广西壮族自治区玉林市容县2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试题（PDF版含答案）

23 级理科数学 2022 年春季期开学考试
一、单选题
2
1．复数 z 的虚部是（ ）
1 i
A． i B． i C．1 D． 1
2．在一次“剧本杀”游戏中，甲乙丙丁四人各自扮演不同的角色，四人发言如下：
甲：我扮演警察；乙：我扮演路人；丙：我扮演嫌疑犯；丁：我扮演路人 嫌疑犯 受害者当
中的一个.
若其中只有 1人说谎，则说谎的人可能是（ ）
A．甲或丁 B．乙或丙 C．甲或乙 D．丙或丁
3．若函数 f x 3是奇函数，且当 x 0时， f x 2x 3x 1，则当 x 0时， f x 的解析式
为（ ）
A． f x 2x3 3x 1 B． f x 2x 3 3x 1
C． f x 2x3 3x 1 D． f x 2x 3 3x 1
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
3 1 1A 2． B．
2 2
C． D．
3 2
x a
5．在同一直角坐标系中，函数 y ax与 y 的图像可能是（ ）
x 1
A． B．
C． D．
6．如图所示，在边长为 1的正方形 OABC中任取一点 P，则
点 P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 5 6 7
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y27．已知 m是 2与 8的等比中项，则圆锥曲线 x2﹣ ＝1的离心率是（ ）
m
A 3 5 5． 5或 B． 3 C． D． 3或
2 2 2

8．如图四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，已知PA a， PB b， PC c，
1 PE PD，则
2 BE
（ ）
1 a 3

b 1 c 1
1 3 1 1 1 3
A． B． a
1 b 1 c C． a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段 A1C1上的动点，
则下列四个结论：①存在点 E，使 EF // BD；②存在点 E，使 EF 平面 AB1C1D；③EF与
AD1所成的角不可能等于 60°；④三棱锥 B1 ACE的体积随动点 E的变化而变化．其中正确
结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知点 A(4,4)在抛物线 y2 4x上， F 是抛物线的焦点，点 P为直线 x 1上的动点，
我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则 PA PF 的最小值为（ ）
A．8 B． 2 13 C．2 41 D． 65
11．已知函数 f (x)满足 f (x) f ( x) 0，且当 x ( , 0)时， f (x) xf x 0成立，若
a 20.6 f 20.6 ，b (ln 2) f (ln 2) c 1 ， log2 f log 1 2 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
8 8
A． a b c B． c b a C． a c b D． c a b
x212 x
2 y2
．如图已知椭圆C : y21 1，双曲线C2 : 2 2 1(a 0,b 0)，10 a b
若以椭圆C1的长轴为直径的圆与双曲线C2的一条渐近线交于 A，B两
点，且椭圆C1与该渐近线的两交点将线段 AB三等分，则双曲线C2的
离心率为（ ）
A．9 B．5 C． 5 D．3
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二、填空题
13．函数 f x x lnx在区间（0，e）上的极小值为___________.
14．用数学归纳法证明等式，1 2 3 2n n 2n 1 时，由 n k到n k 1时，等式左
边应添加的项是_______________．
15．如图，把正方形纸片 ABCD沿对角线 AC折成直二面角，则折纸后异面直线 AB，CD所
成的角为___________.
x2 y216．已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，虚轴的上端点为 B，点 P，Q为Ca b
上两点，点M 2,1 为弦 PQ的中点，且 PQ//BF，记双曲线的离心率为 e，则 e2 ______．
三、解答题
17 2．已知函数 f x x lnx ax．
1 当 a 3时，求 f x 的单调增区间；
2 若 f x 在 0,1 上是增函数，求a得取值范围．
18．如图，P，M 分别是正三棱柱 ABC A1B1C1的棱 AA1，B1C1的中点，且棱 AA1 3，AB 2．
(1)求证： A1M∥平面 PBC1；
(2)求锐二面角 A1 BC1 B1的余弦值．
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19．设函数 f (x) xea x bx，曲线 y f (x)在点 (2, f (2))处的切线方程为 y (e 1)x 4，
（1）求 a，b的值；
（2）求 f (x)的单调区间.
3
20．已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为 的直线 l与 C的交点为 A，B，与 x轴的交
2
点为 P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；

