几何模型系列精讲——最值型
一、 双基目标
本节主要学习：6类常见的最值模型
1、“轴对称型”、2、“造桥选址型”
3、“隐圆型” 4、“轨迹型”
5、“函数型” 6、“阿氏圆型”
中的解题方法.
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两种.广义的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生熟练运用最值相关模型解决大量几何问题.
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
七、轴对称型专题
【例1】例（2021贵州毕节）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
【例2】（2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【例3】（2020 湖南永州）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 ．
【例4】(2019·黄冈)如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是________．
【例5】（2020四川内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
【例6】（2020辽宁营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
【例7】如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为
【例8】在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=3．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（1/2，0）B．（1，0）C．（3/2，0）D．（2，0）
【例9】（2021山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．
隐圆型最值专题
【例10】（2020广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是 ．
【例11】（2017 贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例12】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离为____．
【例13】（2021贵州铜仁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 ．
【例14】（2020凉山州）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 ．
【例15】（2021广东东莞）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 ．
【例16】（2021四川达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
轨迹型专题
【例17】（2019 山东泰安 4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．√2 D．2√2
【例18】(2019·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG的最小值为________．
【例19】（2020大庆）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为 ．
【例20】如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A． a B．a C． D．
【例21】（2020江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
函数型最值专题
【例22】（2020江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例23】（2019 四川省凉山州 5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
阿氏圆最值专题
【例24】（2020广西桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
【例25】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
【自主练习1】如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.
【自主练习2】如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.
【例26】如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．
【自主练习3】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 ；PD+4PC的最小值为 ．
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几何模型系列精讲——最值型
一、 双基目标
本节主要学习：6类常见的最值模型
1、“轴对称型”、2、“造桥选址型”
3、“隐圆型” 4、“轨迹型”
5、“函数型” 6、“阿氏圆型”
中的解题方法.
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两种.广 ( http: / / www.21cnjy.com )义的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生熟练运用最值相关模型解决大量几何问题.21cnjy.com
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
七、轴对称型专题
【例1】（2021贵州毕节）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】如图，连接PC，AC，CQ．证明PA＝PC，可得PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，解直角三角形求出CQ，可得结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：如图，连接PC，AC，CQ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠PBC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AQ＝QB，
∴CQ⊥AB，
∴CQ＝BC sin60°＝，
∵PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，
∴PA+PQ≥，
∴PA+PQ的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称最短 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2-1-c-n-j-y
【例2】（2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
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【例3】（2020 湖南永州）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 5 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），
∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，
∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
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【例4】(2019·黄冈)如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】14 【解析】如解图，作点A关于CM ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD＝120°，∴∠AMC＋∠DMB＝60°，∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°.∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形．∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝2＋4＋8＝14，∴CD的最大值为14.故答案为14.
