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几何模型系列精讲 相似型专题
一、 双基目标
本节主要学习：
1、五种常见的相似模型
(“A型”、“八字型”、“K型”、“树影型”、“旋转型”）中的解题方法.
2、位似问题
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两种.广义 ( http: / / www.21cnjy.com )的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生利用相似相关模型来解决大量几何问题.21·世纪*教育网
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
专题六 相似模型专题
1．（2020四川遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】由AF＝2DF，可 ( http: / / www.21cnjy.com )以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝＝＝，
故选：C．
2．（2020广西北部湾）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
3．（2021山东淄博）如图，AB ( http: / / www.21cnjy.com )，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴＝+＝＝＝1，即＝1，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．
4．（2018北京）如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，∴，，，
在中，，∴，
∵是中点，∴，
∵，∴，∴．
5．（2018包头）如图，在四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】先利用含30度角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CEBC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，
∴AB=3，
∴，
∴，
∴DF=BD=×2=，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．www.21-cn-jy.com
6、（2021常州）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．
【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴＝，
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴，
∴＝，
故答案为：．
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【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．
7．（2020四川宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】过A作AF∥BC，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△AEF∽△CEB，求出AE、CE的值，根据勾股定理求出AB和BE长，求出M、N分别是BC、BE的中点，根据相似得出比例式，代入求出OE即可．21cnjy.com
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，
过A作AF∥BC，交BE延长线于F，
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∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AB＝AF＝10，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
解得：AE＝5，CE＝8﹣5＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE＝＝3，
过D作DM∥AC，交BC于M，交BE于N，
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∵D为AB的中点，DM∥AC，
∴M为BC的中点，N为BE的中点，
∴DN＝AE＝＝2.5，BN＝NE＝BE＝，
∵DM∥AC，
∴△DNO∽△CEO，
∴＝，
∴＝，
解得：OE＝，
故答案为：．
8.（2020四川攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD=3GD．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
【分析】
过点D作DH∥AB交CE于H ( http: / / www.21cnjy.com )，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．【版权所有：21教育】
【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
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【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9．（2021广西北部湾）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出的值．21教育名师原创作品
【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：
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由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，
∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∠EAO+∠AGD＝90°，
∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，
又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴＝＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，矩形性质以及相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠AOE＝90°进而利用角进行转化求出△ADG∽△FHE是解题的关键．
10、（2018湖北襄阳）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．
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【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b即可解决问题；
【解答】解：设AB=a，AD=b，则ab=32，
由△ABE∽△DAB可得：=，
∴b=a2，
∴a3=64，
∴a=4，b=8，
设PA交BD于O．
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在Rt△ABD中，BD==12，
∴OP=OA==，
∴AP=．
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11、（2018武汉）在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出△ABP∽△PQF，得出=，再判断出△ABP∽△CQF，得出CQ=2a，进而建立方程用b表示出a，即可得出结论；
（3）先判断出=，再同（2）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AMB=∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，
过点P作PF⊥AP交AC于F，
在Rt△AFP中，tan∠PAC===，
同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，
∴=，
设AB=√5a，PQ=2a，BP=√5b，FQ=2b（a＞0，b＞0），
∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，
∴△ABP∽△CQF，
∴，∴CQ==2a，
∵BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b
∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴=，
∴BC===，
∴4a+b=，a=b，
∴BC=4×b+b=b，AB=a=b，
在Rt△ABC中，tanC==；
（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC==，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴=
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC==．
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【点评】此题是相似形综合题，主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图1是解本题的关键．
12．（2021湖南益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 9：4 ．21·cn·jy·com
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【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：9：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有
13．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
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（1）问题发现
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D ( http: / / www.21cnjy.com )，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【解答】解：（1）①当α＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴，
∴．
②如图1， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
当α＝180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴＝．
故答案为：．
（2）如图2， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，
∴AD＝＝，
∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，
∴AD＝＝，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE＝＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，
由（2），可得
，
∴BD＝＝．
综上所述，BD的长为4或．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．2·1·c·n·j·y
14．（2018河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：www-2-1-cnjy-com
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°，，可得AC的长．
【解答】解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴＝1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，21教育网
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，BC＝x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，
∴AB＝2OB＝2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
+（x+2）2＝
x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2；
综上所述，AC的长为3或2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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【点评】本题是三角形的综合题， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
15、（2021重庆A卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
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A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
16．（2020 嘉兴） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
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A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（2021山东东营）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
18．（2018四川巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．
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【解析】（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： （﹣3，3） ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： （6，6） ．
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【解答】解：（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
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故答案为（﹣3，3），（6，6）．
19．（2020宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
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【分析】（1）将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
（2）在△ABC同侧和对侧分别找到2OA＝OA2，2OB＝OB2，2OC＝OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），2-1-c-n-j-y
则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得△A2B2C2．
第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧
A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），
连接各点，得△A2B2C2．
综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；
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几何模型系列精讲 相似型专题
一、 双基目标
本节主要学习：
1、五种常见的相似模型
(“A型”、“八字型”、“K型”、“树影型”、“旋转型”）中的解题方法.
