第六章圆周运动单元 培优练习（word版含答案）

第六章 圆周运动章节培优练习
一、单选题
1．在粗糙水平桌面上，长为l=0.2m的细绳一端系一质量为m=2kg的小球，手握住细绳另一端O点在水平面上做匀速圆周运动，小球也随手的运动做匀速圆周运动。细绳始终与桌面保持水平，O点做圆周运动的半径为r=0.15m，小球与桌面的动摩擦因数为，。当细绳与O点做圆周运动的轨迹相切时，则下列说法正确的是（　　）
A．小球做圆周运动的向心力大小为6N
B．O点做圆周运动的角速度为
C．小球做圆周运动的线速度为2
D．小球做圆周运动的轨道半径为m
2．如图，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动．质量相等的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止．A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α、β，α＞β，则下列说法正确的是（　　）
A．A的向心力等于B的向心力
B．A、B受到的摩擦力可能同时为0
C．若ω缓慢增大，则A、B受到的摩擦力一定都增大
D．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向下的摩擦力
3．如图，与水平面成角的倾斜匀质圆盘绕垂直于盘面的中心固定轴转动，一根不可伸长的细绳穿过圆盘中心，圆盘上方部分细绳与圆盘表面平行且与圆盘间无作用力，一端悬挂质量为的物块，另一端与随圆盘一起转动的物块相连，已知物块的质量为。物块与盘心的距离，与盘面之间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑细绳与圆盘之间的摩擦力，g取，，。当物块始终保持静止时，圆盘转动的角速度可能为（　　）
A． B． C． D．
4．A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是m，B和C的质量均为3m，A、C离轴距离为2R，B离轴距离为R。当圆台旋转时，若A、B、C均未滑动，下列说法错误的是（　　）
A．当圆台转速增大时，A比B先滑动
B．A受到的摩擦力最小
C．A、C的加速度相同
D．B、C角速度相等
5．质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮如图所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为　　
A． B． C． D．
6．如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部经过a点爬到最高点b点，之后开始沿碗下滑并再次经过a点滑到底部，蚂蚁与碗内各处的动摩擦因数均相同且小于1，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（）
A．b点与球心的连线与竖直方向的夹角小于45°
B．上爬过程中，蚂蚁所受摩擦力逐渐减小
C．上爬过程中，蚂蚁所受碗的作用力逐渐增大
D．上爬过程和下滑过程中，蚂蚁经过a点时所受支持力相同
7．如图所示，质量为m的木块A和质量为2m的木块B叠放在一起，B通过轻绳与质量为2m的木块C相连，三木块放在水平转台上随转台一起绕固定转轴以角速度转动，小块A、B、C与转轴的距离均为L。A与B间的动摩擦因数为，B、C与转台间的动摩擦因数为。若缓慢增大，当某木块最先刚刚要发生相对运动时，绳子上产生的张力F大小是（取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g）（　　）
A．0 B． C． D．
8．如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　）
A．地面受到的压力始终大于Mg
B．小球到达与圆心等高的B点时对铁块一定有作用力
C．经过最低点A时地面受到的压力可能等于
D．小球在圆轨道最高点C点时，地面受到的压力可能为0
9．如图所示，用一根质量不计不可伸长的细线，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O点。当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为时，悬点O到轨迹圆心高度h，细绳拉力大小为F，小球的向心加速度大小为a，线速度大小为v，下列描述各物理量与角速度的关系图像正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力是（　　）
①a处为拉力，b处为拉力
②a处为拉力，b处为推力
③a处为推力，b处为拉力
④a处为推力，b处为推力
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