【例5】（2020四川内江）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 15 ．
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【分析】作点A关于BD的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB＝＝10，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5，
∴A′H＝AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，
∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
【例6】（2020辽宁营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 3 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
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【例7】如图，在正方形ABCD中，AB=8 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】
如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴PM-PN，当三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，21教育名师原创作品
∴AC=AB=，∵O为AC中点，∴AO=OC=，∵N为OA中点，∴ON=，
∴，∴，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴
∴PM∥AB∥CD，∠90°，∵∠=45°，∴△为等腰直角三角形，
∴CM==2，故答案为2
【例8】在平面直角坐标系中，矩形O ( http: / / www.21cnjy.com )ABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=3．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（1/2，0）B．（1，0）C．（3/2，0）D．（2，0）
( http: / / www.21cnjy.com / )
分析 以D、E、F为顶点作平行四边形DEF ( http: / / www.21cnjy.com )D′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，确定F点坐标，也即可得到E点坐标．
解答 解：以D、E、F为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B关于x轴对称点B′，如图，
∵B（6，4）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴B′的坐标为（6，-4），
∵DD′=EF=3，D（0，2），
∴D′的坐标为（3，2），
设直线D′B′的解析式为y=kx+b，
把B′（6，-4），D′（3，2）代入得，
6k+b= 4
3k+b=2，
解得k=-2，b=8 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线D′B′的解析式为y=-2x+8，
令y=0，得-2x+8=0，解得x=4，
∴F（4，0），E（1，0）．
点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题， ( http: / / www.21cnjy.com )解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．
【例9】（2021山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 （﹣，0） ．【来源：21·世纪·教育·网】
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【分析】在BC上截取BH＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．
【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四边形BHEF是平行四边形，
∴BF＝EH，
∵点D与点D'关于x轴对称，
∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），
∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，
∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，
∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，
∵点B（﹣4，6），
∴点H（﹣1，6），
设直线D'H的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，
∴当y＝0时，x＝﹣，
∴点E（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．
9、隐圆型最值专题
【例10】（2020广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是 ．21教育网
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【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．则DB′+B′J≥DH，求出DH，DB′即可解决问题．【出处：21教育名师】
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．
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在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，
∴AB＝AC cos30°＝4，
∵BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝3，
∵∠AHD＝90°，
∴DH＝AD＝，
∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝，
∴B′J≥DH﹣DB′，
∴B′J≥，
∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为，
故答案为．
【例11】（2017 贵港）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
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【点评】本题考查旋转变换、解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
【例12】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD=√2，OD=AD=1/2AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+√2．
故选C．
Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+√2，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．【来源：21cnj*y.co*m】
【例13】（2021贵州铜仁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 ．
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【分析】根据正方形的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△DCF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC＝90°，从而确定AG最小时G的位置，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图1，取CD的中点H，连接GH，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
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∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G在以DC为直径的圆上，
如图2，连接AC，BD交于点O，取DC的中点H，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，
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∴点G在以H为圆心，CH为半径的圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，
此时AG＝AO＝AC＝，
即AG的最小值＝．
故答案为：；
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，确定出AG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点．
【例14】（2020凉山州）如图，矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 10 ．2·1·c·n·j·y
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【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
【解答】解：如图，连接PD，DE，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE＝＝13，
由折叠得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．
【例15】（2021广东东莞）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 ．
【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA＝，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为OC﹣OD＝．
【解答】解：如图所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC，21·世纪*教育网
当O、D、C三点共线时，CD的值最小．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB＝．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45° OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OEC中，
OC＝＝＝．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为CD＝OC﹣OD＝．
故答案为：．
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【点评】本题考查了动点与隐圆条件 ( http: / / www.21cnjy.com )下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧．
【例16】（2021四川达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 2 ．21*cnjy*com
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【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，
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∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
10、轨迹型专题
【例17】（2019 山东泰安）如图，矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
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A．2 B．4 C．√2 D．2√2
【分析】根据中位线定理可得出点点P ( http: / / www.21cnjy.com )的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
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当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：D．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
【例18】(2019·宿迁)如图，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG的最小值为________．21·cn·jy·com
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【答案】
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【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动．如解图1，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△GHE，从而可知△EBH为等边三角形，如解图2，点G在垂直于HE的直线HN上，过点C作CM⊥HN交HN于点M，则CM即为CG的最小值，过点E作EP⊥CM交CM于点P，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP＋CP＝HE＋EC＝1＋＝.
