(共42张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明. 数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.
对于任意角，有_________________________________.
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.
1. 利用差角的余弦公式求的值.
提示.
1.两角差的余弦公式不要记为或;同时还要注意公式的适用条件是，为任意角.
2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.
探究点一 给角求值
例 求值：
（1） ;
[答案] 原式
.
（2）
[答案] 原式
.
（3） ;
[答案] 原式
.
（4） .
[答案] 原式.
解题感悟
解含非特殊角的三角函数式的求值问题,可把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
1. 求值：
（1） ；
[答案] 原式
.
（2） ；
[答案] 原式
.
（3） .
[答案] 原式
.
探究点二 给值求值
例 （1） 已知,,求的值;
[答案] 因为,所以,
所以.
因为,所以
.
（2） 已知,,求的值.
[答案] 因为,所以,
又,所以,
所以,
所以
.
解题感悟
已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换有：
①；
②；
③；
④.
1. 已知，,求的值.
[答案] 因为,
所以,
所以
,
所以
.
探究点三 给值求角
例 已知，，,求角的大小.
[答案] 因为,
所以.
因为,所以.
因为,且,所以,
所以,
所以.
因为,所以.
解题感悟
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）根据条件确定所求角的范围;
（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
1. 已知，,且，,求角的大小.
[答案] 由，,可知.
因为，,
所以,
.
因为，,
所以,所以,故.
1. 等于( )
A.
B.
C.
D.
B
2. 若,则的值为( )
A. 0 B. 1 C. D. -1
B
3. [2020湖南益阳箴言中学高一检测] 已知为锐角,为第三象限角,且,,则的值为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 因为为锐角,,所以,
因为为第三象限角,,
所以,
所以.
4. 化简：____.
[解析] 原式.
1. [2020湖北荆州高一检测] ( )
A. B.
C. D.
C
[解析]
.
2. 满足的一组，的值是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
B
[解析] 因为,所以,
即,
验证可知选项B正确.
3. （多选）下面各式化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
ABC
4. 已知,且为第三象限角,则( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由题意得,
因为为第三象限角,
所以.
5. 已知点是角的终边上一点,则( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由题意可得，,
所以.
6. ____.
7. 已知，是第二象限角,则_______,__________.
8. [2020湖北咸宁崇阳第一中学高一月考] 已知,则的值为____.
[解析] 因为
,
所以
.
9. 已知，,且,求的值.
[答案] 因为,
所以.
又，,
所以,
.
又,
所以
.
10. [2021江苏苏州实验中学高一月考] 的值为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 原式
.
故选C.
11. 已知，，则( )
A. B. C. D.
D
[解析] 因为，
所以，又,
所以,所以
.故选D.
12. [2020广东揭阳第三中学高一检测] 在中,,,则_______.
[解析] 因为,且,所以,
所以.又,
所以，
所以.
13. 已知函数.
（1） 求的最小正周期;
[答案] 由题意得,
.
的最小正周期.
（2） 求的值域.
[答案] 的值域为.
14. 已知函数（其中，）的最小正周期为.
（1） 求的值;
[答案] 因为函数的最小正周期为,所以,所以.
（2） 设，，,求的值.
[答案] 因为,
所以
,
所以.
又因为,
所以
,所以.
因为,所以，,
所以
.(共51张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.能熟练运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简、求值与证明. 数学运算——掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行化简、求值与证明.
要点一 两角和的余弦公式
.
要点二 两角和与差的正弦公式
①____________________________,.
1. 是否存在，使得，成立？
提示 存在.当，时，成立.当，时，成立.
要点三 两角和与差的正切公式
,
②____________.
2. 等价于吗？
提示 等价.当，，时，两边同乘可得.
1.注意公式的结构特征和符号规律
对于公式，，可记为“同名相乘,符号反”.
对于公式，，可记为“异名相乘,符号同”.
对于公式，，可记为“分子同,分母异”.
2.在两角和与差的正切公式中,，，，均不等于,这是由正切函数的定义域决定的.
3.两角和与差的正切公式的变形与特例
（1）变形公式：;
;
.
（2）公式的特例：
；.
探究点一 化简求值
例
[解析] 因为，
所以原式
.
（1） _____.
（2） _____.
-2
[解析] 原式
.
（3） 已知,为锐角,则________.
[解析] 因为，,所以.
所以.
所以
.
（4） _______.
[解析] 因为，
所以
.
（5） 求的值.
[答案]
[解析] 因为,
所以
所以.
解题感悟
化简求值的策略
（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）当“已知角”有一个时,此时需注意“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（3）在利用两角和与差的公式时先从所要化简式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
（4）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简的式子中出现特殊的数值时,例如：“1”“3”,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如""""，这样可以构造出利用公式的条件,从而进行化简求值.
（1） ____.
2
[解析] 原式
.
（2） 已知为钝角,且,则__________.
[解析] 因为为钝角,且,
所以,
所以
.
（3） _______.
[解析] 原式.
（4） ______.
[解析] 因为，
所以，
所以.
探究点二 给值求角
例
（1） 已知锐角，满足，,则_____.
[解析] 由题意得，,
所以.
因为,所以.
（2） 已知，，,则的值为_______.
[解析] 由题意得,
.
因为,,
所以,,所以.
又因为,
所以,.
又,所以.
解题感悟
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是或时,选取求余弦值,当所求角范围是（）或（）时,选取求正弦值.
1. [2021湖北黄冈高一月考] 已知,为锐角,且,,则的值是( )
A. B. C. D.
B
[解析] （1）因为为锐角,且,
所以,
由为锐角,
可得,
,
故,
故选B.