（2）若 AP 3PB，求|AB|．
2 2
21 x y 6．已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 过点 A 0,1 ，且椭圆的离心率为 ．a b 3
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)斜率为1的直线 l交椭圆C于M x1, y1 ，N x2 , y2 两点，且 x1 x2 ．若直线 x 3上
存在点 P，使得 PMN 是以 PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线 l的方程．
22．已知函数 f x ax 2a 1 ln x 2 ， g x 2a ln x 2 ，其中a R .
x x
（1）当 a 0时，求 f x 的单调区间；
x 1（2）若存在 ,e
2
，使得不等式 f x g x 成立，求 a的取值范围. e
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23 级理科数学 2022 年春季期开学考试参考答案
z 2 2(1 i)1．D 1 i z
2

1 i (1 i)(1 i) ，故复数 的虚部是
1 .
1 i
2．B
3．A ∵函数 f x 是奇函数，∴ f x f x x 0 f x 2x3，∵ 时， 3x 1，
设 x 0 3时，则 x 0，∴ f x 2x 3x 1，∴ f x 2x3 3x 1，即 x 0时， f x 2x3 3x 1 .
4．B 设椭圆的焦点为 F1， F2，短轴的一个端点为A，则有△AF1F2为等边三角形，即 AF1 F1F2，
c 1
AF1 OA
2 OF 21 b
2 c2 a， F1F2 2c，所以有 a 2c， a 2
5 D x a 1 a． 当 0 a 1时，函数 y ax在 R上为单调递减函数， y 1 x 1 x 1在区间
( ,1)和区间 (1, )上单调递减，

且当 x 0时， y
0 a
a 0
0 1 ，故选项A和选项B均错误；当 a 1时，函数 y a
x在 R上为单调递增函数，

y x a 1 1 a
x 1 x 1在区间
( ,1)和区间 (1, )上单调递增，故选项C错误，选项D正确．

1 3
1 xdx 2 x2 |1 2 2 1 1
1
6．C 由三角形面积为 2 ， 0 ，所以阴影部分面积为 ，所求概率为 1
0 3 3 3 2 6 P
6
1 6
2 c
7．A m 2 8 m ±4 m=4 , x2 y是 与 的等比中项，可得 ＝ ，当 时 圆锥曲线为双曲线 ﹣ ＝1, 它的离心率为：e 5 ,
4 a
2 2
当 m=-4 时，圆锥曲线 x2 y 1 x2 y 1 3﹣ ＝ 为椭圆 ，离心率： ，
m 4 2
8．A 连接 BD，如图，
1 1 1 1 1 则 BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB2 2 2 2 2
1 1 PB PA 2PB PC 1 3 1 PA PB PC 1 a 3 1 b c2 2 2 2 2 2 2 2
9．D ①错误；②正确；③错误；④错误．
10．D 由题意，知抛物线 y2 4x的焦点 F (1,0)，直线 x 1是抛物线 y2 4x的准线，
点 A(4,4)在抛物线 y2 4x上，点 P为直线 x 1上的动点，设 F (1,0)关于直线 x 1的
对称点 F ( 3,0)，作图如下，利用对称性质知：PF = PF ，则 PA PF = PA PF AF
即点 P在P 位置时， PA PF 的值最小，等于 AF ，利用两点之间距离知
AF ( 3 4)2 42 65，则 PA PF 的最小值为 65
11．D 因为函数 f x 满足 f (x) f ( x) 0，即 f x f x ，且在 R上是连续函数，所以函数 f x 是奇函数，
不妨令 g x x f x ，则 g x x f x x f x g x ，所以 g x 是偶函数，
则 g '(x) f (x) x f '(x)，因为当 x ( , 0)时， f (x) xf '(x) 0成立，所以 g x 在 x ( , 0)上单调递减，
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又因为 g x 在 R上是连续函数，且是偶函数，所以 g x 在 0， 上单调递增，
则 a g 20.6 ，b g(ln 2) c g 1 ， log2 g log 1 12 ，因为 20.6 1，0 ln 2 1， log2 3 3>0， 8 8 8
所以 ln 2 1 20.6 log
1
2 ，所以 c a b，8
b b x212．D 如图，渐近线 y x与椭圆交点为 C，则由题意得：OA 3OC ，即 xA 3xC ，联立 y x与C1 : y
2 1，
a a 10
x 10a b 10a 10a 3 10a
2
解得： C ，联立 y x与圆 x
2 y2 10，解得：xA ，从而
b
，解得： 8，
a2 10b2 a a2 b2 a2 b2 a2 10b2 a2
13. 1 f (x)的定义域为 (0，＋∞)， f (x) 1
1
，令 f (x) 0，得 x＝1，当 x∈(0，1)
x
时， f (x) 0 ， f (x)单调递减，当 x∈(1，e)时， f (x) 0， f (x)单调递增，故 f (x)在 x
＝1处取得极小值 f 1 1 ln1 1 .
14． (2k 1) (2k 2)
因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 n k到 n k 1时，等式左边增加了
[1 2 3 2k (2k 1) 2(k 1)] (1 2 3 2k) (2k 1) (2k 2)，
故答案为： (2k 1) (2k 2) ．
π
15． 16 2 1 b． 由题意知 F c,0 ，B 0,b ，则 kPQ kBF c ．设 P x1, y1 Q x2 , y6 2 ，2
x2 y21 1
2 2 1， a b y1 y
2
2 b x1 x2
则 2 2 两式相减，得 2 PQ M 2,1x x a y ．因为 的中点为 ，所以 x x 4， y y 2，又 x y 1 2 1 y
1 2 1 2
2 2