2、位似问题
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两 ( http: / / www.21cnjy.com )种.广义的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生利用相似相关模型来解决大量几何问题.21cnjy.com
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
专题六 相似模型专题
1．（2020四川遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2．（2020广西北部湾）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15 B．20 C．25 D．30
3．（2021山东淄博）如图，AB ( http: / / www.21cnjy.com )，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
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A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
4．（2018北京）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为________．21教育网
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5．（2018包头）如图，在四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
6、（2021常州）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．2·1·c·n·j·y
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7．（2020四川宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 ．
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8.（2020四川攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD=3GD．【版权所有：21教育】
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9．（2021广西北部湾）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
10、（2018湖北襄阳）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．
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11、（2018武汉）在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．2-1-c-n-j-y
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12．（2021湖南益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．21世纪教育网版权所有
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13．如图1，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
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（1）问题发现
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
14．（2018河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：21·cn·jy·com
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【来源：21·世纪·教育·网】
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15、（2021重庆A卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）21·世纪*教育网
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A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
16．（2020 嘉兴）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）www.21-cn-jy.com
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A．（﹣1，﹣1） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）
17．（2021山东东营） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
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A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
18．（2018四川巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．21*cnjy*com
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．【来源：21cnj*y.co*m】
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19．（2020宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．【出处：21教育名师】
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
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几何变换、数学思想方法中考满分系列精讲
专辑一
几何模型问题
数学模型的思想过程为直觉、试探、思考、猜想、验证,这一过程主要培养学生的思考过程和解决问题的思想,这是学生们对新知识的了解并更好运用的过程,可开发出学生们的抽象概括能力和创新思维能力.同时更有助于学生分析并解决问题的实用机理。数学模型是学生以自己原有的知识经验为基础,通过对外部问题的观察和吸纳,再与自身原有知识相结合,将相关问题充分结合并构建属于它的理解和意义.对数学模型的求解也是需要学生对自己以前的知识进行唤醒,运用以前的知识与现在所学知识相互交流并吸取有益部分再进行相互融合、编码、构建与数学模型的理解和和意义,这是一个需要相互反复交流的相互过程也是学习者对自己构建知识经验的过程.。
一、 双基目标
本节主要学习：
一、五种常见的相似模型
(“A型”、“八字型”、“K型”、“树影型”、“旋转型”）中的解题方法.
二、位似问题
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两种.广义的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生利用相似相关模型来解决大量几何问题.
六、相似模型专题
A型
八字型
基础型
拓展型
（2020四川遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【答案】C
“A型”相似模型
典例精讲
（2020广西北部湾）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【答案】B
“A型”相似模型
典例精讲
（2021山东淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得 ， ，两式相加即可得出结论．
“A型”相似模型
典例精讲
（2018北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为________．
【分析】依据题目条件可证明△DFC∽△EFA．得出DC：AE=CF：FA=2：1.由勾股定理可求出AC=5，依据CF：FA=2：1，即可求出CF=
“八字型”相似模型
典例精讲
（2018包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再连接DE，构造“八字型相似” △AFB∽△EFD求出AB=3，即可得出【答案】D．
“八字型”相似模型
典例精讲
（2021常州）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则 ＝ ．
【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以 ，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得 ＝ ＝ ，所以 ，即 ＝
反思：遇到线段的倍数关系时，可以考虑构建“八字型”或“A型”相似求解；
典例精讲
（2020四川宜宾）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是 ．
【分析】过A作AF∥BC，证明△AEF∽△CEB，求出AE、CE的值，根据勾股定理求出AB和BE长，求出M、N分别是BC、BE的中点，根据相似得出比例式，代入求出OE即可【答案】 ．
反思：1、依据“角平分线”结构构造“等腰三角形”模型；
2、借助“八字型”相似求解.；
3、利用“中点”模型进一步求出OE.