2. [2021湖南邵阳邵东县第一中学高一月考] 若锐角满足,则的值为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意得,
则,
故.
因为是锐角,所以,故.故选C.
探究点三 两角和与差三角函数公式的综合运用
例
（1） 求函数的最小正周期,值域,单调递增区间;
[答案]
,所以,值域为.
由,
得的单调递增区间为
.
（2） 设是一元二次方程的两个根,求的值.
[答案] 由根与系数的关系得,
所以.
因为,
1. 已知的三个内角分别为,,,若是方程的两个根,试判断的形状.
[答案] 依题意得
所以,
又,
所以,
又
,
所以,
所以为钝角三角形.
1. [2021湖北荆州高一检测] ( )
A. B. C. D.
B
2. [2021山东德州夏津第一中学高一检测] 已知,,则的值为( )
A. 0 B. C. 0或 D. 0或
A
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
B
[解析] 由已知得,所以.
4. 已知,则____.
[解析] 因为,
所以,所以.
5. 已知，为第二象限角,且,求的值.
[答案] 由,为第二象限角得,,则,
所以.
1. [2021江西玉山一中高一月考] 的值为( )
A. B. C. 1 D.
B
[解析] 原式.
2. 已知函数,则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
A
[解析] ,
所以为奇函数.
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
A
[解析]
,
因为,所以,
所以,故选A.
4. 已知,则等于( )
A. 或7 B. 7 C. D. 7或
D
[解析] 因为,所以,
所以.当时,;
当时,.
综上,或7.
5. ____.
1
[解析] .
6. 已知,则的值为____.
[解析] 因为,
所以,解得,
所以原式.
7. 的值等于_______.
[解析] 因为
,
所以,
所以原式=
.
8. 已知,求证：.
[答案] 证明 因为,
且,
所以,
所以
,
所以,
所以.
故原等式成立.
9. [2021安徽宣城高一检测] 已知,则( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 因为,所以.
又, 所以,所以.故选B.
10. [2020安徽蚌埠第三中学高一检测] 定义运算.若, ,则____.
[解析] 由题意得,
.
因为,所以.
又因为,所以,
所以,所以.
11. [2020山东高唐第一中学月考] 如图,在平面直角坐标系中,以轴非负半轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆交于,两点,已知,的横坐标分别为.
（1） 求的值;
[答案] 由已知条件得.
因为为锐角,
所以,
,所以.
.
（2） 求的值.
[答案] 易知,
所以,又为锐角,所以,所以.
12. 已知,且,求及角的值.
[答案] 由,且,得,
由,且,
得,
所以
,
.
又,所以, 又,
所以,所以,则.(共38张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简、求值和证明. 1.数学运算——能熟练运用二倍角的公式进行简单的化简、求值.
2.逻辑推理——能熟练运用二倍角的公式证明等式成立.
要点一 二倍角的正弦公式
①____________.
要点二 二倍角的余弦公式
②_______________,
,
.
要点三 二倍角的正切公式
③_________.
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系.
1. 二倍角的正切公式的适用范围是任意角吗？
提示 不是.二倍角的正切公式，要求且.
2. 倍角公式中“倍角”仅是指与吗？
提示 倍角公式不仅可运用于是的二倍的情况,还可运用于作为的二倍,作为的二倍,作为的二倍,作为的二倍等情况.
二倍角公式的逆用、变形用
（1）逆用形式：
.
.
.
（2）变形用形式：
.
.
.
探究点一 给角求值
例 求下列各式的值：
（1） ;
[答案] 原式.
（2） ;
[答案] 原式.
（3） .
[答案] 原式
.
解题感悟
对于给角求值问题,一般分为两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
1. 求下列各式的值：
（1） ;
[答案] 原式.
（2） .
[答案] 原式.
探究点二 给值求值
例
（1） 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
A
[解析]
.
（2） 已知,则______.
[解析] 由,得,
则,
故.
解题感悟
解决给值求值问题的方法
（1）给值求值问题,注意寻找已知式子与未知式子之间的联系,有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
①
.
②
.
（2）注意几种公式的灵活应用,如：
1. 已知,则( )
A. B. C. D.
A
2. 已知,则( )
A. B. C. D.
C
探究点三 给值求角
例 已知,则锐角____.
[解析] 由原式,得,
所以,
所以,
所以.
因为为锐角,所以,
所以,
所以,所以.
解题感悟
给值求角问题一般涉及特殊角的三角函数值,解题思路是先利用三角函数公式、角的变换求出待求角的某一三角函数值,再根据已知条件或角的范围确定结论.
1. 已知,且均为锐角,则的值为 ( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意得,,
所以.因为均为锐角,
且,
所以,所以,所以.故选C.
1. [2021北京实验学校高一月考] 已知,则( )
A. B. C. D.
D
2. 若,则的值等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
D
3. 已知为第二象限角,,则_______.
4. 已知,则____,______.
[解析] 因为,
所以.
因为,所以.
5. 已知为第二象限角,,则_______.
[解析] 将两边平方可得,,则.因为是第二象限角,所以,所以,
所以.
1. [2020陕西西北大学附中高一月考] 下列各式中,值为的是( )
A. B.
C. D.
D
2. [2020湖北钢城四中高一检测] 已知,则( )
A. B. C. D.
A
3. 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )
A. B. C. D.
C
4. [2021山东潍坊高一检测] （多选）关于函数,下列说法正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 最小正周期是
C. 该函数是偶函数 D. 该函数的最大值为1
ACD
5. [2021山东单县第一中学高一期末] 若,则的值为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 因为,
所以
,
所以.