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【例19】（2020大庆）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为 ． ．
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【分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∴在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，
如图，
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此时∠AOB＝120°，OA＝＝，
所以弧AB的长为：＝．
则点F的运动路径的长度为．
故答案为：．
【例20】如图，边长为2a的 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
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A． a B．a C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
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∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×2a=a，
∴MG= CG= ×a= ，
∴HN= ，
故答案为：D．
【分析】取 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的中点G，连接MG，依题可得∠MBH+∠HBN=60°，由等边三角形的性质得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，等量代换得∠HBN=∠GBM，
由等边三角形的性质和旋转的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可知HB=BG，BM=BN，利用全等三角形的判定得△MBG≌△NBH（SAS），再由全等三角形的性质得MG=NH；
根据垂线段最短得当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短；在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可得HN的值.【版权所有：21教育】
【例21】（2020江苏南 ( http: / / www.21cnjy.com )通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）21*cnjy*com
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A． B．2 C．2 D．3
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，
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∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
11、函数型最值专题
【例22】（2020江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，﹣），
∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|，
∴ON＝|3﹣m|，
∴Q′（3﹣m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
故选：B．
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【例23】（2019 四川省凉山州 5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 4 ．
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【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与C ( http: / / www.21cnjy.com )Q有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．
12、阿氏圆最值专题
【例24】（2020广西桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
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【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
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∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT AB，
∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴＝＝，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，
∴PB+PC≥，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
【例25】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．
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【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，
连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，
连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．
问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得．
【自主练习1】如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.
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[答案]：5.
【自主练习2】如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.
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[答案]：10.
【例26】如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．
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【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：
连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，
∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，
∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，
∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．
【自主练习3】如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；PD+4PC的最小值为 10 ．
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【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．
∵PB2＝4，BE BC＝4，∴PB2＝BE BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，
∴PD+PC的最小值为5．
②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．
∵PB2＝4，BE BD＝×4＝4，∴BP2＝BE BD，
∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，
∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，
∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．
八、造桥选址型专题
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几何变换、数学思想方法中考满分系列精讲
几何模型问题
数学模型的思想过程为直觉、试探、思考、猜想、验证,这一过程主要培养学生的思考过程和解决问题的思想,这是学生们对新知识的了解并更好运用的过程,可开发出学生们的抽象概括能力和创新思维能力.同时更有助于学生分析并解决问题的实用机理。数学模型是学生以自己原有的知识经验为基础,通过对外部问题的观察和吸纳,再与自身原有知识相结合,将相关问题充分结合并构建属于它的理解和意义.对数学模型的求解也是需要学生对自己以前的知识进行唤醒,运用以前的知识与现在所学知识相互交流并吸取有益部分再进行相互融合、编码、构建与数学模型的理解和和意义,这是一个需要相互反复交流的相互过程也是学习者对自己构建知识经验的过程.。
一、 双基目标
本节主要学习：6类常见的最值模型
1、“轴对称型”、2、“造桥选址型”
3、“隐圆型” 4、“轨迹型”
5、“函数型” 6、“阿氏圆型”
中的解题方法.
二、能力目标
数学模型分广义和狭义两种.广义的是指一切数学理论、体系和各种概念、公式、算法系统的等。狭义的是指为解决某些具体的数学问题而衍生出的某种特殊的数学关系结构.并且在高度概括之后，本专辑主要从狭义角度通过精讲、精练来培养学生利用最值相关模型来解决大量几何问题.
七、轴对称型专题
“单动点”轴对称最值模型
将军饮马问题
（2021贵州毕节）如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
【分析】1、作图：∵四边形ABCD是菱形，所以A，C关于BD对称.连接AC．连接CQ交BD与P，点P即为所求，且AP+PQ的最小值=CQ；
2、依据条件可以证明△AQC是含30°的直角三角形，从而求出CQ的长为√3．
“单动点”轴对称最值
（2020河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交 于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【答案】
“单动点”轴对称最值
（2020 湖南永州）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 ．
【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【答案】5√3
“双动点”轴对称最值
(2019·黄冈)如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是________．
【解析】如解图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD＝120°，∴∠AMC＋∠DMB＝60°，∴∠CMA′＋∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°.∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形．∵CD≤CA′＋A′B′＋B′D＝CA＋AM＋BD＝2＋4＋8＝14，∴CD的最大值为14.故答案为14.
