(共35张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
课标解读 课标要求 素养要求
1.通过实例，了解集合的含义 2.掌握集合中元素的三个特性. 3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用. 1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.
2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.
要点一 集合与元素的概念
1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①_________________表示集合，用小写拉丁字母②________________表示集合中的元素.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③_________，我们就称这两个集合是相等的.
，，，…
，，，…
一样的
要点二 集合与元素间的关系
如果是集合的元素，就说a属于集合A，记作；如果不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作.
要点三 数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 或 ；
全体整数组成的集合称为整数集，记作；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④____；
全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤____.
1. 班上高个子的同学能称为元素吗？
提示 不能，个子高的同学无法确定为一个具体对象.
2. 坐标平面内所有的点组成的集合为，那么，都成立吗
提示，.
3. 集合与或有何区别
提示 集合N中的元素是0和正整数；集合或，中的元素是正整数.
4. 与有何区别
提示 集合中的元素是0和正整数，集合中的元素是0、负整数与正整数.如：，，，.
1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.
2.集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
3.常用数集关系网
探究点一 集合的概念
例 下列各组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的旅游景点；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于2021的自然数；
④2020年我校体育节中的金牌获得者.
A. ③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
B
[解析] ①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
解题感悟
一般地，确认一组对象能否构成集合的过程如下：
有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面直角坐标系上到点的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
[解析] “接近”“比较小”没有明确标准．③④均可构成集合．故选B.
探究点二 元素与集合的关系
例
（1） 下列所给关系正确的个数是( )
①；②；③；④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
[解析] ①是实数，所以正确；②是无理数，所以正确；③0不是正整数，所以错误；④为正整数，所以错误．故选B.
（2） 已知集合含有三个元素2，4，6，且当时，有，那么为( )
A. 2 B. 2或4 C. 4 D. 0
B
[解析] 当时，，
当时，，
所以或.故选B.
解题感悟
判断元素与集合关系的两种方法
1.直接法：
（1）使用前提：集合中的元素是直接给出的；
（2）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2.推理法：
（1）使用前提：集合中的元素不便直接表示的；
（2）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.
1. 已知集合中的元素满足，常数，若，，则的取值范围是_____________.
[解析] ，，，且，解得.
2. 用符号“”或“”填空.
设集合是所有满足方程的有序数对的集合，则-1________.
[解析] 因为集合中的元素是所有满足方程的有序数对，所以，.
探究点三 集合中元素的特征及运用
例 已知集合含有两个元素1和，若，求实数的值.
[答案] 由题意可知，或，
若，则，这与矛盾，故.
若，则或（舍去），又当时，中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上可知，实数的值为0.
（1）求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）；
（2）检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
（3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）.
易错点拨 常因忘记验证集合中元素的互异性而失分.
解题感悟
由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤
[2020河南南阳高一检测] 设集合满足：若，则，且集合Ｍ中所有元素之和为，，则集合Ｍ中的元素个数为( )
A. 22 B. 22或23 C. 23 D. 23或24
C
因为，
所以，
集合Ｍ中的元素个数为11×2+1=23，
故选C.
[解析] 由集合满足：若，则，得当时，集合中两个互异的元素与之和为2020，
当时，，
1. [2021安徽黄山高一期末] 下列元素与集合的关系不正确的是( )
A. B. C. D.
D
2. （多选）下列各项中，可以组成集合的是( )
A. 所有的正数 B. 等于2021的数
C. 接近于2021的数 D. 不等于0的数
ABD
3. “”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
4. 有下列说法：
①与是同一个集合；
②中的元素都是中的元素；
③中的元素都是中的元素；
④中的元素都是中的元素.
其中正确的有_______（填序号）.
②④
5. 若集合是由元素-1，3组成的集合，集合是由方程的解组成的集合，且，求实数，.
[答案] 因为，所以-1，3是方程的解.
则解得.
1. [2020海南东方八所中学高一月考] 下列所给的对象能构成集合的是( )
A. 2021届的优秀学生
B. 高一数学必修第一册课本上的所有难题
C. 遵义四中高一年级的所有男生
D. 比较接近1的全体正数
C
2. 设集合只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
C
3. [2020海南临高二中高一月考] 下列关系中，正确的个数为( )
①；②；③；④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
4. 若以集合中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形
A
5. [2021湖北荆州高一检测] 已知，是非零实数，代数式的值组成的集合是，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
B
6. （多选）下列说法中正确的有( )
A. 中最小的数是1
B. 若，则
C. 若，，则的最小值是2
D. 方程的解构成的集合中有2个元素
AC
[解析] 是正整数集，最小的正整数是1，故A说法正确；当时，，且，故B说法错误；若，则的最小值是1，又，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取最小值2，故C说法正确；的解构成的集合为，其中有1个元素，故D说法错误.故选AC.
7. 若集合中有两个元素-1和2，集合中有两个元素，，若与相等，则_____；_______.
-1
[解析] 由集合相等的概念可知，即.
8. [2021广西南宁三中高一检测] 已知集合是由全体偶数组成的，集合是由全体奇数组成的，若，，则____，____A（选填“”或“”）.
[解析] 因为是偶数，是奇数，所以是奇数，ab是偶数，故，.
9. 已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值.
[答案] ，或.
①若，则，
此时集合中含有两个元素-3，-1，符合题意；
②若，则，此时集合中含有两个元素-4，-3，符合题意.
综上所述，或.
10. [2021山西新绛第二中学检测] 已知集合是方程的解组成的集合，若，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 由可知，2为方程的一个解，所以，解得.
所以方程为，解得.故方程的另一个解为-1.选C.
11. [2020山东青岛高一期中] 由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
[解析] 当时，，，此时集合中共有2个元素；
当时，，此时集合中共有1个元素；
当时，，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个元素，故选A.
12. 集合中的元素满足，且，则集合中的元素为__________.
0，1，2
[解析] 由可得，可以为1，2，3，6，且为自然数，因此的值为2，1，0.因此中的元素为2，1，0.
13. [2020山东济宁第一中学高一月考，改编] 已知集合中含有三个实数，分别为若且，则_____.
-1
[解析] 由，“0不能做分母”可知，
故，所以，
即.由，可知或.
当时，，由集合中元素的互异性，
知不符合题意；
当时，或（舍去）.
故，所以的值为-1.
14. 设集合中含有三个元素3，，.
[解析] 命题分析 本题考查集合元素的特征，元素与集合的关系，考查运算求解能力，数学抽象的核心素养.
答题要领 （1）集合中含有三个元素，即3，，互不相同.
（2）由，可得或.且，.不相等.
（1） 求实数应满足的条件；
[答案] 由集合中元素的互异性可知，，且，.
解得且且.
（2） 若，求实数的值.
[答案] 因为，所以或.
由于，所以，所以.
（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
（2）利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
方法感悟(共43张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示法
课标解读 课标要求 素养要求
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合. 1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.
2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.
要点一 列举法
把集合的所有元素①___________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
要点二 描述法
一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有②_______特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
一一列举
共同
1. 分析列举法的优点与缺点各有哪些
提示 优点：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.
缺点：不易看出元素所具有的特征，有的集合不能用列举法表示.
2. 描述法的特点有哪些
提示 运算的规律 与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.
