2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章6.3.3平面向量的数乘运算的坐标表示课件（21张ppt）

(共21张PPT)
第6章 平面向量及其应用
6.3.3 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
已知向量a＝(2，1) ，b＝(-3，4)，求a+b、a- b的坐标.
一、复习引入
=
+
a
b
(-1,5)
=
-
a
b
(5,-3)
那么3a+4b的坐标又如何求？
3a=a+a+a=(2，1)+(2，1)+(2，1)=(6，3)=(3×2，3×1)
4b=b+b+b+b=(4，4)+(-3，4)+(-3，4)+(-3，4)
=(-12，16)=(4×(-3)，4×4)
　已知a ＝（x，y），你能得出λa的坐标吗？
3a+4b=(-6,19)
二、探求新知
　已知a ＝（x，y），你能得出λa的坐标吗？
λa＝（λx，λy）
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(4,7).
(－7，－1).
(－ ， ).
7
6
2
3
探究：如何用坐标表示两个向量共线的条件？
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
用坐标表示，(x1，y1)＝λ(x2，y2)
即 ，
消去λ，得
总结：向量a，b共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0
交叉相乘相等
思考：两向量共线能否写成？
答：如果两向量共线的条件可以写成
两向量平行的条件为：
两向量共线的条件为：
且有公共点
总结：
①几何表示法：若非零向量与共线，则存在唯一实数，使得，它体现了向量共线与向量的长度及方向之间的关系.
②代数表示法：设，则当共线时，，用它解决平面向量问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
③比例形式表示法：设，则当共线时，有以下结论注意有的限制.
三点共线的坐标表示
引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标来实现，三点共线问题也可以通过平面向量共线的坐标表示来判定.
(1)直接利用上述条件，计算 是否为零.
两种方法的本质都是向量共线定理
(2)任取三点构成向量，计算出两向量如AB，AC，再通过两向量共线的条件进行判断.
若三点共线，则有AB=BC，即有
所以 ，所以如果已知三点的坐标，判断其是否共线可以通过以下两种方法：
例1：已知向量a＝(4，2) ，b＝(6，y)，且a//b，求y .
4y =12, y =3
因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为
√
解析　非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：
一是在向量坐标中；
二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．
解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解；
例3：已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），
判断A，B，C三点之间的位置关系．
【解析】因为
又
所以
又直线AB，直线AC有公共点A，
所以 A，B，C三点共线．
（或者）所以
利用向量解决三点共线问题的思路：
先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
错解中误把向量AP的坐标当做点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念.
混淆点的坐标和向量的坐标
坑①
因为点P在第三象限,所以3+5＜0且1+7解得，即的范围是(-∞, )
.
即
解得，因为点P在第三象限，
所以解得
所以实数的取值范围是(-∞, )
已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+AC()，且点P在第三象限，求实数的取值范围.
【错解】由题意，得AP= AB+AC=(5-2,4-3)+(7-2,10-3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7)
【正解】由题意，得AP= AB+AC=(5-2,4-3)+(7-2,10-3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7)
设P，则AP=.
错解中误把向量相等和向量的模相等混淆，即|AC|=2|BC|和AC=2BC的含义是不一样的，由
|AC|=2|BC|得到的应该是AC=2
BC或AC=-2BC
混淆向量相等与向量的模相等
坑②
所以解得
已知线段AB的端点分别为A(,5)，B(-2, )，C(1,1)是直线AB上的点，且有|AC|=2|BC|，求的值.
【错解】由|AC|=2|BC|,可得AC=2BC,AC=(1-,1-5)=(1-,-4), 2BC=2(1+2,1-)=(6,2-2)
【正解】由|AC|=2|BC|,且点C在直线AB上，得AC=±2BC
由题意，得AC=2BC,AC=(1-,1-5)=(1-,-4),
2BC=2(1+2,1-)=(6,2-2)
①当AC=2BC时，有
解得
②当AC=-2BC时，有
解得
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
定比分点坐标公式及应用
典例　(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解　设P(x，y).
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
若P1P= λPP2,那么
P的坐标是
( , )
1+λ
x1+λx2
1+λ
y1+λy2
【解析】解法1：（1）当点P是线段P1P2的中点时，设P(x，y)
所以，点P的坐标为
因为
所以
所以
所以
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】解法2（1）当点P是线段P1P2的中点时，
所以，点P的坐标为
又
所以
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
你能比较一下三种解法在思想方法上的异同点吗？
所以，点P的坐标为
【解析】解法3：（1）当点P是线段P1P2的中点时，
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
当 时，
【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况： 或 .
即点P的坐标是 ．
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
即点P的坐标是 ．
当 时，
【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况： 或 .
设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ＝2，求点G的坐标.
解　∵D是AB的中点，
设G点坐标为(x，y)，
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标.
y
x
o
A
B
C
P
书面作业