6. [2020湖北枣阳高一月考] 若,则的值为( )
A. -3 B. 3 C. -2 D.
B
[解析] ,所以,
所以.
7. [2021海南万宁民族中学高一期末] 已知,则____.
[解析] 因为,所以,
所以.
8. [2020四川成都第七中学高一月考] 若,则______.
[解析] 因为,且,所以与互余.
因为,
所以,
故.
9. [2020湖南长沙第一中学高一检测] 化简：____.
[解析] 原式
.
10. 求证：.
[答案] 证明
,
所以原等式成立.
11. [2021湖北恩施高一期末] 的化简结果是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 原式
.
12. [2021陕西渭南高一月考] 函数的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 3
C
[解析]
,
当时,.故选C.
13. [2021天津红桥高一期末] 已知,且,则________________.
[解析] 因为,且,所以,
则,,
因此.
14. 已知均为锐角,.
（1） 求的值;
[答案] 因为,
所以.
因为,所以,
因此.
（2） 求的值.
[答案] 因为均为锐角,所以.
又因为,所以,
所以,
因此.
因为,所以,
因此.
15. 已知函数.
（1） 求函数在上的单调区间;
[答案]
.
函数在上的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2） 已知角满足,求的值.
[答案] 因为,所以,
所以,
所以,
所以.
因为,所以,
所以,解得,
所以.(共56张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想. 3.掌握辅助角公式及其应用. 数学运算——能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.
要点一 半角公式
. .
.
1. 如何根据求
提示.
2. 如何根据求
提示.
要点二 积化和差公式与和差化积公式
1.积化和差公式：
.
.
.
.
2.和差化积公式:
.
.
.
.
3. 试判断和+的大小.
提示︰ 因为·,且
,所以.
1.与,的关系为.
2.三角函数式的化简要将异角化同角,复角化单角,异次化同次等,化简要求是项数尽量少,次数尽量低,函数种类尽量少,能求值的必须求出函数值,数值结果也要化为最简形式．遵循“三看”原则：
（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
（2）二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
（3）三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等．
3.辅助角公式
一般地,辅助角的取值范围是（0,）.辅助角公式中,的终边经过点,且（或由和共同确定）.
探究点一 半角公式的应用
例 已知,且,求.
[答案] 因为所以即是第二象限角,所以所以.
解题感悟
已知的某个三角函数值,求关于的三角函数值的一般步骤：
（1）根据的取值范围,利用同角三角函数的基本关系式求得的其他三角函数值;
（2）注意的取值范围,代入半角公式计算即可.
1. 已知,则等于( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为,所以.
探究点二 积化和差公式与和差化积公式的应用
例
（1） 把下列各式化成和或差的形式.
① ；
[答案] 原式.
② .
[答案] 原式.
① ；
[答案] 原式.
② .
[答案] 原式.
（2） 把下列各式化成积的形式.
解题感悟
应用三角恒等变换化简时的注意事项
1.观察分析三角函数式中的各角的联系（互余或互补）,可以利用诱导公式变角和变名,对三角函数式进行化简.
2.观察三角函数式的名称和结构,灵活对公式进行正用、逆用或变形用.
1. 把下列各式化成和或差的形式.
（1）
[答案] 原式.
（2） .
[答案] 原式.
2. 把下列各式化成积的形式.
（1） ;
[答案] 原式.
（2） .
[答案] 原式.
探究点三 辅助角公式的应用
例 [2020山东潍坊高一检测] 已知函数.
（1） 求函数的最小正周期;
[答案]
.
函数的最小正周期.
（2） 求函数的最大值以及相应的的值.
[答案] 函数的最大值为2,
由,得,所以函数取得最大值2时,相应的的值为.
解题感悟
形如的函数,都可以化为的形式.
若,则可以先利用三角函数的诱导公式变角和变名后,再化简.
[2021湖北天门高一期末] 已知函数.
（1） 写出的单调区间;
[答案]
.
由,
得.
由,
得.
综上,的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2） 求在上的值域.
[答案] 由（1）知,因为,所以,
所以,
所以函数在上的值域为.
1. 已知,则等于( )
A. B. C. D.
A
2. 函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数,也是偶函数 D. 既不是奇函数,也不是偶函数
D
3. 化简：( )
A. B.
C. D.
B
4. 化简：____.
1
[解析] 原式.
5. 已知函数图象的一条对称轴是直线,则函数的最大值是______.
[解析] 由于函数的图象关于直线对称,
则,
所以,解得,
所以,所以.
数学运算——三角恒等变换公式的应用
已知,求和的值.
审：要求两角差与和的余弦值,可以将条件等式进行变形再运算.
联：联想和差化积公式,对三角函数的名称进行变换.
解：解法一：由两边平方,得
①,由两边平方,得
②,
得.
得
③,
即,
所以.
解法二：由和差化积公式,得
,
,
得
即,
所以.
得⑥,
所以.
思：本题两种解法的比较:求利用解法一简单,求利用解法二简单.一般地,已知两个三角函数值的和与差,求两角和与差的正弦值或余弦值,往往采用和差化积或者平方后求和与差的方法进行运算.
1. 已知,求的值.
[答案] 因为,
所以.
因为,
所以.
易知,
所以,
所以,
所以.