1.使用列举法表示集合的四个注意点
（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）元素无顺序，满足元素的无序性；
（4）对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个元素且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.
2.用描述法表示集合时的三个注意点
探究点一 列举法的应用
例 用列举法表示下列集合：
（1） 方程的所有实数解组成的集合；
[答案] 方程的解是，所以方程的解组成的集合为．
（2） 直线与轴的交点所组成的集合；
[答案] 将代入，得，即直线与y轴的交点是（0，2021），故直线与y轴的交点组成的集合是．
（3） 不大于8的正整数构成的集合；
[答案] 不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为．
（4） 15的正约数组成的集合.
[答案] 15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为 .
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如.
解题感悟
用列举法表示集合的步骤
1. 用列举法表示下列集合：
（1） 小于10的质数组成的集合；
[答案] 因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以.
（2） 方程的实数根组成的集合；
[答案] 方程的实数根为3，-1，
所以.
（3） 直线与直线的交点组成的集合D.
[答案] 得
所以直线与直线的交点为（1，3），所以.
探究点二 描述法的应用
例 用描述法表示下列集合：
（1） 比1大且比10小的实数组成的集合；
[答案] 可以表示成．
（2） 不等式的所有解组成的集合；
[答案] 可以表示成，即．
（3） 到两坐标轴距离相等的点组成的集合；
[答案] 可以表示成．
（4） 正奇数集.
[答案] 设，故全体奇数可用式子，表示，但此题要求为正奇数，故，所以正奇数集.
解题感悟
描述法的一般形式为，其中的表示集合中的代表元素，指的是元素的取值范围；则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素的取值范围需写明确，但若从上下文的关系看，是明确的，则可以省略，只写元素.
1. 用描述法表示下列集合：
（1） 被3除余2的正整数组成的集合；
[答案] 设被3除余2的正整数为，
则，，
所以被3除余2的正整数组成的集合
.
（2） ；
[答案]
（3） 平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
[答案] 易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，
即，，
故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
探究点三 集合表示方法的综合应用
例 集合，若集合中只有一个元素，求实数的值组成的集合.
[答案] ①当时，方程变为，解得，即，满足题意；
②当时，要使集合中只有一个元素，则方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时集合，满足题意.
综上所述，或，故实数k的值组成的集合为.
（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.
解题感悟
1. 已知集合.
（1） 若集合中只有一个元素，求实数的值；
[答案] 当时，原方程可化为，得，符合题意.当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得.所以当时，集合中只有一个元素.
（2） 若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围；
[答案] 由题意得，当
即且时，方程有两个实根，
又由（1）知，当或时，方程有一个实根.
所以的取值范围是.
（3） 若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
[答案] 由（1）知，当或时，集合中只有一个元素.
若集合中没有元素，则解得.综上，的取值范围是.
1. 下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A. B.
C. D.
B
2. （多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是( )
A.
B.
C.
D.
BD
3. 若，用列举法表示集合为_________.
4. 图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为___________
｛（x,y）/0≦x≦2,0≦y≦1｝
5. 给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是相等的．
其中正确的是_____（填写所有正确说法的序号）．
①
[解析] 直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点，故①正确；
方程等价于
即
所以方程的解为有序实数对(2,-2)，解集为，
或，故②不正确；
集合的代表元素是，集合的代表元素是，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
1. 数学抽象——描述法中点集与数集的区别
下面三个集合：
；
；
.
问：
（1） 它们是不是相同的集合？
[答案] 不是.在三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
（2） 它们各自的含义是什么？
[答案] 集合的代表元素是满足
故.
集合的代表元素是满足的故.
集合的代表元素是，满足条件，即表示满足的实数对，也可认为满足条件的坐标平面上的点．
因此，.
素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如表示数集，表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.
1. [2021山东济南高一期末] 下列集合与集合相等的是( )
A. (1,3) B.
C. D.
C
1. [2020湖南怀化高一期末] 如果集合，那么( )
A. B.
C. D.
D
2. 集合的另一种表示法是( )
A. B.
C. D.
B
3. 用描述法表示函数的图象上的所有点为( )
A. B.
C. D.
C
4. [2020山东枣庄十六中高一期中] 方程组的解集是( )
A. B. C. D.
D
5. 下列集合中恰有2个元素的集合是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 选项A中的集合只有一个元素；选项B中集合的代表元素是，则集合是方程根的集合，即；选项C，中的集合中都有无数个元素．
6. 设集合，若，则用列举法表示集合为_________.
[解析] ，，，.
7. [2020首都师范大学附属中学高一期中] 用列举法可以将集合表示为_______.
[解析] 由题意可知集合A中的元素表示能使方程有唯一实数解的的值，
当时，，解得；
当时，方程有唯一实数解，则，解得，综上.
8. 已知集合，，则集合与中有____个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为_______．
2
[解析] 因为，，所以当时，；当时，
；当时，.所以，．
所以集合与中有2个相同的元素，集合，中的相同元素组成的集合为．
9. 用适当的方法表示下列集合：
（1） 一年中有31天的月份的全体；
[答案] .
（2） 大于-3.5且小于12.8的整数的全体；
[答案] 或．
（3） 梯形的全体；
[答案] 或{梯形}．
（4） 所有能被3整除的数；
[答案] ．
（5） 不等式的解集．
[答案] ．
10. （多选）下列命题中正确的是( )
A. 集合中有两个元素
B. 集合中没有元素
C.
D. 与是同一个集合
AD
[解析] ；集合中有一个元素，这个元素是0，，故；根据集合中元素的无序性可知，与是同一个集合.所以选AD.
11. [2020海南第四中学高一月考] （多选）下列表示同一个集合的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
ACD
[解析] 中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合；
中集合中的元素是点，集合中的元素是点(5,2)，故P与Q不是同一个集合；中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合；
中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合.故选ACD.
12. 集合用列举法表示为____________.
[解析] 集合中的元素满足，，则：当时，；当时，；当时，；当时，，故集合为.
13. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合_______（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集_______________________.
不是
（答案不唯一）
[解析] 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.
若集合中有三个元素，则必有一个元素，即，故可取的集合有，等.
14. 已知集合，，.若，则是否存在，，使成立？
[答案] 存在.
因为，，
所以分别存在使得，
所以，若，则，，
所以要使则，，
即当为偶数时，存在，使成立.(共45张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解集合之间包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集. 3.会用子集与真子集的定义求解相关问题. 1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.
2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.
要点一 子集
一般地,对于两个集合，，如果集合中①_______________都是集合中的元素,就称集合为集合的子集,记作（或②________） ,读作“包含于”(或“包含”）.
任意一个元素
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.
要点三 集合与集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作③________.也就是说,若,且,则.
要点二图
要点五 空集
一般地,我们把⑤_______________的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的⑥_______.
要点六两个重要结论
1.任何一个集合是它本身的子集,即.
2.对于集体，，,如果,且,那么.
不含任何元素
子集
要点四 真子集
如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集,记作（或④________） ,读作“真包含于”(或“真包含”）.
1. 用图怎么表示？
提示
2. 若，，则吗？
提示，集合、中的元素是同一个一元二次方程的解，所以.
3. 与的含义相同吗？
提示 不同,表示集合是集合的真子集,表示集合是集合的真子集.