2 2 1
2
，
a b
y y b 2kPQ
1 2 b 4b 4 2 2 2 2 2
x x c ，所以 2 ，整理得 a
2 2bc，所以 a 4b c 4c c a ，得 4e4 4e2 1 0 ，得 e2 2 1 ．
1 2 c 2a 2
2
2
17.（1）当 a 3时， f x x lnx 3x，所以 f x 2 x 1 3 2x 3x 1 (2x 1)(x 1) ，由 f x 0得，
x x x
0 1 x x 1
1
或 ，故所求 f x 的单调递增区间为 0, , 1, .2 2
1
（2）由 f x 2x a，∵ f x 在 0,1 1上是增函数，所以 2x a 0在 0,1 上
x x
a 2x 1 1 2恒成立，即 恒成立，∵ 2x 2 2（当且仅当 x 时取等号），所以
x x 2
a 2 2，即 a , 2 2 .
18. (1)证明：在线段 BC1上取中点 N，连结MN、 NP．
MN 1因为 是 C1BB1的中位线，所以MN∥B1B，且MN B2 1B．
又因为 A1P∥B1B，且 A1P
1
B
2 1
B，所以，MN∥ A1P，且MN A1P，
所以四边形MNPA1是平行四边形，所以 A1M∥PN ，又 A1M 平面 PBC1， PN 平面
PBC1，所以 A1M∥平面 PBC1．
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(2)取 BC中点O，因为三棱柱 ABC A1B1C1是正三棱柱，所以 ABC是等边三角形，所以OA BC ．

分别以OC，OA，OM 的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz，则B 1,0,0 ，C1 1,0,3 ，
A1 0, 3,3