11．如图所示，A球质量为，通过一根长为的细绳连接在天花板上；B球质量为，通过一根长为的细绳连接在A球上。瞬间给A球一个水平向右的速度v，那么此时两绳中的拉力大小、分别为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．如图所示为某一传动机构中两个匀速转动的相互咬合的齿轮，a、b、c、d四点均在齿轮上。a、b、c、d四个点中角速度与其半径r成反比的两个点是（　　）
A．a、b B．b、c
C．b、d D．a、d
二、多选题
13．如图所示，在竖直平面内固定一个四分之一圆弧轨道AP，圆弧轨道的圆心为O，OA水平，OP竖直，半径R=0.2 m。一质量m=1 kg的小物块从圆弧顶点A开始以 m/s的速度从A到P做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，Q为圆弧AP的一个三等分点(图中未画出)，OA与OQ的夹角为30°，则下列说法正确的是（　　）
A．从A到P的过程中小物块与轨道间的动摩擦因数一直减小
B．在Q点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为10 N
C．在Q点时，小物块受到圆弧轨道的摩擦力大小为5 N
D．在P点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为25 N
14．如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（　　）
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在、、、四点，物块受到合外力才指向圆心
C．从到，物体所受的摩擦力先减小后增大
D．从到，物块处于超重状态
15．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v测 得相应的轻杆弹力F，得到F-v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，-b），斜率为k．不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A．该小球的质量为，小球运动的轨道半径为
B．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为0
C．图线与纵轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为b
D．当v2=a小球通过最高点时的向心加速度为2g
三、解答题
16．一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动。杆最初处在水平位置。杆上距O为a处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态如图所示。若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？
17．如图所示，一内壁光滑的圆筒固定在水平面上，圆筒的内径为R=0.5m、高为H=1m，一质量为m=2kg的小球放置在地面上且紧靠圆筒内壁，某时刻小球获得一初速度v0=10m/s，速度方向沿筒壁切面且与水平方向夹角为θ=37°，小球将沿筒壁运动一段时间后飞离圆筒，最终落回地面。忽略空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求：
（1）筒壁对小球的弹力；
（2）小球飞离圆筒时的速度大小；
（3）小球落回地面时与圆筒下底面圆心的距离。
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】AD．小球做圆周运动的半径如图
根据几何关系有
则有
解得
正交分解
两式相比解得
故AD错误；
B．小球和点转动的角速度相同，根据
可知
故B正确；
C．小球做圆周运动的线速度
故C错误。
故选B。
2．D
【解析】A．A物体受到的向心力
B物体受到的向心力
由于
α＞β
因此 A的向心力大于B的向心力，A错误；
B．假设A、B两物体所受摩擦力同时为零，对A物体进行受力分析可知
整理得
①
同理可得
与A中结果比较，可知
因此两个摩擦力不可能同时为0，B错误；
C．当角速度ω很小时，摩擦力沿球形容器面向上，当角速度ω缓慢增大时，摩擦力先减小到零，再反向增大，C错误；
D．若A不受摩擦力，由①式可知
可得
此时B受到的向心力大小为
也就是说B若不受摩擦力，仅靠支持力的水平分力不足以提供向心力，因此B受到的摩擦力沿容器壁向下，D正确。
故选D。
3．C
【解析】物块B随圆盘转动过程中物块A始终保持静止，说明细绳内的拉力
假设物块B转到最高点时，设圆盘转动的最大角速度为，对物块B有
设圆盘转动的最小角速度为，对物块B有
物块B转到最低点时，因
所以物块B转到最低点时的最小角速度为0，设圆盘转动的最大角速度为，对物块B有
综上分析可知，圆盘转动的角速度为
代入数据解得
故C正确，ABD错误。
故选C。
4．C
【解析】D．三个物体都随圆台做匀速圆周运动，若A、B、C均未滑动，则角速度相等，选项D正确；