“双动点”轴对称最值
（2020四川内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
“双动点”轴对称组合型最值
【分析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
【答案】15
（2020辽宁营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝ AB＝ 6＝3，根据勾股定理即可得到CF的长．【答案】3√3
线段差的最大值
若P是直线l上的一动点，A，B是两个定点
（2019陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 ．
“线段差最大”轴对称最值
【分析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“=”，【答案】2
八、造桥选址专题
问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸L1、L2平行,桥MN 与河岸垂直,A到L1的距离大于河宽.）
造桥选址最值模型
定点
定点
在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=3．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（1/2，0）B．（1，0）C．（3/2，0）D．（2，0）
【分析 】以D、E、F为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，确定F点坐标，也即可得到E点坐标．【答案】B
（2021山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 。
【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【答案】
九、隐圆型专题
常见的“隐圆”模型
“定点、定长型
直角型
定角型
（2020广西河池）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝√3，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是 ．
F
“旋转动点轨迹”最值模型
【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．则DB′+B′J≥DH，求出DH，DB′即可解决问题．【答案】
（2017贵港） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A/B/C,M 是BC的中点，P是A/B/的中点，连接PM，若BC=2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是 （ ） A．4 B．3 C.2 D．1
“旋转动点轨迹”最值模型
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【答案】B
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______．
【分析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+√2，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
“旋转动点轨迹”最值模型
（2021贵州铜仁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 ．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△DCF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC＝90°，从而确定AG最小时G的位置，根据勾股定理可得结论．【答案】
“直角动点轨迹”最值模型
（2020凉山州）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 ．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．【答案】：10
“折叠动点轨迹”最值模型
（2021广东东莞）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 ．
【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA＝√2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为√5，最后CD最小值为OC﹣OD＝√5-√2
．
“定角”隐圆最值模型
（2021四川达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在 上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．
【答案】CP=2√3
“定角”隐圆最值模型
十、轨迹型专题
（2019 山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．√2 D．2√2
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
“直线型轨迹”最值模型
(2019·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG的最小值为________．
【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线（图中HN）轨迹上运动．所以当CG⊥HN时，CG的长最小.
“直线型轨迹”最值模型
动点轨迹最值问题解题策略：
1、遇到轨迹为直线型时，利用“垂线段最短”的方法求解；
（1）如果主动点是在线段（或直线）上移动时，被动点的轨迹即为直线型的；实际画图时，可以分别在起点，运动中点，终点处画出被动点的位置，即可确认线型；
2、遇到轨迹为圆弧型时，可以借助“圆外一点，连接圆心”的方式找出最大（小）值
（2020大庆）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为． ．
【分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝√3，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度= .
“定角”轨迹模型
（2020山东东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 ．
【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝ ，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，OP=3.如图，在Rt△POQ中，由勾股定理计算此时PQ=2√2．
“垂线段最短”最值模型
如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 .
【分析】取BC的中点G，连接MG，依题可得∠MBH+∠HBN=60°，由等边三角形的性质得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，等量代换得∠HBN=∠GBM，由等边三角形的性质和旋转的性质可知HB=BG，BM=BN，利用全等三角形的判定得△MBG≌△NBH（SAS），再由全等三角形的性质得MG=NH；根据垂线段最短得当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短；在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可得HN的值.【答案】D
反思：利用旋转全等的思想——构造△BHN≌△BGM，借助“垂线段最短”解答。
“旋转”最值模型
（2020江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
“平移”最值模型
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
十一、函数型专题
（2020江苏宿迁） 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣ x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，证明△PQM≌△Q′PN设出Q点坐标，进而表示出Q/的坐标.最后借助勾股定理表示出OQ/的长，利用二次函数的知识求出OQ/的最小值.【答案】B
“函数”最值模型
（2019 四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【答案】4
“函数”最值模型
十二、阿氏圆最值专题
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 （ k> 0且k不等于 1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
“阿氏圆问题”也是“两定一动”——两个定点在一个圆的外部，，动点在这个圆是上滑动．
（2020广西桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 的最小值为__________．
【分析】这个问题最大的难点在于转化 ，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM= ．问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得
如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为 上一动点，求 PC+PD的最小值．
【解析】如图当A、P、D共线时， PC+PD最小．