4. 与有什么区别
提示是不含任何元素的集合;是含有一个元素的集合,.
5. 若集合只有一个子集,则集合是什么集合
提示是.
6. 已知,则满足的集合有几个
提示 2个,即或.
1.“”可以理解为集合中的任何一个元素都是集合的元素,即对于任意都能推出.不能把“”理解为“是中部分元素组成的集合”,因为集合可能是空集,也可能是集合.
2.空集只有一个子集,即它本身,即;若,则.
3.在真子集的定义中,首先要满足,其次至少有一个,但.若不是的子集,则一定不是的真子集.
4.若,且,则;反之,若,则,且.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证,只需证与同时成立即可．若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.
探究点一 集合间关系的判断
例 判断下列各组中集合之间的关系:
（1） ，;
[答案] 若是12的约数,则必是36的约数,反之不成立,所以.
（2） ，，;
[答案] 易知集合，
集合，
集合,所以.
（3） ，.
[答案] 易知中的元素都是中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如,但,故.
（1）观察法:一一列举然后观察.
（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系.
（3）数形结合法:利用数轴或图.
提醒：若和同时成立,则更能准确表达集合,之间的关系.
解题感悟
判断集合间关系的方法
1. 判断下列各组集合之间的关系：
（1） ;
[答案] 集合的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与之间无包含关系．
（2） ;
[答案] 集合,用数轴表示集合,,如图所示,由图可知.
（3）
[答案] 由列举法知，，故.
（4） 集合集合
[答案] 因为，,所以.
探究点二 求集合的子集（真子集）及其个数
例
（1） 写出集合的所有子集,并求出真子集的个数;
[答案] 集合的所有子集:
，，，，，，，，
其中除外,都是的真子集,共7个.
（2） 写出满足的所有集合.
[答案] 由题意知,集合中一定含有元素3,4,
并且是至少含有三个元素的集合,
因此所有满足题意的集合有，，，，，，.
解题感悟
1.求集合子集或真子集的3个步骤
2.与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合中含有个元素,则：
（1）的子集有个;
（2）的非空子集有个;
（3）的真子集有个;
（4）的非空真子集有个.
1. 已知集合,试写出的所有子集.
[答案] 因为,所以.
所以的所有子集：，，，，，，，.
探究点三 集合间关系的应用
例 已知集合，,若,求实数的取值范围.
[答案] 当时,如图所示．
所以或
解这两个不等式组,得.
当时,
由,得.
综上可得,的取值范围是．
（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.
（2）空集是任何集合的子集,因此在解的含参数的问题时,要注意讨论和两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.
解题感悟
利用集合间的关系求参数问题
[2021湖北武汉武昌检测] 已知集合，,若,求实数的取值范围.
[答案] 因为,所以可分为和两种情况,
当时,,
解得,
当时,应满足
解得.
综上所述,.
1. 集合的子集有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
A
2. 下列表述正确的有( )
①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若,则.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
B
4
3. 已知集合,若,则实数____.
[解析] 因为，,所以,所以.
4. [2020江西宜春宜丰第二中学检测] 已知集合，,若,则实数的取值范围是________．
[解析] 因为所以
数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题
已知集合，，且求实数的所有取值组成的集合.
审：结论是求实数的取值范围,注意已知集合,是方程的解集.
联：集合是一元二次方程的解集,集合是一元一次方程的解集,但未知数前含有参数,因此需要分类讨论.
[答案] 解：由,得或,
所以集合.
当时,,满足①.
当时,,则.
因为,所以②
解得或.
综上可知,实数的所有取值组成的集合为③.
思：涉及“”或“”的问题,一定要分和两种情况讨论,不要忽视空集的情况,过程中体现了数学运算的核心素养.
1. 已知集合，.
（1） 若为非空集合,求实数的取值范围;
[答案] 若,
则有,解得,
所以实数的取值范围是.
（2） 若,求实数的取值范围.
[答案] 当时有以下三种情况:
①,即,解得;②且
则有无解;
③且
则有解得.
综上,实数的取值范围是.
1. 若,则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
A
2. 下列图形中,表示的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 满足关系的集合的个数是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
C
4. 已知集合,则下列正确的有( )
①;②;③;④.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
B
5. [2020山东济宁邹城一中高一期中] 已知集合，,则( )
A. B. C. D.
B
6. [2020陕西渭南临渭检测] 若集合,且中至少含有一个奇数,则这样的集合有____个.
6
[解析] 集合的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有，，，，，,共6个.
7. 集合有且仅有两个子集,则实数的取值为_________．
1或
[解析] 由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当时,满足题意．当时,由可得,故或.
8. [2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中] 已知集合,若,则________;的真子集有____个.
0或-1
7
[解析] 因为集合,
所以或解得或.所以集合,故A的真子集有个.
9. 已知集合，.
（1） 若,求的取值范围;
[答案] 若,由图可知,.
故实数a的取值范围为.
（2） 若,求的取值范围.
[答案] 若,由图可知,.
故实数a的取值范围为.
10. 若集合,集合,则( )
A. B. C. D. 以上均不对
C
[解析] 因为，,
又为奇数,为整数,所以.
11. [2020四川泸县第一中学检测] 设集合,集合,若，,则( )
A. -1 B. 0 C. 1 D.
D
[解析] 当时,有两个相等的实根,为-1,即,经检验,符合题意;
当时,有两个相等的实根,为1,即,经检验,符合题意;
当时,不成立．故.
12. 设集合和,那么与的关系为_________.
[解析] 因为,所以，同号,又,所以，,即集合表示第三象限内的点,又因为集合也表示第三象限内的点,所以.
13. 已知集合,则集合_________.若集合满足,则集合_________.
[解析] 解方程,得或,所以集合.因为集合满足,所以集合.
14. 设，．
（1） 若,试判定集合与的关系;
（2） 若,求实数组成的集合.
[答案] 当时,,因为,所以;
当时,,因为，,所以或,则或.所以.
[答案] ，
当 时, ,所以 .
15. 已知集合,集合.
命题分析 本题是探索性问题,主要考查含绝对值方程的解法,集合间的关系,考查运算求解能力,考查数学运算的核心素养.
答题要领（1）依题意,当且仅当集合A中的元素为1,2时,对任意实数都有.（2）若,则中的两个元素肯定有一个对应元素b.列出方程组,并求解.
（1） 是否存在实数,使得对于任意实数都有若存在,求出对应的的值,若不存在,说明理由;
[详细解析] 不存在.理由：
当且仅当集合中的元素为1,2时,对于任意实数都有.
因为,
所以或无解.
所以不存在实数,使得对于任意实数都有
（2） 若成立,求出对应的实数对.
[答案] 由（1）易知,若,则中的两个元素肯定有一个对应元素,
则或
或或
解得或或或
所以所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6),
方法感悟 （1）注意区分子集与真子集的概念;
（2）存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.注意分类讨论思想的运用.(共45张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集和交集. 2.能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 数学运算一会求两个集合的并集和交集，能根据两个集合的交集或并集求参数的值（或取值范围）.
要点一 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即①___________________，可用图表示.
要点二 交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即②___________________，可用图表示.
1. 若，，则中有几个元素？
提示，所以中有4个元素.
2. 中有几个元素？
提示因为中没有元素，所以，即中有0个元素.
