
又，，
，
，即，
，
又，
，
，
设点，则，，
，
解得：，
点的坐标为，
．
【解析】先求出点的坐标，得到的长度，然后结合的值求得的长，进而得到点的坐标，最后将点和点的坐标代入函数解析式求得二次函数的解析式；
先求出直线的解析式，然后用含有的式子表示点的坐标和点的坐标，最后求得线段的长度，即可得与的函数关系式；
先令求得点的坐标，进而结合求得点的坐标，记直线与轴的交点为点，通过直线的解析式求得点的坐标，从而得到，过点作于点，过点作，交的延长线于点，然后结合得到，从而得证≌，进而得到，然后得到，即可得到，然后通过点的坐标表示出和的长，进而求得的值，得到点的坐标和点的坐标，记直线与轴的交点为点，然后通过证明≌得到点的坐标，进而得到直线的解析式，然后可知点在直线上，即点、点、点三点共线，过点作轴于点，过点作于点，通过得到，然后利用，设点的坐标，然后表示出和的长度，进而求得点的坐标，最后求得的长度．
本题考查了二次函数的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形、求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形和熟练应用解直角三角形求线段的长度．
第2页，共2页
第1页，共1页