1. 设,则( )
A. B.
C. D.
B
2. [2020河南安阳林州一中高一月考] 设,则( )
A. B. C. D.
C
3. [2021河北邢台高一检测] 已知,则的值为( )
A. B. C. 1 D. 0
D
[解析] ,则函数的最小正周期为,
且，
所以
4. 已知,且,则( )
A. B. 9 C. -3 D. 3
C
[解析] 由,得,所以
.
5. [2020山东高唐第一中学高一检测] （多选）已知函数,则下列说法中正确的有( )
A. 的最大值为2
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
BCD
[解析] 因为
,
所以,函数的最小正周期.故A中说法错误,B中说法正确.
当时,,所以直线为图象的一条对称轴.故C中说法正确.
当时,,所以在上单调递增.故D中说法正确.故选BCD.
6. [2020吉林延边第二中学高一月考] 在中,若,则( )
A. B. C. D.
A
[解析] .
7. [2021江西上饶高一期中] 已知函数,当时,取得最大值,则的值为____.
1
[解析] 因为
,其中,
所以依题意，解得.
8. 若,则____.
[解析] 由题意得,
,
故.
9. 已知.
（1） 求;
[答案] 因为,所以，
又因为,所以,
所以.
（2） 求的值.
[答案]
.
10. 求值：.
[答案] 原式
.
11. [2021安徽芜湖高一期末] 设函数在区间上的最小值为-4,则的值等于( )
A. 4 B. -6 C. -4 D. -3
C
[解析] . 当时,,
所以,所以.
12. [2020湖北黄冈高一检测] 在中,若,则下列等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 因为
,
所以,所以.
因为,
所以,
所以,所以.
13. [2021北京人大附中高一期末] 函数的最大值为__________.
[解析] 因为
其中,
因此函数的最大值为
.
14. ______.
[解析]
.
15. 求证：.
[答案] 证明 左边
右边,
所以原等式成立.
16. 设函数的图象关于直线对称,其中为常数,且.
[解析] 命题分析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,函数的值域,考查运算求解的能力,考查直观想象与数学运算的核心素养.
答题要领
（1）先由二倍角公式,两角差的正弦公式将转化为,再根据其图象关于直线对称求的值,由周期公式求的最小正周期.
（2）根据的图象经过点,求的值,由正弦函数的性质求值域.
（1） 求函数的最小正周期;
[答案] 因为
.
由直线是图象的一条对称轴,
可得.所以,
即.
又,所以,所以的最小正周期是.
（2） 若的图象经过点,求函数的值域.
[答案] 由（1）知,,由的图象过点,
得,即,
故,
所以函数的值域为.
方法感悟 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法：先将化为的形式,然后用辅助角公式化为的形式,再借助的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.(共56张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
第1课时 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其变换
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解参数 的变化对函数 图象的影响，以及函数 图象上午变换过程. 2.会用“五点法”画函数 的简图. 3.能根据函数 的部分图象，确定其解析式. 4.掌握函数 的性质，并能熟练运用. 直观想象——会将函数图象进行平移变换，会求函数图象进行变换后的解析式.
要点一对图象的影响
一般地,把正弦曲线上的所有点①_______（当时）或②_______（当时）③平移______个单位长度,就得到函数的图象.
向左
向右
要点二对图象的影响
一般地,函数的周期是,把图象上所有点的④_________缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（⑤_________不变） ,就得到的图象.
纵坐标
横坐标
1. 将（）的图象向左平移个单位长度能得到（）的图象吗
提示︰不能,将（）的图象向左平移个单位长度得到函数 （）的图象.
要点三对图象的影响
一般地,函数的图象,可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当⑥时）或缩短（当⑦时）到原来的倍（横坐标不变）而得到.
2. 函数的图象经过怎样的变换可得到与的图象
提示：将函数图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象；将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象.
要点四 函数（）图象的变换
一般地,函数（）的图象,可以用下面的方法得到:先画出函数的图象;再把正弦曲线向左（或右）平移个单位长度,得到函数的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） ,得到函数的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） ,这时的曲线就是函数的图象.
函数的性质
性质 符号
定义域
值域
周期性
对称性 对称中心
对称轴
续表
性质 符号
奇偶性 当时,是奇函数;当时,是偶函数
单调性 在上单调递增;
在上单调递减
探究点一 平移变换
例
（1） 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得到的函数图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得到的函数图象的解析式为
（2） 为了得到余弦曲线,只需将正弦曲线沿轴_______个单位长度(填所有正确的序号).①向右平移;②向左平移;③向右平移；④向左平移.
②③
[解析] 将正弦曲线沿轴向右平移个单位长度,得到曲线,①不正确;
将正弦曲线沿轴向左平移个单位长度,得到曲线,②正确;
将正弦曲线沿轴向右平移个单位长度,得到曲线,③正确;
将正弦曲线沿轴向左平移个单位长度,得到曲线,④不正确.
解题感悟
函数图象的平移变换
1.左右平移:已知平移规律为“左加右减”,即：
(1)若将函数的图象沿轴向右平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为.
(2)若将函数的图象沿轴向左平移φ个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
2.上下平移:
已知平移规律为“上加下减”,即：
(1)若将函数的图象沿轴向上平移个单位长度,则得到的函数图象的解析式为.
(2)若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度,则得到的函数图象的解析式为
1. 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
A
[解析] 因为,所以要得到函数的图象,只需将函数的图象向右平移个单位长度.
2. 将函数的图象向下平移3个单位长度,所得函数图象的解析式的最大值为____,最小值为____.
3
1
[解析] 将函数的图象向下平移3个单位长度,所得函数图象的解析式为,故最大值为3,最小值为1.