1.仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成.“或”的数学含义如图，若集合和中有公共元素，根据集合元素的互异性，则公共元素在中仅出现一次.
（1），即两个集合的并集满足交换律.
（2），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.
（3），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
（4），，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.
（5）若，则，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集等于这个集合本身.
2.并集的性质
（1），即两个集合的交集满足交换律.
（2），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.
（3），即任何集合与空集的交集等于空集.
（4），，即两个集合的交集是其中任一集合的子集.
（5）若，则，反之也成立，即若是的子集，则，的交集是.
3.交集的性质
探究点一 并集的运算
例 设集合，，则( )
A. B.
C. D.
D
[解析] ，，故，故选D.
解题感悟
求两个集合的并集的方法
（1）两个集合用列举法给出：①依定义，直接观察，求出并集；②借助Venn图求出并集.
（2)两个集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助教轴，求出并集.
1. 设集合，则( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为，，所以.故选D.
2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 因为，所以.故选B.
探究点二 交集的运算
例
（1） 若，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 易知，，所以题图中阴影部分表示的集合为，故选A.
（2） 设集合，，则( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 在数轴上表示出集合与，如图所示.
则由交集的定义知，.
解题感悟
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
1. 若集合，，则( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 因为，，所以，故选A.
探究点三 交集、并集运算的性质及综合应用
例 已知集合，集合，且，试求的取值范围.
[答案] ①当，即时，，满足.
②当时，要使，
只需解得.
综上可知，.
解题感悟
利用集合交集、并集的运算性质解题的技巧
（1）在进行集合运算时，若条件中出现或，则应转化为，然后用集合间的关系解决问题，并注意的情况．
（2）集合运算常用的性质：①；②；③
1. 已知集合，，，则________________；若，则实数的取值范围为______________________.
或
[解析] 因为，，所以.
因为，所以.
①当时，，解得，满足；②当时，解得.
综上，或.
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
B
2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 在数轴上标出集合，B，如图所示，故，故选C.
3. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由图可知，阴影部分所表示的集合是.因为，，所以.故选D.
4. 已知集合，，则_______.
5. 若集合，，则____，______________.
[解析] 如图，借助数轴可知，．
数学运算——利用集合运算求参数问题
已知集合，，，求实数的值.
审：集合与集合的交集中的元素为3，即3是两个集合的公共元素，由此可以列出方程求参数的值.
联：当已知两个集合的运算结果求参数的值时，一般要根据集合的运算性质列出方程求解，同时注意验证所求得的参数值是否满足集合中元素的互异性.
解：因为，所以，所以，即，解得或.
当时，①___________________________，舍去；
当时，②_________，，符合题意.
综上，.
不满足集合中元素的互异性
[解析] 思：解答此类题目的思路是将集合中的运算结果转化为集合与元素之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到其关系；与不等式有关的集合，可利用数轴得到不同集合之间的关系.
1. 若集合，，，则满足条件的实数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
[解析] 因为，所以，所以或或，解得或或或.经检验，当或时满足题意，故选B.
1. [2020北京昌平高一检测] 已知集合，，那么( )
A. B.
C. D.
C
2. [2020北京第五中学高一测试] 集合，，那么( )
A. B.
C. D.
B
3. 设集合，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为
( )
A. B. C. D.
A
4. 集合，，若，则实数的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
D
5. 已知，两个集合分别用圆表示，则集合可用阴影表示为( )
D
A.
B.
C.
D.
6. （多选），，则，，之间的关系必有( )
A. B.
C. D.
AB
7. [2020甘肃平凉高一期中] 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
B
8. [2020浙江金华高一期中] 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 由题意得解得故.故选C.
9. [2021安徽池州第一中学检测] 已知集合，，若，求实数的取值范围.
[答案] 因为，所以，所以
解得，
故实数m的取值范围为.
10. 已知集合.若，求实数的取值范围.
[答案] 因为，所以，
当时，，解得；
当时，所以，
综上，.所以实数的取值范围是.
11. [2020山东菏泽单县第五中学高一月考] （多选）集合，，则( )
A. B.
C. D. 集合的真子集个数为8
AC
[解析] 因为，所以A选项正确，B选项不正确；，所以C选项正确；集合A的真子集个数为，所以D选项不正确.故选AC.
12. [2021江西吉安高一检测] 设集合，，则使成立的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 由得，则
①当时，，解得，满足条件.
②当时，解得.
综合①②可知，使成立的的取值范围为.
13. 已知集合，集合，若，则实数_____；若，则实数_______.
-2
2或4
[解析] 因为集合，集合，，所以.若，所以或，所以或（舍去）或.
14. 满足的所有集合的个数是____.
4
[解析] 由，知，且中至少有一个元素为5，从而中其余元素可以是集合的子集中的元素.而有4个子集，因此满足条件的有4个，它们分别是，，，.
15. 设，，，.
（1） 求，的值及，；
[答案] 因为，所以，，即，，
所以，
.
（2） 求.
[答案] 由（1）知，，
所以.
16. 已知集合，，试问是否存在使，同时满足下列三个条件：
（1）；
（2）；
（3）.
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
命题分析 本题考查集合的运算，集合间的关系，考查运算求解能力，考查逻辑推理的核心素养.
答题要领 先求集合，由条件（1）、（2）得出，由条件（3）得出，然后对集合分类讨论得出结论.
详细解析 不存在.理由：
假设存在使得，满足条件，
由题意得.因为，所以，即或.
由，可知.
又因为，所以，即或.
当时，代入得，即或.
经检验时，，与矛盾，舍去；
时，，与矛盾，舍去.
当时，代入得.即或.
经检验时，，与矛盾，舍去；
时，，与矛盾，舍去.
综上所述，不存在实数使得，满足条件.
方法感悟，可能为空集；，可能为空集.解决集合间的关系问题时应注意子集与真子集的区别，注意分类讨论和数形结合思想的应用.(共40张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解全集的含义及其符号表示。 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 3.会用图、数轴进行集合的运算。 1.数学抽象—能用补集的定义判断两个集合互补.
2.数学运算—会求一个集合的补集，会用补集思想求参数的值或取值范围。
要点一 全集
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①_______元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
所有
要点二 补集
对于一个集合，由全集中不属于集合A的②_______元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即③___________________.
所有
1. 全集一定是实数集吗？
提示 不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集.
2. 若，能否得到？
提示不确定.若，则必有，若，则.
3. 已知，，则_______________________________________________________________________________________.
.由知，，，集合中的其他元素都属于集合A.
1.补集的性质
，，，，，，.
2.含有两个集合运算结果（阴影部分）的图
3.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.
4.补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合的补集的前提是为全集的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的.
探究点一 补集的基本运算
例
（1） 若全集，，则等于( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为，，所以，故选C.
（2） 已知全集为，集合，，，则集合__________.
[解析] 因为，，所以.又，所以.
解题感悟
求集合补集的基本方法及处理技巧
（1）基本方法：定义法.
（2）两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴求解.
1. 设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意知集合
，
则，
故选B.
2. 设全集，，，则_________________.
[解析] 依题意，
所以.
探究点二 交集、并集、补集的综合运算
例 已知全集，集合，，求，，.
[答案] 如图，
由图可得
如图，
由图可得.
如图，
由图可得，
所以，
.
