2021-2022学年北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）
1．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA．
求证：∠FDE＝∠A．
2．如图，已知AB∥CD，∠B＝50°，CM是∠BCD的平分线，CM⊥CN，求∠ECN的度数．
3．如图，已知直线AB∥CD，P是AB和CD之间的一点．
求证：∠ABP+∠PDC＝∠BPD．
4．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，求∠EDC的度数．
5．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工厂生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A＝40°，∠AEC＝70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠C的度数．
6．已知，如图，AB∥CD，∠ABE＝3∠ABF，∠CDE＝3∠CDF，试求∠E与∠F的比．
7．如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，请问∠G等于多少度？写出完整的说理过程．
8．（1）如图AB∥CD，试判断∠BEF、∠EFG、∠FGD之间的关系．并说明理由．
（2）如图AB∥CD，∠AEF＝150°，∠DGF＝60°．试判断EF和GF的位置关系，并说明理由．
9．如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠ABC＝65°，∠EFC＝40°．求∠BCG的度数．
10．如图所示，直线AB与射线CD平行，点E是AB上的一点，点G是CD上的一点，∠BEF＝35°，FC平分∠EFG，若∠C＝20°，求∠FGD的度数．
11．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．
（1）试证明∠ABC＝∠ADC；
（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．
12．如图，已知射线AM∥BN，连结AB，点C是射线BN上的一个动点（与点B不重合），AD，AE分别平分∠BAC和∠CAM，交射线BN于点D，E．
（1）试说明：∠ACB＝2∠AEB；
（2）若∠ADB﹣∠BAD＝45°，求∠AEB的度数．
13．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．
（1）若∠B＝55°，求∠BDG的度数；
（2）若AD平分∠BAC，直接写出∠DGC与∠FEA的数量关系．
14．如图，在三角形ABC中，BF⊥AC，FG∥BC交AB于点G．点H在AB的延长线上，过点H作HE⊥AC交BC于点D，垂足为E．求证：∠1＝∠2+∠H．
15．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：　 　．
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：　 　．
（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果　 　，那么　 　．
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则求这两个角度数．
16．请解答下列问题：
（1）如图1，AB∥CD，试证明：∠B+∠D＝∠BED．
（2）已知：如图2，AB∥CD，请直接写出∠BED、∠B、∠D三者之间的关系式．
（3）已知：如图3，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．试说明∠BFE与∠FEC的大小关系并说明理由．
17．已知：如图1，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数．（计算过程不准用三角形内角和）
（2）如图2，∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图2中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，作∠BEKn、∠DFKn的平分线相交于点Kn+1，请用含的n式子表示∠Kn+1的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）
18．如图1，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．
（1）试说明：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°．
（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，当∠FBH＝15°时，∠C的度数为　 　．
（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝125°，求∠M的度数．
19．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝　 　°．
（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝　 　°．
（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
20．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．
（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠F的度数；
（2）若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数（用含α的代数式表示）．
参考答案
1．证明：∵DE∥BA，
∴∠FDE＝∠BFD；
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD，
∴∠FDE＝∠A．
2．解：∵AB∥CD，∠B＝50°，
∴∠BCD＝∠B＝50°，
∵CM平分∠BCD，
∴∠MCD＝∠BCD＝25°，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠ECN＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
3．证明：过点P作PE∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D，
即∠ABP+∠PDC＝∠BPD．
4．解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝30°．
5．解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠FEA＝∠A＝40°，∠C＝∠FEC，
∵∠AEC＝70°，
∴∠FEC＝∠AEC﹣∠FEA＝70°﹣40°＝30°．
∴∠C＝30°．
故答案为：30°．
6．解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，
∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，
∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵3∠ABF＝∠ABE，3∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：1．
7．解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠DFE，
∴∠1+∠2＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣90°＝90°．
8．（1）解：∠EFG＝∠FGD+∠BEF
证明：过点F作AB的平行线FH
∵AB∥CD，AB∥FH
∴CD∥FH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵AB∥FH（已作）
∴∠BEF＝∠EFH（两直线平行，内错角相等）
∵CD∥FH（已证）
∴∠FGD＝∠HFG（两直线平行，内错角相等
∴∠BEF+∠FGD＝∠EFH+∠HFG（等量代换）