探究点二 伸缩变换
例
（1） 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的3倍,所得函数图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象,纵坐标伸长为原来的3倍,得到的图象.故选C.
（2） 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,所得到的函数图象的解析式为____________.
[解析] 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,所得到的函数图象的解析式为.
解题感悟
函数图象的伸缩变换
1.横向伸缩:
已知横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”,即将函数图象上各点的横坐标伸长（当时)或缩短（当时)到原来的1ω倍（纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为
2.纵向伸缩:
已知纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”,即将函数图象上各点的纵坐标伸长（当时)或缩短（当时)到原来的倍（横坐标不变),得到的函数图象的解析式为
1. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到的函数图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
A
2. [2020山东泰安高一期中] 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再沿轴向右平移个单位长度,所得函数图象的解析式为___________.
[解析] 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,再沿轴向右平移个单位长度,得到函数的图象.
1. [2021江西贵溪实验中学高一月考] 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向右平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度
A
2. 用“五点法”作的图象时,首先应描出的五点的横坐标是( )
A. B.
C. D.
B
3. [2021黑龙江大庆第四中学高一月考] 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为( )
A. B. C. 0 D.
B
[解析] 得到的偶函数图象的解析式为,结合选项可知,可取.
4. [2021江苏盐城中学高一月考] 已知函数的最大值为5,最小值为-1,则____.
3
[解析] 因为,所以当时,函数取得最大值,当时,函数取得最小值,即解得.
1. [2021湖南师范大学附属中学高一期末] 若要得到函数的图象,只需将函的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
C
2. [2020陕西渭南铁路自立中学高一检测] 将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得函数图象的解析式是( )
A. B.
C. D.
B
3. 将函数的周期变为原来的4倍,所得函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
C
4. [2021辽宁锦州高一期末] 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
C
5. （多选)函数的图象可由函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度,横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
B. 向左平移个单位长度,横坐标缩短到原来的,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
C. 横坐标缩短到原来的,向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
D. 横坐标缩短到原来的,向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍而得到
BD
[解析] 先平移后伸缩：
的图象的图象的图象的图象.
先伸缩后平移：
的图象的图象的图象的图象.故B、D正确.
6. [2020山东五莲第一中学高一检测] 已知是实数,则函数的图象不可能是( )
A.
B.
C.
D.
D
[解析] 当时,选项中的图象符合.当时,,且最小值为正数,A选项中的图象符合.当时,,且最小值为负数,B选项中的图象符合.D选项中,由题意得,所以,而由图象知,矛盾,故选D.
7. [2020湖北咸宁高一检测] 将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则的值为____.
[解析] 将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,所以.
8. [2021吉林长春外国语学校高一月考] 给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移个单位长度;
④图象向左平移个单位长度;
⑤图象向右平移个单位长度;
⑥图象向左平移个单位长度.
如果用上述变换中的两种变换,将函数的图象变换为函数的图象,那么这两种变换的序号是_____________（按变换先后顺序填上你认为正确的序号即可).
④②或②⑥
[解析] 按“先平移,后伸缩”变换：的图象的图象的图象.
按“先伸缩,后平移”变换：的图象的图象的图象.故答案为④②或②⑥.
9. [2020安徽定远育才学校高一检测] 将函数的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为,则函数的表达式可以是_______________.
[解析] 将函数的图象向下平移1个单位长度得到的图象,再把函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.
10. 函数的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？
[答案] 先把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变)得到的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变)得到函的图象;最后将所得的函数图象向下平移3个单位长度得到函数的图象.
11. [2021山西新绛第二中学高一期末] 为得到函数的图象,可以把的图象向右平移个单位长度,那么的最小正值是
( )
A. B. C. D.
C
12. （多选）如果由函数的图象变换得到函数的图象,那么下列变换正确的是( )
A. 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍
B. 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半
C. 向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变
D. 将横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向左平移个单位长度
CD
[解析] 函数,函数.
函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到的图象,故A不正确.函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半,得到的图象,故B不正确.将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数
的图象,再将所有点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到函数的图象,故C正确.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到函数的图}象,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,故D正确.故选CD.
13. 若将函数的图象向右平移个单位长度后,与函数的图象重合,则的最小值为____.
[解析] 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,故,
即,解得,的最小值为.
14. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若在区间上为增函数,则的取值范围是_________.
（
[解析] 将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,因为在上为增函数,且 的图象过原点,所以 解得 ,又 ,所以
15. [2020山东滨州一中高一月考] 已知函数.
（1） 请用“五点法”画出函数在一个周期的闭区间上的简图;
[答案] 列表如下：
0
0 1 0 -1 0
描点、连线,图象如图所示.
（2） 求函数的单调递增区间;
[答案] 令,解得,所以函数的单调递增区间是.
（3） 的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？
[答案] 先将的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的,即可得到的图象.
16. 将函数的图象向左平移1个单位长度,可得函数的图象,将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数的图象.
（1） 在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象;
（2） 判断方程的解的个数.
答题要领（1）先根据图象的平移变换求函数和的解析式,再分别作出图象;
命题分析 本题考查对数函数图象与三角函数图象,求方程的解的个数,考查数形结合思想,过程中体现直观想象的核心素养.
（2）观察两图象的交点个数,即得方程的解的个数.
[详细解析] （1）将函数的图象向左平移1个单位长度,可得函数的图象;将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数g (x)=cos [2 (x+)-]=cos2的图象.
画出函数和的图象,如图所示.
（2）由图象可知,两个图象共有5个交点,即方程的解的个数为5.