解题感悟
解决交集、并集、补集运算的技巧
（1）集合的交集、并集、补集运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，再按照从左到右的顺序进行计算.
（2）当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.
1. 已知全集，，，求，，，.
[答案] 因为，，
所以.
因为，
所以.
因为，，
所以，.
探究点三 与补集有关的参数的取值范围的求解
例 设集合，，全集，且，求实数的取值范围.
[答案] 由得，
.
把，表示在同一数轴上，
如图，
由数轴可得，，
即，
所以实数的取值范围是.
解题感悟
由集合的补集求解参数的问题
（1）如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解.
（2）如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解.
1. 设全集，集合，，且，则实数的取值范围是___________.
[解析] 因为，，
所以，由可知，.
1. 设，，则( )
A. B.
C. D.
A
2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
C
3. 设集合，，则( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 因为，所以.又，所以.故选C.
4. 若全集，且，则集合的真子集共有____个.
7
数据抽象——集合中元素的个数及相关运算
新定义：表示有限集合中元素的个数.
探究1：，则等于多少？
[答案] 中有3个元素，所以.
[答案] ，故中没有元素，.
探究2：、均为有限集合，且，能否推出？
[答案] ，故中元素的个数与集合中的元素一样多，所以中的元素都是集合 中的元素，所以 .
探究3：、均为有限集合，且，能否推出？
探究4：对于任意两个有限集合，，能否推出_______成立？
[答案] 如图，的元素分布在三个区域中，所以
.
已知高一（3）班共有学生40人，报名参加语文读书会的学生有24人，参加科学兴趣组的有15人，两个项目都没参加的有10人，那么两个项目都参加的有多少人？
由，
解得，故两个项目都参加的有9人.
[答案] 设两个项目都参加的有x人，利用图计算：
1. [2020北京第八中学高一月考] 已知，，，则下列运算中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
2. [2021广东韶关高一期末] 设，，则( )
A. B.
C. D.
C
3. [2020四川棠湖中学实验学校高一期中] 设全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
A
4. [2020山东济宁邹城一中高一月考] （多选）如图所示，阴影部分表示的集合是( )
AD
A. B.
C. D.
5. [2020贵州师范大学附属中学检测] 设，是非空集合，全集U=R,定义，已知，，则( )
A. B.
C. D.
C
6. [2020山东济宁邹城一中高一月考] 已知全集，，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
7. 已知集合，集合，若，则实数____.
5
8. 已知全集，，那么集合_________________，_________________.
9. [2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学检测] 已知全集，的子集，，求实数的值.
[答案] 由已知，得，且，
因此解得.
当时，，
，，满足题意.
因此实数的值为2.
10. 设全集，集合，.求：
（1） ；
[答案] 由题意知，，
所以.
（2） 记，，且，求实数的取值范围.
[答案] 由（1）得，由得.
当时，有，解得；
当时，有无解.
综上，的取值范围是.
11. 定义，现有三个集合，，分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示集合的为( )
A.
B.
C.
D.
A
12. 设全集，，，则与的关系是_____________.
[解析] 全集，，，则，则，.
13. 已知全集中有个元素，中有个元素.若非空，则中的元素个数为________.
[解析] 因为，所以中的元素个数是.
14. 已知集合，若，则实数的取值范围是__________.
[解析] 由知，即，因此，解得.
15. 已知集合，.
（1） 若，求的取值范围；
[答案] 因为，所以.
因为，所以解得.
所以的取值范围是.
（2） 是否存在实数使且？
[答案] 因为，所以或，解得或.
由（1）知，若，则，
因为，
所以不存在实数使且.(共38张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解充分条件，必要条件的概念. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 逻辑推理——能通过充分性、必要性解决简单的问题.
一般地，“若，则”为①_________，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，有可以推出，记作②________，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
如果“若，则”为③_________，那么由条件不能推出结论，记作④________.此时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件.
真命题
假命题
1. 若是的充分条件，这样的条件唯一吗？
提示不唯一.例如“”是“”的充分条件，可以是“”“”“”等.
2. 用“”“”填空.
①四边形是平行四边形_________四边形是正方形；
②_____；
③_____.
1.若，则是的充分条件.所谓充分，就是条件是充足的，条件是足以保证的，即“有之必成立，无之未必不成立”.
2.若，则是的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，即“有之未必成立，无之必不成立”.
3.若，则不是的充分条件，不是的必要条件，也可以称为是的不充分条件，是的不必要条件.
探究点一 充分条件、必要条件的判断
例
（1） 下列各题中，是的充分条件的是_____（填序号）.
①，；
②两个三角形面积相等，两个三角形全等；
③，方程无实根.
③
[解析] ①因为，所以或，不能推出，所以不是的充分条件.②因为两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等，所以不是的充分条件.③因为，所以，所以方程无实根，所以是的充分条件.
（2） 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有_______（填序号）.
①若，则；
②若为有理数，则为有理数；
③若，则.
①③
[解析] ①因为命题“若，则”是真命题，所以是的必要条件.
②当时，是有理数，但无意义，所以不是有理数，所以不是的必要条件.
③因为，等号左右两边平方后，等式依然成立，所以，所以是的必要条件.
解题感悟
充分条件、必要条件的判断方法
（1）判断是的什么条件，主要判断成立时，能否推出成立，反过来，成立时，能否推出成立：若为真，则是的充分条件，若为真，则是的必要条件.
（2）除了用定义判断充分条件、必要条件之外，还可以利用集合间的关系判断，若构成的集合为，构成的集合为，，则是的充分条件，是的必要条件.
1. 下列选项中，p是的必要条件的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
D
[解析] 要满足是的必要条件，即，只有符合题意，故选D.
探究点二 根据充分条件或必要条件求参数的取值范围
例 已知实数满足，其中；实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围.
[答案] ，记集合，由题意知，.，记集合.
因为，所以，
所以解得，即实数的取值范围是.
解题感悟
利用充分性与必要性求参数的值或取值范围问题的步骤：先把，等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
1. 集合，.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C
[解析] ，.
因为“”是“”的充分条件，所以或，即.
2. 已知，“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是_____________.
[解析] 因为“”是“”的必要条件，所以，
所以解得.
1. “四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的___________.
必要条件
2. 已知，则“”是“”的_______条件.
充分
3. 若，，则是的_______条件.
必要
4. 分析下列各题中与的关系.
（1） 为锐角，；
[答案] 由于，故p是的必要条件，是的充分条件.
（2） ，.
[答案] 由于，故p是的充分条件，是的必要条件.
数学建模——探索性问题的转化
1. 已知或和或，是否存在实数，使是的充分条件但不是必要条件 若存在，求出最小的正整数；若不存在，请说明理由.
审：本题是探索性问题，要根据与的关系求的取值.
联：是的充分条件但不是必要条件，即，且.可以联想集合间的关系.
解：存在.由题意知.由或，可设集合，由或，可设集合.
要使是的充分条件但不是必要条件，
则①_________，应有或
解得.
令，则，故.
即②________，且③________，
所以存在最小的正整数，满足题意.
[解析] 思：解答此类问题的关键是“是的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个集合间的包含关系建立不等关系求解，过程中体现了数学建模的核心素养.
是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.令集合，集合.
由题意知，，
即，解得.