C．根据公式分析得知，向心加速度与半径成正比，A、C离轴距离为2R，则A、C的加速度大小相同，但方向不同，选项C错误；
B．物体随圆台做匀速圆周运动的过程中，由圆台的静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得三个物体所受的静摩擦力分别
所以A受的静摩擦力最小，选项B正确；
C．当圆台转速增加时，三个物体受到的静摩擦力都增大，当即将发生相对滑动时有
解得
可见，发生相对滑动与质量无关，距离圆心越远越容易发生相对滑动，选项A正确。
本题选错误的，故选C。
5．A
【解析】当物块恰好被水平抛出时，在皮带上最高点时由重力提供向心力，则由牛顿第二定律得：
解得：
设此时皮带转速为n，则有2πnr=v，得到：
故A正确，BCD错误．
故选A．
6．A
【解析】蚂蚁缓慢上爬，可以认为蚂蚁处于平衡状态，设蚂蚁与球心的连线与竖直方向的夹角为α，对蚂蚁有
A．b点为最高点，则在b点恰好滑动，有
由于μ小于1，所以b点与球心的连线与竖直方向的夹角小于45°，A正确；
B．上爬过程中，蚂蚁与球心的连线与竖直方向的夹角α增大，根据
在上爬过程中，蚂蚁所受摩擦力逐渐增大，B错误；
C．在蚂蚁向上爬的过程中，碗对蚂蚁的作用力(支持力和摩擦力的合力)都等于蚂蚁的重力，所以在上爬过程中，蚂蚁受到碗的作用力不变，C错误；
D．蚂蚁沿碗下滑的过程中做圆周运动，有指向圆心方向的向心加速度，所以下滑的过程中蚂蚁受到的支持力大，D错误。
故选A。
7．A
【解析】木块刚刚发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。木块随转台一起转动时有
则有
当A达到静摩擦力最大值时有
解得
此时对C有
则C与水平台之间还没有达到最大静摩擦力，所以此时线上的张力
F=0
此时对B有
解得
可见此时B与水平台之间还没有达到最大静摩擦力。所以随着缓慢增大，木块A最先刚刚要发生相对运动，此时绳子上产生的张力F大小是0。
故选A。
8．D
【解析】AD．如果小球能在上半圆运动，则小球会对铁块有向上的弹力，这样铁块对地面的压力就小于自身重力，如果小球在圆轨道最高点C点时，对铁块的弹力等于铁块重力时，铁块就会对地面无压力。A错误，D正确；
B．如果小球只能在下半圆运动，那么小球到达与圆心等高的B点时速度为零，此时对铁块无作用力。B错误；
C．小球经过最低点A时，因为需要向心力，所以铁块对小球的支持力大于小球重力，根据牛顿第三定律，小球对铁块的压力大于自身重力，所以，铁块对地面的压力不可能等于。C错误。
故选D。
9．A
【解析】A．设细绳长度为，小球质量为m，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，有
得
A正确；
B．由
得
B错误；
C．由
可得
小球的向心加速度
C错误；
D．由
得小球的线速度
D错误。
故选A。
10．C
【解析】a处圆心在上方，合力提供向心力向上，故需有向上的拉力大于向下的重力；
b处合力向下，重力也向下，受力如图：
根据牛顿第二定律有
当F1＜0，杆对球有推力，向上；
当F1＞0，杆对球有拉力，向下；
当F1=0，杆对球无作用力。
故杆对球的作用力情况①②都有可能，选项C正确，ABD错误。
故选C。
11．D
【解析】A球相对悬点做圆周运动，根据牛顿第二定律，有
B球相对A球做圆周运动，此时A球的向心加速度为，A球是一个非惯性系，故B球所受惯性力为，方向竖直向下。
根据牛顿第二定律，有
联立解得
所以选项D正确。
12．B
【解析】a、b同轴转动，c、d同轴转动，角速度相同，b、c紧密咬合的齿轮是同缘传动，边缘点线速度相等，根据v=ωr得b、c两点角速度与其半径r成反比，选项B正确，ACD错误。
故选B。
13．AD
【解析】A．从A到P的过程中小物块的速度大小不变，任选一点，设其切线方向与水平方向的夹角为α，在指向圆心方向，有
N-mgcos α=m
在该点沿切线方向，由平衡条件有
f=mgsin α
又f=μN，联立解得
μ=
从A到P的过程中，α不断减小，小物块与轨道间的动摩擦因数μ也逐渐减小，A正确；
BC．在Q点时，其切线方向与水平方向的夹角α=60°，代入上述N与f的表达式，解得在Q点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为20 N，小物块受到圆弧轨道的摩擦力大小为5 N，BC错误；
D．在P点时，由牛顿第二定律有
N-mg=m
结合牛顿第三定律得到小物块对圆弧轨道的压力大小为25 N，D正确。
故选AD。
14．CD
【解析】A．在cd两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物体受到重力，支持力、静摩擦力三个作用，选项A错误；
B．物体做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，选项B错误；
C．从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物体所受木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；
