高中数学沪教版（2020）必修第二册三角单元测试卷Bword版含答案

三角单元测试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，分别是内角，，所对的边，若，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
3．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（ ）
A．6 B．4
C．2 D．1
5．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知，，，那么，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为1 B．最小正周期为
C． D．函数在上单调递增
11．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．, B．
C． D．
12．下列四组关系中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为__________.
14．若且，则______．
15．若，则________.
16．已知扇形的圆心角和弧长均为2，则扇形的面积为______.
四、解答题
17．已知函数
(1)化简函数，并求；
(2)在以原点为圆心的单位圆中，已知角终边与单位圆的交点为，求的值．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知，且，求的值．
20．如图，一艘渔轮在航行中遇险并发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角①为45°、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到，）．
①方位角是以某点的正北方向为标准线，将标准线绕该点顺时针方向转到目标点所成的角．
21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
22．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
【详解】
因为.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理及三角恒等变换求得三角形角的关系，再判断三角形的形状作答.
【详解】
在中，，则，
而，则有，即，
因，即，因此，，即，
所以是等腰三角形.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】
sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，根据基本不等式可求得答案.
【详解】
解：由得，又△ABC是锐角三角形，所以，
由余弦定理及得，整理得，所以(负值舍去)，
所以，所以，，当时取等号，
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
根据诱导公式直接计算即可得出结果.
【详解】
因为.
故选A.
7．C
【解析】
【分析】
由二倍角余弦公式有，利用平方关系将齐次化，然后弦化切即可求解.
【详解】
解：因为，所以．
故选：C．
8．D
【解析】
【分析】
方法一：根据，进一步确定x的范围，再由，利用平方关系和商数关系求解；方法二：根据，进一步确定x的范围，求得．再由求解.
【详解】
解：方法一：因为，
所以，
又，
故，
故．
由题意，，
则，
上式平方得，故，
故．
方法二：因为，所以，
又，
所以．
又，
，
故选：D．
9．BC
【解析】
【分析】
根据角的推广、象限角、锐角的定义判断可得选项.
【详解】
解：因为，，，所以除了包括锐角，还包括其他角，比如角，故A选项错误；
锐角是大于且小于的角，故B选项正确；
锐角是第一象限角，故C选项正确；
，，中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC.
10．BC
【解析】
【分析】
化简可得，再根据正弦函数的性质即可依次判断.
【详解】
，
所以的最大值为，故A错误；
的最小正周期为，故B正确；
，故C正确；
当时，，根据正弦函数的单调性可得有增有减，故D错误.
故选：BC.
11．AD
【解析】
【分析】
由已知得，，确定的范围判断A；求解与值判断B与C；把代入，化简判断D.
【详解】
由，，得，，则,，故A正确；
由，两边平方得：，则.
∵,，则，
∴，
又，
当时，联立，解得，，
∴，；
当时，联立，解得，，
∴，.
故B、C错误，D正确.
故选：AD.
12．ABD
【解析】
【分析】
由终边相同角的概念结合特殊值，逐一分析四组角即可得答案;
【详解】
对于A，当时，，不存在与之对应，所以A不正确；
对于B，表示终边落在y轴上的角，表示终边落在y轴正半轴上的角，所以B不正确；
对于C，与都表示终边落在y轴上的角，所以C正确；
对于D，表示终边落在x轴负半轴上的角，表示终边落在x轴上的角，所以D不正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
先求得半径，然后求得弧长.
【详解】
设扇形的半径为，
则，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
14．或##或
【解析】
【分析】
化简整理方程，根据特殊角三角函数值即可求解.
【详解】
∵
∴，
∴，
，
或，
或.
故答案为：或.
15．
【解析】
【分析】
由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可
【详解】
由，得，
所以
，
故答案为：
16．1
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长公式求得半径，由面积公式即可求解.
【详解】
扇形的圆心角和弧长均为2，则半径，
由扇形的面积公式可得该扇形的面积为，
故答案为：.
17．(1)，；
(2)－1.
【解析】
【分析】
(1)根据诱导公式化简即可，化简后将x＝代入计算；
(2)根据三角函数的定义求出tanα，再利用正切的差角公式即可计算.
(1)
，
；
(2)
角终边与单位圆的交点为，
，
，
.
18．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；
（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解..
(1)
由，可得，则.
∴，
在中，，
则，∵，∴，∴，∵，∴.
(2)
选择条件①
，在中，，可得，
∵，∴，
∴，
根据辅助角公式，可得，
∵，∴，即，
故.
选择条件②
由，得，
∵，∴，因此，，
整理得，即，则.
在中，，∴.
故.
选择条件③
由，得，
即，
整理得，
由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.
19．.
【解析】
【分析】
根据给定条件求出，进而求出，再结合三角恒等变换公式计算作答.
【详解】
因，即，两边平方得：，
而，则，
所以.
20．方位角，40分钟
【解析】
【分析】
设出时间，用时间表示边长后由余弦定理列方程，然后可解.
【详解】
中，，
设我海军舰艇靠近渔轮所需的时间为，则，
由余弦定理可得：
即，解得或（舍去）
所以
所以
则
故
所以舰艇的前进方位角为.
舰艇的航向为方位角，靠近渔轮所需的时间为分钟.
21．(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小；
（2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可.
(1)
由正弦定理知：，则，
所以，则且，可得或，
又，所以.
(2)
由题设，，则，又，
所以，整理得，解得，满足题设.
由，
所以，当时；当时；
22．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
（1）逆用正弦二倍角公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可；
（2）逆用余弦二倍角公式，结合特殊角的余弦值进行求解即可；
（3）逆用余弦二倍角公式，结合特殊角的余弦值进行求解即可；
（4）逆用余弦二倍角公式，结合特殊角的余弦值进行求解即可.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
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