故当时，
“”是“或”的充分条件.
1. [2020辽宁营口第二高级中学高一月考] 下列是“”的必要条件的是( )
A. B. C. D.
D
2. （多选）使成立的充分条件可以是( )
A. ， B.
C. ， D. ，
ACD
3. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
A
4. 若“”是“”的必要条件，则的一个值可以是( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
B
5. [2020海南海口高一检测] 已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 不是充分条件，也不是必要条件 D. 无法判断
A
6. （多选）下列各题中，p是的充分条件的是( )
A. 是无理数，是无理数
B. 四边形为等腰梯形，四边形的对角线相等
C. ，
D. ，
BC
7. 设，，一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，则是的_______条件；是的_______条件．（用“充分”或“必要”填空）
充分
必要
[解析] 当，时，函数的图象如图所示，
此时一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，
所以是的充分条件，是的必要条件．
8. 下列说法不正确的是_____.（只填序号）
①“”是“”的充分条件；
②“”是“且”的充分条件；③“”是“”的充分条件.
②
[解析] 由不能推出且，则②不正确；易知①③正确.
9. 指出下列各题中，是的充分条件，还是必要条件.
（1） ，；
[答案] 因为，，所以是的必要条件.
（2） ，；
[答案] 因为，所以是的充分条件.
（3） ，.
[答案] 因为且，，所以是的充分条件.
10. （多选）对任意实数a，，，下列命题中是真命题的是( )
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分条件
BC
[解析] 对，当时，“”“”，所以中命题是假命题；
对，“”“”“”“，”所以“”是“”的必要条件，所以中命题是真命题；
对，“”“”，因为，所以，即，所以“”“”是“”的充分条件，所以中命题是真命题；
对，当时，“”“”，所以D中命题是假命题.故选BC.
11. 已知集合，，若“”成立的一个充分条件是“”，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 因为“”成立的一个充分条件是“”，所以，所以，即.故选A.
12. 已知或，或.若是的必要条件，则实数的取值范围为_____________.
[解析] 因为或，所以.
因为是的必要条件，所以，
所以解得.
13. 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围为____________________.
[解析] 因为是的充分条件，所以，所以或，所以实数的取值范围是.
14. 已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
[答案] 因为“”是“”的必要条件，所以，
当时，，解得，
当时，此时不存在，
当时，此时不存在，
当时，此时，
综上所述，实数的取值范围是
.
15.
（1） 是否存在实数，使是“或”的充分条件？
（2） 是否存在实数，使是“或”的必要条件？
命题分析 本题考查根据充分条件、必要条件求参数的取值范围，考查逻辑推理的核心素养.
答题要领 （1）将问题转化为.
（2）问题转化为.再求解。
[详细解析] （1）要使是或的充分条件，
则只要，
即只要，所以.
故存在实数，使是或的充分条件．
（2）要使是或的必要条件，则只要，显然不成立.
故不存在实数m，使是或的必要条件．
方法感悟 解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(共39张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单问题的充要条件. 3.能对充要条件进行证明. 1.数学抽象——会用定义判断充要条件.
2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.
如果“若，则”和它的逆命题“①____________”均是真命题，即既有，又有，就记作②_________.此时，既是的充分条件，又是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.
若，则
1. 由“”是“”的充要条件，能否得出？
提示可以提出.若，则，反之，，故.
1.命题与的四个关系
（1）若，则与互为充要条件.
（2）若，但，则是的充分不必要条件.
（3）若，但，则是的必要不充分条件.
（4）若，且，则是的既不充分也不必要条件.
2.注意区别是的充分不必要条件（且）；与的充分不必要条件是（且）两者的不同.
（1）是的充要条件说明是条件，是结论.
（2）的充要条件是说明是条件，是结论.
3.“是的充要条件”与“的充要条件是”的区别：
探究点一 充要条件的判断
例 指出下列各题中，是的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.
（1） ，；
[答案] ，
则或，，
故，，
故p是的必要不充分条件.
（2） 能被6整除，能被3整除；
[答案] 能被6整除，故也能被3和2整除，能被3整除，故，，
故p是的充分不必要条件.
（3） 两个角都是直角，两个角不相等；
[答案] 两个角都是直角，则这两个角相等，
两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
即，，
故p是的既不充分也不必要条件.
（4） ，.
[答案] 因为，
所以是的充要条件.
解题感悟
充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理判断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.
1. 设，，是三个集合，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
[解析] ，
“”是“”的充要条件，故选C.
2. 指出下列各题中是的什么条件.
（1） 两个三角形相似；两个三角形全等；
[答案] 因为两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，
所以是的必要不充分条件.
（2） 一个四边形是矩形；四边形的对角线相等.
[答案] 因为矩形的对角线相等，所以.
又对角线相等的四边形不一定是矩形，所以，所以是的充分不必要条件.
探究点二 充要条件的证明
例 求证：是等边三角形的充要条件是.（这里，，是的三边边长）
[答案] 证明 必要性：
因为是等边三角形，所以，
所以，所以必要性成立；
充分性：
由两边同时乘2得，
，即，所以，所以是等边三角形，所以充分性成立.
综上，是等边三角形的充要条件是.
解题感悟
充要条件证明的策略
（1）要证明是的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若，则”为真且“若，则”为真.
（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明与的解集是相同的.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
1. 求证：一次函数的图象过原点的充要条件是.
[答案] 证明 ①充分性：如果，那么，
当时，，该函数的图象过原点.
②必要性：因为的图象过原点，
所以当时，，
则，
所以.
综上，一次函数的图象过原点的充要条件是.
探究点三 求参数的取值范围
例 已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
[答案] 设，，因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，
即，
故或解得.
又，所以实数的取值范围是.
解题感悟
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是在将问题转化为集合问题后找出集合间的包含关系，要注意范围的边界值.
1. 设，或.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
[答案] 设，
.
因为是的充分不必要条件，
所以，所以或，
即或. 又因为，所以，
即实数的取值范围为.
1. 人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
2. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
[解析] 由得，则当时，成立，但当时，不一定成立.故是的必要不充分条件.
3. 已知，，则“”是“”的_____________条件.
必要不充分
4. 函数的图象关于直线对称的充要条件是__________.
5. 若是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件，则是的什么条件？
[答案] 命题的充分性、必要性具有传递性，所以，但，，故是的充分不必要条件.
1. [2020辽宁盘锦第二高级中学高一段考] 若，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
2. [2020山东济宁微山二中高一检测] “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A
3. [2020辽宁阜新第二高级中学高一月考] 设，是两个集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
4. [2021山东滨州高一期末] “三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
[解析] 等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，因此“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.
5. [2021天津静海第六中学高一检测] 已知集合，及元素，则“或”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
6. [2020天津四合庄中学高一月考] 若，则的一个充分不必要条件为( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 将充分不必要条件转化为集合关系判断.
7. 对于集合，及元素，若，则是的_______条件.
充要
[解析] 由，可得；反之由可得，所以是的充要条件.
8. [2020安徽太和中学高一检测] 已知条件：条件；条件.若是的充要条件，则____.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________.
2
[解析] 由条件可得，因为是的充要条件，所以解得.
因为是的必要不充分条件，所以解得.
9. 指出下列各题中，是的什么条件（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选）．
（1） ，；
[答案] 当时，成立；
当时，或.