方法感悟 求解本题的易错点：①对函数图象平移法则理解不透彻,导致函数和的解析式求错;②作图不规范,导致函数图象的交点个数出错.(共52张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
第2课时 函数y=Asin（ωx+φ）的性质及其应用
探究点一 由函数图象求解析式
例 函数的部分图象如图所示,求此函数的解析式．
[答案] 由题图易知,点和分别是“五点法”作图中的第3个点和第5个点,所以解得所以.
解题感悟
给出函数图象的一部分,确定,,的方法：
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定和,那么求φ时,选取“五点法”
中的“第一个点”的数据代入“”求解(要注意正确判断哪一点是“第一个点”),或选取最大值点代入或选取最小值点代入求解.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数,,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
1. 已知函数的部分图象如图所示,若,求的解析式.
[答案] 由题图可知.所以.由周期知.由得,所以,
所以,所以,又,所以.
所以.
探究点二 函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
例 已知函数的最小正周期是,将其图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的函数图象的一个对称轴的方程是
( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由函数的最小正周期是,得,解得,则函数,}将其图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为,令,得,当时,,即所得到的函数图象的一个对称轴方程为.
解题感悟
函数图象的对称轴方程由,求得,为，；对称中心由求得,为
1. 已知函数的最小正周期为,则该函数图象
( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
A
探究点三 三角函数性质的综合问题
例 已知函数.
（1） 求的最小正周期及单调递增区间;
[答案] 函数的最小正周期.令,得,所以的单调递增区间为.
（2） 求图象的对称轴方程和对称中心;
[答案] 令,则,所以函数图象的对称轴方程为.令,则,所以函数图象的对称中心为.
（3） 求的最小值及取得最小值时的取值集合.
[答案] 令,则,所以时,取得最小值,所以的最小值为,此时的取值集合是.
解题感悟
确定函数单调区间的方法：采用“换元法”整体代换,将看作一个整体,令“”,即通过求的单调区间从而求出函数的单调区间．
1. 已知函数是上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上具有单调性,求和的值.
[答案] 由是偶函数,得函数的图象关于轴对称,所以在处取得最值,即,即,因为,所以.由的图象关于点对称,可知,即,解得.又在上具有单调性,
所以,即,所以.又,所以当时,;当时,.故.
1. 若函数是偶函数,则的值可以是( )
A. B. C. D.
A
2. 若在区间上单调递增,则的最大值为____.
[解析] 由题意可得,且,解得,故的最大值为.
3. 已知函数图象的一条对称轴是直线,则的值为_______.
[解析] 由题意知,则,又,所以.
4. 函数的部分图象如图所示,则其解析式为_______________________________________.
[解析] 由题图知,,所以,又函数图象过点,所以,所以,所以,故可取,所以.
直观想象——数形结合思想在函数中的应用
1. 已知关于的方程在上有两个不同的实数根,则的取值范围是___________
(.
审：本题根据方程在闭区间上有两个不同的实数根求参数的取值范围.
联：函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
解：方程在上有两个不同的实数根等价于方程①在上有两个不同的实数根,即函数②的图象与直线③在上有两个不同的交点.
如图,需满足④,解得,即实数的取值范围为(.
思：本题是将方程根的问题转化为函数图象和直线交点的问题,再利用数形结合思想进行求解,充分体现数形结合、转化与化归的数学思想.
1. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.若方程在区间上有两个不同的实数解,则的值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 要使方程在区间上有两个不同的实数解,只需函数的图象与直线在区间上有两个不同的交点,由题图知,两个交点关于直线或直线对称,因此.
1. 函数的部分图象如图所示,则( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列能表示函数在区间上的简图的是( )
A
A.
B.
C.
D.
3. 同时具有性质“①最小正周期是;②图象关于直线对称;③在上单调递增”的一个函数是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由①知,排除A选项.由②③知,当时,取得最大值.验证选项知只有C选项符合要求.
4. 已知函数的图象关于直线对称,且,则的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
[解析] 由题意得函数的最小正周期,则,解得,故的最小值为2.
5. 的图象关于点对称,则的值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 因为点为图象的对称中心,所以,即,即,所以.
6. （多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是奇函数,则关于函数的图象,下列说法不正确的有( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
ABC
[解析] 将函数的图象向右平移个单位长度后,可得到的图象,根据得到的图象对应的函数是奇函数,
可得,即,又,所以,所以.令,则,故A中说法不正确.令,则,故B中说法不正确.令,则,为函数的最大值,故C中说法不正确,D中说法正确.
7. 若函数对任意都有,则________.
-3或3
[解析] 由于函数对任意都有,故函数的图象关于直线对称,则是函数的最大值或最小值, 则.
8. 已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求的解析式;
[答案] 由题图知,所以.所以.因为函数的图象过点,所以,所以,即,又,所以,所以.
（2） 把的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[答案] 设的图象向左平移个单位长度,则由
为偶函数,知,即.因为,所以.故至少把的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
9. [2021陕西西安铁一中学高一期末] 已知函数的部分图象如图所示.
（1） 求函数的解析式,并求出的单调递增区间;
[答案] 由题图可知,,所以,则,所以.因为的图象过点,所以,所以,所以又所以所以.令,得,
所以的单调递增区间为.
（2） 将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度得到的图象,若存在,使得等式成立,求实数的取值范围.
（2）由图象变换得的图象,所以存在 ,使得等式成立,即在上有解,令则则 ,所以 ,即 .