．所以 BC1 2,0,3 ， BA1 1, 3,3 ．设平面 A1BC1的一个法向量为 n1 x, y, z ．则

BC1 n1 2x 3z 0,
取 x 3，则 n1 3, 3, 2 ．
BA1 n1 x 3y 3z 0,
uur
因为平面 BB1C1的一个法向量为 n2 0,1,0 ，
n1 n2 3 0 3 1 2 0cos n ,n 3 3
所以 1 2 n n 2 2 4 ．所以锐二面角
A1 BC1 B1的余弦值为 ．
1 2 32 3 2 1 4
a x a x f (2) 2e 2,
a 2
19．（Ⅰ）因为 f (x) xe
2e 2b 2e 2,
bx，所以 f (x) (1 x)e b .{ f (2) e 1, 即
{ a 2 解得 a 2,b e . e b e 1,
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) xe 2 x ex .由 f (x) e 2 x(1 x e x 1) 及 e2 x 0知， 与1 x ex 1同号.
令 g(x) 1 x e x 1，则 g (x) 1 e x 1 .所以，当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增.
故 是 在区间 上的最小值，从而 .
综上可知， ， .故 的单调递增区间为 .
3 3
20．（1）设直线 l方程为： y x m，A x1, y1 ，B x2 , y2 由抛物线焦半径公式可知： AF BF x1 x2 42 2
y 35 x m
x 2 2 2 11 x2 联立2
2 得：9x 12m 12 x 4m 0，则 12m 12 144m2 0 m
2 2 y 3x
x x 12m 12 5 71 2 ，解得：m 直线 l
3 7
的方程为： y x ，即：12 x 8 y 7 0
9 2 8 2 8
2
2 x y t（2）设 P t,0 ，则可设直线 l方程为： x y t 联立 3 得：3 y
2 2y 3t 0
2 y 3x

则 4 12t
1
0 t y1 y3 2 2， y1y2 3t AP 3PB y1 3y2 y2 1， y1 3 y1y2 3
则 AB 1 4 y 21 y2 4y y
13
4 4 13 12
9 1 2 3 3
b 1,

c 6 2
21．（Ⅰ x）由题意得 , 解得 a2 3． 所以椭圆C的方程为 y2 1．
a 3 3
a2 b2 c2 .
答案第 3页，共 4页
x2
y2 1，
（Ⅱ）设直线 l的方程为 y=x+m，P 3, yP 由 3 得 4x2 6mx 3m2 3 0 .
y x m
3
令 36m2 48m2 48 0，得 2 m 2． x1 x2 m x x
3
， 1 2 m2 12 4 ．
因为 PMN是以 PMN为顶角的等腰直角三角形，
所以 NP平行于 x轴． 过M 做 NP的垂线，则垂足Q为线段 NP的中点．
设点Q的坐标为 xQ , y x 3Q ，则 xQ x 2M x1 ．2

x
3
1 x2 m，
2
3 2
由方程组 x1x2 4 m 1 ，解得m
2 2m 1 0，即m 1． 而m 1 2，2 ， 所以直线 l的方程为 y=x-1．

x x 3 1
2 ，
2
2
22 1 y f x 0, 2a 1 2 ax 2a 1 x 2 ax 1 x 2．（ ）函数 的定义域为 ， f x a 2 2 .x x x x2
1
当 a 0时，令 f x 0，可得 x 0或 x 2 .
a
1
①当 2
1
时，即当 a 时，对任意的 x 0， f x 0，此时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, ；
a 2
1 1
②当0 2时，即当 a 时，令 f x 0，得0 x 1 或 x 2；令 f x 0 1，得 x 2 .
a 2 a a
1 1
此时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, 和 2, ，单调递减区间为 , 2 ；
a a
1
③当 2时，即当 0 a
1
时，令 f x 0 1 1，得 0 x 22 或 x ；令 f x 0，得 2 x .a a a
此时，函数 y f x 的单调递增区间为 0,2 1 , 2, 1 和 ，单调递减区间为 ；
a a
ln x 1
（2）由题意 f x g x ，可得 ax ln x 0 a 2 ，可得 ，其中 x ,e .x e
ln x 1 2 1
构造函数 h x ， x ,e ，则 a h x
1 ln x
min . h x 2 ，令 h x 0

，得 x e ,e
2 .
x e x e
1
当 x e h x 0 2 1 时， ；当 e x e 时， h x 0 .所以，函数 y h x 在 x 或 x e2处取得最小值，e e
Q h 1 e h e2 2 1 1 ， ，则 h h e ， h x h e ， a e .
e e2 e min e
因此，实数 a的取值范围是 e, .
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