D．从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物体处于超重状态，选项D正确。
故选CD。
15．AD
【解析】A．设小球运动的轨道半径为l，小球在最高点时受到拉力F和重力mg，根据牛顿第二定律可知：
解得：
结合图象可知：
mg=b
即：
斜率：
=k
解得：
A正确；
B．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的拉力为零，所受的合外力等于重力，B错误；
C．图线与纵轴的交点表示小球通过最高点时所受的支持力为所受的合外力等于0，C错误；
D．当v2=a时：
小球通过最高点时受到的合外力为2mg，向心加速度为2g，D正确．
16．见解析
【解析】当细杆开始以角速度绕О轴转动时，B的速度为零，杆上与B接触处则有线速度，因而B与杆分离，B做自由落体运动，由于B的速度不断增大，有可能追上细杆而与之碰撞。设碰撞时细杆与水平夹角为θ，则θ随的增大而增大。当超过某一数值时，B就可能碰不上细杆而一直坠落；如果很大，细杆可能在转过一圈从后面追上B而与之碰撞。所以本题要按这两种情况进行讨论。
2。求B追上细杆时θ与的关系
设B经过时间t后与细杆在D处相碰（见图a），则有
BD= ①
②
如给定的值，由此二式可求出相应的θ的值。
由于杆长L的限制，要发生碰撞，θ值必须满足一定条件。由图可知，此条件为
③
根据这一条件和曲线，可以求出相应的的取值应符合的条件。
由式①，②消去t得
或 ④
从此方程可以看出
（1）θ=0时，；
（2）θ很小时：，，随θ的增加而增加；
（3）当θ值很大时，由于tgθ增长极快，此时即随θ的增加而减少，所以有一极大值；
（4）当θ→时，tgθ→，→0。
下表是θ为特殊角时的值，由此可作出如图所示的曲线。
θ 0
0 0
从此曲线可以看出，达极大值（）时，θ的值（θ0）约在和之间，约为。从图b可以看出；<时，对每一个值有两个θ值与之相应，即式④有两个解，和，<；=时，θ只有一个解，即θ0；>时，θ没有解。这些结果的物理意义是什么，我们可作如下分析（参阅图c）。
（1）B做自由落体运动，何时到达何处是完全确定的，所以能否发生碰撞主要决定于细杆的角速度和B放在细杆的什么位置上。
（2）开始时B落后于细杆，如果不是太大，B可能赶上，当时B与细杆相遇。
（3）假设B能无阻拦地穿过细杆，只要细杆很长，它一定会从后面追上B而与之相碰，此时的θ即为θ2。实际上B与细杆在处相碰后，它们的运动状态都发生了变化，θ2这个解没有实际意义，要回答本题只要考虑8就可以了，但式④确有这个解。
（4）如果的值增大，B追上OA所需时间就增大，即上右图图中的B1点下移，θ1增大；细杆从后面追上B所需时间则减少，即B2点上移，θ2减小。所以θ1和θ2随的增大而靠拢，最后当等于某一值时，。这就是如图b所表示的物理过程。
至于θ0的值可以通过微积分求极大值的方法求出，也可以通过下面的分析求出。
如果B1能穿过细杆，则B1与细杆相遇时，它的速度（gt）在垂直于细杆方向的分速度（）必须大于此时接触点的切向速度（），参阅图d。当时B刚好能与细杆相遇而不穿过，此时应等于，即
⑤
因此时B与细杆相遇，符合式①和式②，故有
⑥
⑦
将此三式相乘，再加以简化，得
⑧
由式⑧可求得的数值（用作图法或三角函数表可求出≈54.3°），相应的的值为。
如果再增大一点，就大于，B就碰不上OA。
3。在以上关于曲线的讨论中我们没有考虑杆的长度。如果考虑到杆长的限制，取何值时B方能追上细杆？
如前所述，时，B追上细杆，由于杆长的限制，必须满足下式
下面分两种情况讨论。
（1），即或，参阅图（a）。
在此情形下，从图可知，只要满足
在OM曲线段上都可找到与之相应的，其数值小于，所以能发生碰撞。
（2），即，此时在OM曲线段上有一与相应的P点，见图（b）。与之相应的为
因为，，上式变为
只要满足在OP曲线段上就能找到相应的，表示B与细杆能发生碰撞。
综上所述，B追上细杆的条件是：
（1）时，；
（2）时，。
为曲线上达最大值时的值。
4。取何值时细杆转过一圈后追上B？此时相应的公式为
消去t，得
或
在此式中，在从0→的变化过程中tg从0→∞，而2π＋仅从2π变到2.5π。所以，tg对值的影响远大于2π＋的影响，值随tg的增加（相应于的增加）而减少。反之给定一值，与之相应的值随的增大而减小。
当时，
此时细杆与B刚能碰上。如果，与之相对应，细杆能追上B；时，与之相对应，细杆不能追上B。所以细杆追上B的条件是
此题的目的主要是考查学生能否全面地分析问题。学生最易发生的错误有两个，一是没分析时的解；另一个是没考虑细杆追上B的解。
17．（1）256N；（2）；（3）m
【解析】（1）水平分速度为
筒壁对小球的弹力提供向心力
（2）小球竖直分速度为
则小球从上端飞出时，竖直方向有
解得
则飞离圆筒时速度为
（3）小球飞出后到落地过程中，竖直方向有
解得
t=1s或-0.2s（舍去）
则小球落回地面时与圆筒下底面圆心的距离为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页