10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,且的图象关于点对称,则( )
A. B. C. D.
D
[解析] 由题意得,因为的图象关于点对称,所以,所以,即, 因为,所以.故选D.
11. [2021河南林州一中高一检测] 将函数的}图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则函数在上的最小值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 平移得到的图象对应的解析式为,因为的图象关于轴对称,所以为偶函数,所以,所
以,所以,因为,所以,当时,,所以,当且仅当时,故选B.
12. [2020湖北潜江高一检测] 将函数的图象向右平移个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则的最小值为_____.
[解析] 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象,由于新的函数图象关于原点对称,故,故,因为,所以当时,取得最小值.
13. [2020陕西铜川第一中学高一检测] 如果函数的图象关于直线对称,那么的值为_____.
-1
[解析] 因为函数的图象以直线为对称轴,所以到距}离相等的值对应的函数值应相等,所以对任意恒成立.令,得,,所以.
14. 已知函数在区间上的图象如图所示.
（1） 求函数的解析式;
[答案] 由题意得,周期,故.
因为在处取得最大值,所以,则,又,所以.所以.
（2） 若把函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,求的最小值.
[答案] 因为,所以离轴最近的最大值处的对称轴在处取得,故把函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,即的最小值为.
15. 已知函数,其中常数.
（1） 若在上单调递增,求的取值范围;
[答案] ,根据题意有解得.所以的取值范围是（.
（2） 令,将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,区间满足：在上至少有30个零点.在所有满足上述条件的中,求的最小值.
[答案] 由可得,
,由得,所以或,即
或,即的零点相邻间隔依次为,…,故若在上至少有30个零点,则的最小值为.(共61张PPT)
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解三角函数的性质. 2.掌握三角函数的实际应用. 1.直观想象——会用三角函数图象的性质解决实际问题.
2.数学运算——会用三角恒等变换解决相关问题.
要点一 简谐运动
在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数表示,其中.
就是这个简谐运动的①_______,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的②_______；
这个简谐运动的顿率由公式给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的③_______；
称为④_______；时的相位称为⑤_______.
时间
次数
相位
初相
振幅
要点二 描述简谐运动的物理量
1. 的周期是多少？
提示，故周期为8.
2. 的相位、初相各是什么？
提示 相位是，初相是.
探究点一 三角函数模型的实际应用
例 已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间（时）的函数,其中,记,下表是某日各时的浪高数据:
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,的图象可近似地看成是函数的图象.
（1） 根据以上数据,求函数的解析式及其最小正周期、振幅；
[答案] 由题表中的数据可知,,所以.
因为时,,所以,又时,,所以,所以,
所以函数的解析式为.
（2） 根据规定,当海浪高度大于1米时该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,请依据（1）中的结论,判断一天内从8:00到20:00之间,有多少时间可对冲浪爱好者开放.
[答案] 因为当时,该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,
所以,即,所以,即.又,所以或或,
所以在规定时间内只有6个小时对冲浪爱好者开放.
解题感悟
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
二是把实际问题转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模。
某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：.
（1） 求实验室这一天的最大温差；
[答案] 因为,
,所以,
所以.
当时,；
当时,.
所以在上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天内的最高温度为,最低温度为,最大温差为.
（2） 若要求实验室温度不高于,则在哪段时间内实验室需要降温？
[答案] 依题意,当时实验室需要降温.
由（1）得,
故有,
即.
所以,又,所以.
故在10时至18时内实验室需要降温.
探究点二 三角函数在物理中的应用
例 单摆从某点开始来回摆动,已知离开平衡位置的位移（单位:）和时间（单位:）的函数关系式为.
（1） 作出函数的图象；
[答案] 函数的图象如图所示.
（2） 当单摆开始摆动时,离开平衡位置的位移是多少
[答案] 当时,,
所以此时离开平衡位置的位移是.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少
[答案] 当单摆摆动到最右边时,有最大值6,即此时离开平衡位置的位移是.
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间
[答案] 因为,
所以单摆来回摆动一次所需的时间为.
解题感悟
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
交流电的电压（单位:）与时间（单位:）的关系可用来表示,求:
（1） 开始时的电压；
[答案] 当时,,
即开始时的电压为.
（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
[答案] ,即电压值重复出现一次的时间间隔为.
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
[答案] 电压的最大值为,
当,即时第一次取得最大值.
1. 下图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
D
A. 该质点的振动周期为
B. 该质点的振幅为
C. 该质点在和时的振动速度最大
D. 该质点在和时的加速度为零
2. 电流强度与时间的函数关系式为,其在一个周期内的函数图象如图所示,则该函数的解析式为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知,,所以,
所以.将点代入,得,即,解得,令,得,所以.故选C.
3. 当心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.健康成年人的收缩压和舒张压的范围一般为90～140和60～90.设某人的血压满足函数,其中为血压,为时间,则函数的周期为_____；此人每分钟心跳的次数为_____.
80
4. 如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的部分图象,且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.求的值和两点间的距离．
[答案] 连接(图略).依题意,有,
所以,又,所以,
所以.
当时,,所以.又,所以,即两点相距.
数学建模——三角函数模型的实际应用
1. 一半径为的水轮如图所示,水轮圆心距离水面.已知水轮按逆时针方向匀速转动,每转一圈,如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间.
[解析] 审：以水轮旋转为背景,需要将点距离水面的高度表示为时间的函数,再求解点第一次到达最高点大约需要的时间,最后证明为定值.
联：
（1）建立平面直角坐标系,设,根据条件求出参数;
（2）用正弦函数的性质求解点第一次到达最高点需要的时间;
（3）将代入的解析式中,并证明.