所以是的充分不必要条件．
（2） ，且；
[答案] 因为且，
所以是的充要条件．
（3） ，：；
[答案] 由，
得，且，又，
故p是的必要不充分条件．
（4） 是自然数，是正数．
[答案] 0是自然数，但0不是正数，故，是正数，但不是自然数，
故.故p是的既不充分也不必要条件．
10. [2020山东济宁邹城第一中学高一月考] 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C. 丙是甲的充要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
A
11. （多选）下列论述正确的是( )
A. 若，则“”是“”的必要不充分条件
B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C. “”是“”的充要条件
D. 若，，则“”是“，不全为0”的充要条件
AD
[解析] 对于，因为，但，所以A中论述正确；对于B，“”特指为直角，但“为直角三角形”的直角不一定是A，故B中论述错误；对于C，“”“”两者不能相互推出，故C中论述错误；对于D，由不全为0，反之，由，不全为，故D中论述正确.故选AD.
12. [2020北京大学附属实验中学高一月考] 设或，或，，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________________.
[解析] 设，，
因为是的充分不必要条件，所以，即或
解得.
13. 设，则一元二次方程有整数根的充要条件是_______.
3或4
[解析] 解得，
因为是整数，所以为整数，
所以为整数，且，
又，所以.
验证可得或时符合题意，
所以由或可以推出一元二次方程有整数根．
14. 已知，，，.判断“”是“二次方程有一根为-1”的什么条件？并说明理由．
[答案] “”是“二次方程有一根为-1”的充要条件．
理由如下：
当，，，.时，
若，则-1满足二次方程，即二次方程有一根为-1，
故“”是“二次方程有一根为-1”的充分条件.
若二次方程有一根为-1，则，
故“”是“二次方程有一根为-1”的必要条件.
综上所述，“”是“二次方程有一根为-1”的充要条件．
15. 已知，证明：成立的充要条件是.
[答案] 充分性：若，则，即充分性成立.
必要性：若，则.
，，即，必要性成立.
综上，成立的充要条件是.(共38张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 1.数学抽象——能判断全称量词命题、存在量词命题.
2.数学运算——能借助全称量词命题、存在量词命题的真假求解相关问题.
要点一 全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做①___________，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为②______________.
全称量词
要点二 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做③___________，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，成立”可用符号简记为④______________.
存在量词
1. 短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词
提示 “都是”“都不是”是全称量词.
2. “所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗
提示 是全称量词命题.
3. 短语“至多有一个”是存在量词吗
提示 不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.
4. “有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗 试用符号语言表示.
提示 是存在量词命题.符合语言:.
1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.
2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等.
3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.
探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判断
例 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1） 自然数的平方大于或等于零;
[答案] 全称量词命题.
（2） 有的一次函数的图象经过原点;
[答案] 存在量词命题.
（3） 所有的二次函数的图象的开口都向上.
[答案] 全称量词命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题的判断
1. 下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两条边平行;
③存在一个菱形它的四条边不相等.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
[解析] ①②是全称量词命题，③是存在量词命题.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断
例 判断下列命题的真假：
（1） 任意两个面积相等的三角形一定相似;
[答案] 因为面积相等的三角形不一定相似，所以它是假命题.
（2） 为正实数使
[答案] 当时，，所以不存在为正实数使故是假命题.
（3） 在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点;
[答案] 由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题.
（4） .
[答案] 因为，所以命题“”是假命题.
（1）全称量词命题真假的判断：
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立;但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合中的一个元素，不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
（2）存在量词命题真假的判断：
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个，使成立即可；反之，这一存在量词命题就是假命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
1. 判断下列命题的真假：
（1）
[答案] 因为
且
所以“”是真命题.
（2） 对任意的都有
[答案] 因为
所以该命题是假命题.
（3） 若整数是偶数，则是合数.
[答案] 2是偶数，但2是质数，故该命题是假命题.
探究点三 由全称量词命题与存在量词命题
的真假求参数的取值范围
例 已知集合且，若命题：“”是真命题则实数的取值集合是____.
[解析] 因为命题：“”是真命题所以又，
所以无解，
故实数m的取值集合是.
解题感悟
解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围问题进行求解.
1. 若命题“，使”是真命题,则实数的取值范围是___________.
[解析] 当时,显然存在，使;
当时,结合一次函数图象知,需满足时,，得，故.
综上所述,实数的取值范围是.
2. [2021山东泰安高一期末] 已知命题：，若为假命题,则实数的取值范围是___________.
[解析] 由题意得，
因为命题为假命题,
所以只需，解得.
1. 下列命题是“”的另一种表述方式的是( )
A. 有一个，使得
B. 有无数个，使得
C. 任选一个，都有
D. 不存在，使得
C
2. （多选）下列命题中为存在量词命题的是( )
A. 所有的整数都是有理数 B. 三角形至少有两个锐角
C. 有些三角形是等腰三角形 D. 正方形都是菱形
BC
3. 下列命题中为全称量词命题的是( )
A. 有些实数没有倒数
B. 矩形都有外接圆
C. 存在一个实数与它的相反数的和为0
D. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行
B
存在量词命题
4. 命题：“”是_______________（填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是_____命题（填“真”或“假”）.
假
5. 若命题“”为真命题,求实数的取值范围.
[答案] 命题为真命题,方程存在实数根,则，解得.故实数a的取值范围是.
1. 下列命题中,不是全称量词命题的是( )
A. 任何一个实数乘0都等于0 B. 任意一个负数都比零小
C. 每一个正方形都是矩形 D. 一定存在没有最大值的二次函数
D
2. [2020辽宁大连市一○三中学高一月考] 下列四个命题中的真命题为( )
A. B.
C. D.
C
3. [2020山东济宁鱼台第一中学高一月考] 下列命题是存在量词命题的是
( )
A. 整数是2和5的倍数
B. 存在整数，使能被11整除
C. 若，则
D.
B
4. [2020山东北镇中学高一月考] 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个实数使
C. 两个无理数的和必是无理数
D. 存在一个负数，使
B
[解析] 锐角三角形中的内角都是锐角,所以为假命题;
易知为存在量词命题,当时成立,所以为真命题; 因为，所以为假命题;对于任何一个负数，都有，所以为假命题．故选B.
5. 给出下列三个命题:①;②矩形都不是梯形;③.其中全称量词命题是_______（填序号）.
①②
6. [2020湖北恩施高一检测] 对任意恒成立,则实数的取值范围是___________.
7. 能够说明“存在两个不相等的正数，使得”是真命题的一组有序数对为______________________.
（答案不唯一）
8. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
（1） 是奇数;
[答案] 是全称量词命题.因为都是奇数,所以该命题是真命题.
（2） 存在一个,使得;
[答案] 是存在量词命题.因为不存在,使得成立,所以该命题是假命题.
（3） 对任意实数;
[答案] 是全称量词命题.因为,所以不都成立,因此,该命题是假命题.
（4） 有一个实数使得.
[答案] 是存在量词命题.因为当时,成立,所以该命题是真命题.
9. 已知命题是真命题,求实数的取值范围.
[答案] 是真命题,
即,
的取值范围是.
10. [2020辽宁盘锦第二高级中学高一检测] （多选）下列命题错误的是( )
A.