“八字型”相似模型
典例精讲
（2020四川攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD=3GD．
【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
反思：1、遇到线段的倍数关系时，可以考虑构建“八字型”或“A型”相似求解；
2、“重心”——三边中线的交点.
典例精讲
（2021通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）
反思：“斜放直角”——构造“一线三垂直”模型
典例精讲
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
“三垂直”相似模型
（2021广西北部湾）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝√2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则 的值为（ ）
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，通过构造“三垂直”相似模型，证明△ADG∽△FHE，即可求出 .【答案】A
典例精讲
“三垂直”相似模型
（2018湖北襄阳）如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=√2，则AP的长为 .
“三垂直”相似模型
【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32√2，由“三垂直”相似模型可得到AB2=BE×AD，所以 ，结合以上条件可求出a=4,b=8√2.再由勾股定理可求出BD=12.最后依据等面积法求出AE的长，再由AP=2AE可求出【答案】
典例精讲
（2018武汉） 在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，
直接写出tan∠CEB的值．
“三垂直”相似模型
典例精讲
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出△ABP∽△PQF，得出 = ，再判断出△ABP∽△CQF，
设AB=√5a，PQ=2a，BP=√5b，FQ=2b（a＞0，b＞0），得出CQ=2a，进而建立方程用b表示出a，即可得出【答案】
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，
,直接写出tan∠CEB的值．
【分析】先判断出 = ，再同（2）的方法，即可得出【答案】 ．
（1）有三对相似三角形：
△ACD∽△CBD
△CBD∽△ABC
△ACD∽△ABC
ＣＤ２＝ＡＤ×ＢＤ
ＢＣ２＝ＢＤ×ＡＢ
ＡＣ２＝ＡＤ×ＡＢ
射影定理
墙
树
树
影子
影子
墙2=影子之积
树2=影子×影子和
（广州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D 。
（1）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明;
（2）如果AC=6，BC=8，求 AD的长.
典例精讲
“树影型”相似模型
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高.下列结论
①CD2=AD·BD; ②AC =AD·AB; ③BC =AB·BD; ④BD =AC·BC，
不正确的是 .
④
【解析】由题中条件可推知
△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，
依据对应边成比例可发现④不成立.
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
典例精讲
“树影型”相似模型
反思：墙2=影子之积; 树2=影子×影子和
已知∶如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC BD相交于点O，BE∶ED=1∶3，AB=6cm，则AC的长度为____cm.
解：设BE=x，因为BE：ED=1：3，故ED=3x，
根据射影定理，AD2=3x（3x+x），即36=12x2，x2=3；
∴x=√3；BE=√3．DE=3√3．
∴BD=4√3．又∵AC=BD，∴AC=4√3．
典例精讲
“树影型”相似模型
旋转相似
（2021湖南益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ ，将△ABC绕A点
顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′
的面积之比等于 ．
【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得 ＝（ ）2，解决问题．【答案】9：4
“旋转”相似模型
典例精讲
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时， ＝ ；②当α＝180°时， ＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
“旋转”相似模型
典例精讲
【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出 的值是多少．
②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据 ，求出 的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据 ，判断出△ECA∽△DCB，即可求出 的值是多少，进而判断出 的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【答案】
（2018河南）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
① 的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
“旋转”相似模型
典例精讲
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：
∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则 ＝ ，由全等三角形的性质得∠AMB的度数【答案】90°；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
【分析】正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°， ，可得AC的长3√3或2√3．
（2021重庆A卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形
的性质解答即可．【答案】A
典例精讲
（2020 嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以 即可．【答案】：B．
典例精讲
（2021山东东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】本题可以考虑用“平移”思想，将原图左移一个单位，得出B的横坐标可以变换为a-1，所以对应的B/的横坐标为-2a+2（因为此时B，B/关于原点对称），然后在将原图向右平移一个单位，则B/的横坐标变为-2a+3.【答案】A
典例精讲
（2018四川巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．
“位似”相似模型
典例精讲
【解答】解：（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
（2020宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
特别注意：（2）在△ABC同侧和对侧分别找到2OA＝OA2，2OB＝OB2，2OC＝OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
典例精讲
“位似”相似模型