（1） 试建立适当的坐标系,将点距离水面的高度表示为时间的函数;
[答案] 解：根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系.
设,则①2,②1,
因为,所以,所以,
因为时,,所以,解得,
因为,所以,
所以③.
（2） 点第一次到达最高点大约需要多长时间
[答案] 令,得,
所以,解得,
所以当④0时,点第一次到达最高点,
所以点第一次到达最高点大约需要.
（3） 记,求证:为定值.
[答案] 证明：由（1）知,
⑤,
,
所以⑥3,
即为定值.
思
思：数学建模的步骤：发现问题、提出问题;分析问题、建立模型;确定参数、计算求解;验证结果、改进模型.
思
1. [2021江苏淮安高一期末] 如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图,该摩天轮近似看作半径为的圆,圆上最低点与地面的距离为,摩天轮每60秒匀速转动一圈,摩天轮上某点的起始位置在最低点处.图中与地面垂直,以为始边,逆时针转动角到,设点与地面间的距离为.
（1） 求关于的函数解析式;
[答案] 以圆心为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则以为始边,为终边的角为,
故点B的坐标为,
所以.
（2） 设从开始转动,经过秒后到达,求与之间的函数关系式;
[答案] 点在圆上转动的角速度是,故t秒转过的弧度数为,
所以
）.
（3） 如果离地面高度不低于才能获得最佳观景效果,在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点在最佳观景效果的高度上？
[答案] 由,
解得,
所以,
则,
故在摩天轮转动的一圈内,B点在最佳观景效果的高度上持续的时间为20秒.
1. 下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过个周期后,乙将移至( )
A. 轴上 B. 最低点 C. 最高点 D. 不确定
C
2. 如图为一直径为的水轮,水轮圆心距水面,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离与时间满足关系（其中表示在水面下,则( )
D
A. B. C. D.
3. [2021山东济宁高一检测] 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式,据此可知,这段时间水深（单位：米）的最大值为( )
C
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
4. 如图所示,一个单摆从运动到,角与时间满足函数关系式,则当时,角的大小及单摆的摆动频率分别是( )
A
A. B. 2, C. D. 2,
5. [2021湖南长沙南雅中学高一月考] 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量（单位：辆/分钟）与时间（单位：分钟）的函数关系式为,则车流量增加的时间段是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 令,得.
因为,所以当时,函数的单调递增区间为,当时,函数的单调递增区间为.
因为,所以车流量在时间段内是增加的,故选C.
6. [2021福建宁德一中高一月考] 如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界上最大的观景摩天轮,已知其旋转半径是60米,最高点距离地面135米,运行一周大约为30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约( )
A. 95米 B. 100米 C. 105米 D. 110米
C
[解析] 设人在摩天轮上距离地面的高度（米）与时间（分钟）的函数关系为
,
由题意可知,所以,
即,
因为,
所以,故,
所以,
所以.故选C.
7. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数来表示,已知6月份的月平均气温最高,为月份的月平均气温最低,为,则10月份的平均气温为_______.
20.5
8. [2021江西南昌二中高一检测] 如图所示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度在某天内的变化情况,则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为_______________.
9. [2021陕西西安庆安高级中学高一月考] 某港口的水深是时间,单位：小时）的函数,下面是每天时间与水深的关系表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测,可近似看成函数）.
（1） 根据以上数据,求出的解析式;
[答案] 由题表中数据可得：水深的最大值为13,最小值为7,
所以则,
且相隔12小时达到一次最大值,说明周期为12,因此,
故.
（2） 若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？
[答案] 要想船舶安全,必须,即,
所以,所以,解得,
当时,;当时,.故船舶能安全进出该港的时间段为1:00至5:00,13:00至17:00,共8个小时.
10. 在两个弹簧上各有一个质量分别为和的小球做上下自由振动．已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由确定,则当时,与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
C
[解析] 当时,
故
11. 如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是___________________.
[解析] 由题图可设,则,所以,所以,
将代入中,得,
所以,即,令,得,所以.
12. 国际油价在某一段时间内呈现正弦波动规律:的单位:美元,的单位:天,）,现获取到下列信息:最高油价为80美元,当时达到最低油价,则的最小值为______.
[解析] 因为的最大值为80,
,所以,
当时达到最低油价,即,
此时,
因为,所以当时,取得最小值,
所以,解得.
13. 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律：
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
已知入住客栈的游客人数与月份之间的关系可用函数近似描述.
（1） 求该函数的解析式;
[答案] 由①得最小正周期,所以.
由②得最小,最大,且
由③得在,上单调递增,且,所以,
所以解得
又最小,最大，所以
因为,所以,
所以
（2） 请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
[答案] 由，得
所以,
解得，
因为且,所以
即6月,7月,8月,9月,10月这五个月份要准备不少于400人的用餐.
14. 在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距,低潮时水的深度为,高潮时为,其中有一次高潮发生的时间是10月10日4：00.每天涨潮落潮时,水的深度与时间近似满足关系式（其中）.
（1） 若从10月10日0：00时开始计算时间,求该港口的水深和时间之间的函数关系式;
[答案] 依题意知,
故,
,所以,
因为时,,所以,
所以,所以.
（2） 10月10日17：00时,该港口水深约为多少？（精确到,参数数据：）
[答案] 时,
,即该港口的水深约为.
（3） 10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于
[答案] 令,
则,
因此,
所以,
所以.
令,得;
令,得.
故这一天共有的时间水深低于.