B. 存在一个最大的内角等于的三角形
C. 若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形
D. 每一个素数都是奇数
ACD
[解析] 当时,,当时,,即,不满足题意,故方程无解,所以A命题错误;
等边三角形的最大的内角等于,所以B命题正确;
对角线相等的四边形可以是矩形、正方形、梯形,所以C命题错误;
2是素数,但不是奇数,所以D命题错误.
故选ACD.
11. 已知,命题“”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 该命题是真命题,等价于.因为在上的最大值是4,所以.因为,故选C.
12. [2020北京八一中学高一月考] 给出下列命题：①,使;②,使;③④.其中正确的命题的序号是_______.
①④
[解析] ①使如当时,,所以命题①正确;
②,则,此时x为无理数,所以命题②不正确;
③当时,,所以命题③不正确;
④因为,所以命题④正确.
所以正确的命题为①④.
13. [2020山东莘县实验中学高一检测] 若存在,使,则实数的取值范围是___________.
[解析] 当时,显然存在,使;
当时,需满足,则,解得,故.
综上所述,实数的取值范围是.
14. 若,函数的图象和轴恒有公共点,求实数的取值范围．
[答案] 因为函数的图象和轴恒有公共点,
所以恒成立,
即恒成立．
设则可得.
综上所述,实数的取值范围是．
15. 已知函数若
使得求实数的取值范围.
命题分析 本题考查全称量词命题与存在量词,考查逻辑推理的核心素养.
答题要领 将原问题转化为的最小值大于等于的最小值问题.
详细解析因为
所以
又因为使得所以的最小值大于等于的最小值,
即,
所以.
方法感悟 根据含量词命题的真假求参数取值范围的方法：
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.(共30张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课标解读 课标要求 素养要求
1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.数学抽象—能写出全称量词命题与存在量词命题的否定并判断真假.
2.数学运算—能根据全称量词命题与存在量词命题的否定求参数的取值范围.
要点一 全称量词命题的否定
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:,它的否定:①________________.也就是说,全称量词命题的否定是②_______________.
存在量词命题
对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:
存在量词命题:,它的否定:③________________.也就是说,存在量词命题的否定是④_______________.
全称量词命题
要点二 存在量词命题的否定
1. 命题“”的否定是什么
提示.
2. 命题“存在两个不全等的三角形,它们的面积相等”的否定是什么
提示 任意两个不全等的三角形,它们的面积不相等.
1.一般命题的否定通常是保留条件,否定结论,得到真假性完全相反的两个命题.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论的同时,全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
探究点一 全称量词命题的否定
例 写出下列命题的否定,并判定其真假．
（1） 所有分数都是有理数;
[答案] 存在一个分数不是有理数.假命题．
（2） 所有能被5整除的整数都是奇数;
[答案] 存在一个能被5整除的整数不是奇数.真命题.
（3）
[答案] .假命题.
解题感悟
1.对全称量词命题进行否定时要做到“两变”：一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论,即否定结论.
2.对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后再进行否定
1. [2021天津第三中学高一期末] 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
A
2. [2020福建厦门一中高一月考] 命题“”的否定是
__________________.
[解析] 由全称量词命题的否定为存在量词命题,得命题“”的否定是“”.
探究点二 存在量词命题的否定
例 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
（1） ：使
[答案] ：.为假命题.
（2） ：有些素数是奇数;
[答案] ：所有的素数都不是奇数.为假命题.
（3） ：有些平行四边形不是矩形.
[答案] ：所有的平行四边形都是矩形.为假命题.
解题感悟
1.对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.
2.存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再进行否定.
1. [2021湖南永州高一期末] 命题“存在实数,使”的否定是( )
A. 对任意实数,都有
B. 不存在实数,使
C. 对任意实数,都有
D. 存在实数,使
C
2. 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
（1） 有些三角形是锐角三角形;
[答案] 命题的否定：“所有的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题.
（2） ,使得.
[答案] 命题的否定：“”.
当时,,
命题的否定是假命题.
1. [2021山东潍坊高一期末] 命题：的否定是( )
A. B.
C. D.
B
2. [2021黑龙江大庆实验中学高一检测] 设命题:所有正方形都是平行四边形,则为( )
A. 所有正方形都不是平行四边形
B. 有的平行四边形不是正方形
C. 有的正方形不是平行四边形
D. 不是正方形的四边形不是平行四边形
C
3. [2021江苏连云港高一期末] 命题“”的否定是______________________.
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“”的否定是“”.
4. 命题“每个函数都有最大值”的否定是_____________________.
有些函数没有最大值
1. [2020北京首师大附中高一期中] 已知命题：,方程有解,则为( )
A. ,方程无解
B. 方程有解
C. 方程无解
D. 方程有解
A
2. [2020山东济南第一中学高一检测] 命题“,一元二次方程有实根”的否定是( )
A. ,一元二次方程没有实根
B. ,一元二次方程没有实根
C. ,一元二次方程没有实根
D. ,一元二次方程没有实根
C
3. 关于命题的叙述,正确的是( )
A.
B.
C. 是真命题是假命题
D. 是假命题是真命题
C
4. [2021安徽合肥高一期末] 全称量词命题“对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都是”的否定为( )
A. 对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都不是
B. 对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都大于
C. 存在正奇数,使得所有不大于的正奇数的和不是
D. 存在正奇数,使得所有不大于的正奇数的和是
C
5. 关于下列命题的否定说法错误的是( )
A. ：
B. ：：
C. ：
D. ：：
C
6. [2020山东滕州第一中学高一检测] 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是________________________________.
存在一个能被2整除的数不是偶数
8. [2021河南新乡高一检测] 命题“,使得”的否定是_______________________________.
,使得
7. 命题“有的三角形是直角三角形”,则的否定是_______________________________,的否定是_____（填“真”或“假”）命题.
所有的三角形都不是直角三角形
假
9. 写出下列命题的否定,并判断其真假.
（1）
[答案] .
因为所以是假命题.
（2） :所有的正方形都是矩形;
[答案] :有的正方形不是矩形.易知是假命题.
（3）
[答案]
因为
所以是真命题.
（4） ：无论取何实数,方程必有实数根.
[答案] ：存在一个实数,使方程没有实数根．
因为该方程的判别式恒成立,
所以为假命题．
10. 下列命题的否定是真命题的是( )
A. 三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 所有的平行四边形都不是菱形
C. 任意两个等边三角形都是相似的
D. 3是方程的一个根
B
11. [2021天津南开中学高一检测] 命题“和至少有一个成立”的否定为( )
A. 和至少有一个成立
B. 和都不成立
C. 和至少有一个成立
D. 和都不成立
D
12. 已知命题“使”是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为命题“使”是假命题,所以命题“使”是真命题, 即则解得故选D.
13. 已知命题:使”为真命题,则实数的取值范围是_________.
[解析] 因为所以,由题意得所以.
14. 甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中;
乙说：我不会获奖,丙获奖;
丙说：甲和丁中有一人获奖;
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖,则获奖的是( )
A. 甲和丁 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁
D
[解析] 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不相符,若乙、丁的预测与结果相符,则甲、丙的预测与结果不相符,矛盾,故乙、丁的预测与结果不相符,从而获奖的是乙和丁,故选D.