即：∠BEF+∠FGD＝∠EFG
∴∠EFG＝∠FGD+∠BEF
（2）EF⊥FG
证明：过点F作AB的平行线FH
∵AB∥CD，AB∥FH
∴CD∥FH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵∠AEF+∠BEF＝180°（平角的定义）
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝180°﹣150°＝30°
∵AB∥FH（已作）
∴∠BEF＝∠EFH（两直线平行，内错角相等）
∵CD∥FH（已证）
∴∠FGD＝∠HFG（两直线平行，内错角相等）
∴∠BE+∠FGD＝∠EFH+∠HFG（等量代换）
即：∠BEF+∠FGD＝∠EFG
∴∠EFG＝∠FGD+∠BEF＝60°+30°＝90°
∴EF⊥FG（垂直的定义）
9．解：∵AB∥CD∥EF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∠DCF＝∠EFC＝45°，
∴∠BCF＝105°，
∵GC⊥CF，
∴∠GCF＝90°，
∴∠BCG的度数为：105°﹣90°＝15°．
10．解：如图，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FH∥CD，
∴∠EFH＝∠BEF＝35°，∠CFH＝∠C＝20°，
∴∠CFE＝∠EFH+∠CFH＝35°+20°＝55°，
∵FC平分∠EFG，
∴∠CFG＝∠CFE＝55°，
∴∠GFH＝∠CFG+∠CFH＝55°+20°＝75°，
∵FH∥CD，
∴∠FGD＝∠GFH＝75°．
11．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ADC，
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣58°＝122°，
∵AE平分∠BAD，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEC＝∠DAE＝61°．
12．解：（1）∵AE分别平分∠CAM，
∴∠CAM＝2∠EAM．
∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠EAM＝∠AEB．
∴∠ACB＝2∠AEB．
（2）∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠ADB＝∠DAM．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠ADB﹣∠BAD＝45°，
∴∠DAM﹣∠CAD＝45°．
∴∠CAM＝∠ACB＝45°．
由（1）知∠ACB＝2∠AEB，
∴∠AEB＝22.5°．
13．解：（1）∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥BA，
∴∠B+∠BDG＝180°，
∵∠B＝55°，
∴∠BDG＝125°；
（2）∠DGC+∠FEA＝180°，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠3，
由（1）知，DG∥BA，
∴∠CGD＝∠BAC，
∴∠CGD＝2∠3，
∵EF∥AD，
∴∠FEA+∠3＝180°，
∴∠DGC+∠FEA＝180°．
14．证明：∵BF⊥AC，HE⊥AC，
∴BF∥EH．
∴∠H＝∠ABF，∠2＝∠FBC．
∵FG∥BC，
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ABF+∠FBC，
∴∠1＝∠2+∠H．
15．解：（1）∠1＝∠2．
理由：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
故答案为：∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°；
故答案为：∠1+∠2＝180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论得：
2x﹣30＝x或2x﹣30+x＝180°，
解得：x＝30，或x＝70，
这两个角度数为：30°、30°或110°，70°．
16．解：（1）证明：作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∴∠1+∠2＝∠B+∠D，
即∠B+∠D＝∠BED；
（2）∠BED+∠B+∠D＝360°
证明：作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠D＝180°，
∴∠1+∠B+∠2+∠D＝360°，
即∠BED+∠B+∠D＝360°；
（3）∠BFE＝∠FEC，
证明：作EG∥CD．
根据（1）可以得到∠BFE＝∠B+∠FEG，
∵EG∥CD，
∴∠GEC＝∠C，
又∵∠FEC＝∠FEG+∠GEC，
∴∠FEC＝∠BFE．
17．
解：（1）过K作KG∥AB，可得KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K1，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠KEK1+∠KFK1＝45°，
∴∠K1＝180°﹣（∠KEF+∠EFK）﹣（∠KEK1+∠KFK1）＝45°，
则∠K＝2∠K1；
（3）归纳总结得：∠Kn+1＝×90°．
18．（1）证明：过点E作EK∥AB，如图1所示
∴∠ABE＝∠BEK，
∵AB∥CD，
∴EK∥CD，
∴∠CEK+∠C＝180°
∴∠ABE+∠C﹣∠BEC＝∠BEC+∠CEK+∠C﹣∠BEC＝∠CEK+∠C＝180°；
（2）解：∵BF、EG分别平分∠ABE、∠BEC，
∴∠ABF＝∠EBF，∠BEG＝∠CEG，
设∠ABF＝∠EBF＝α，∠BEG＝∠CEG＝β，
∵BH∥EG，
∴∠HBE＝∠BEG＝β，
∴∠FBH＝∠FBE﹣∠HBE＝α﹣β，
由（1）知，∠ABE+∠C﹣∠BEC＝180°，
即2α+∠C﹣2β＝2（α﹣β）+∠C＝180°，
∴2∠FBH+∠C＝180°；
∵∠FBH＝15°，
∴∠C＝180°﹣2∠FBH＝180°﹣2×15°＝150°．
故答案为150°；
（3）解：∵CN、BF分别平分∠ECD、∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF，∠ECN＝∠DCN，
设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ECN＝∠DCN＝y，
由（1）知：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°，
即∠E＝2（x+y）﹣180°，
过M作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
则∠PMF＝∠ABF＝x，∠QMN＝∠DCN＝y，
∴∠FMN＝180°﹣∠PMF﹣∠QMN＝180°﹣（x+y），
∴∠E+∠FMN＝x+y，
∵∠E+∠FMN＝125°，
∴x+y＝125°，
∴∠FMN＝180°﹣（x+y）＝180°﹣125°＝55°．
19．解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°；
（2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝x°，∠C＝y°，
∴∠1+∠2+x°+y°＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A＝α，∠C＝β，
∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝180°﹣α+β．
20．解：如图，过点F作FH//CD，
∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD＝60°，∠ABE＝100°，
∴∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，
∴∠NCF＝30°，
∵AB∥CD，FH//CD，
∴FH∥AB，
∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，
∴∠BFC＝20°．
（2）如图，
∵BF∥CE，
∴∠ECM＝∠BFM＝α，
∴∠DCE＝∠DNB＝2α，
∵AB∥CD
∴∠ABN＝∠BNC＝2α，
∴∠ABE＝4α．