容县高一下学期开学摸底考试
数学试卷
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求.
1、 下列结论正确的是（ ）
A.若 c > bc，则 > b B. 若 > b，c < 0，则 c < bc
C.若 2 > b2，则 > b D. 若√ < √b，则 > b
2、函数 ( )的递增区间是( 2,3)，则函数y = ( + 5)的递增区间是（ ）
A. (3,8) B. ( 7, 2) C. ( 2,3) D. (0,5)
1+
3、对于函数 ( ) = 2 ，下列说法正确的是（ ） 1
A. ( )是奇函数 B. ( )是偶函数
C. ( )是非奇非偶函数 D. ( )既是奇函数又是偶函数
π
4、函数y = 3 tan( + )的最小正周期是 ，则 等于（ ）
6 2
A.4 B.2 C.-2 D.2 或-2
5、sin 69° cos 9° sin 21° sin 9°等于（ ）
√3 1 √3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
√3 1 1 cos 66° 2 tan 16°
6、设 = cos 29° sin 29°， = √ ，c = ，则有（ ）
2 2 2 1+ 216°
A. > b > c B.b > c > C. c > > b D. c > b >
2√5 √10 π
7、已知sin = ，cos = ，α、β (0, )，则cos(2 )和α + β的值分别为（ ）
5 10 2 3
3 4√3 3 3+4√3 3
A. , B. ,
10 4 10 4
3+4√3 3 3 4√3 3
C. , D. ,
10 4 10 4
log2(1 ), < 18、已知函数 ( ) = { ，若函数 ( ) = ( ) 恰有 3 个零点，则实
|2 1| + 2, ≥ 1
数 的取值范围是（ ）
5
A. (2, ] B. (2,3) C. (3,4] D. (2, +∞)
2
二 多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，
有多项符合要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9、下列不等式一定成立的有（ ）
1 1 3 1
A. + ≥ 2 B. 2 (1 ) ≤ C. 2 + ≥ 2√3 1 D. √ + ≥ 2
4 2+1 √
10、如果函数 ( )在[ , b]上是增函数，对于任意的 1， 2 ∈ [ , b]( 1 ≠ 2)，则下列结
论中正确的是（ ）
( 1) ( 2)A. > 0 B.(
1
2)[ ( 1) ( 2)] > 0
1 2
C. ( ) ≤ ( 1) < ( 2) ≤ (b) D. ( 1) > ( 2)
1
11、已知θ ∈ (0, π)，sin + cos = ，则下列结论正确的是（ ）
5
π 3 3 7
A. θ ∈ ( , π) B. cos = C. tan = D. sin cos =
2 5 4 5
12、已知函数① = sin 2 ；② = sin(2 + )，则下列说法正确的有（ ）
3
π
A. ①②周期相同，最大小值相同 B. ①由②向左平移 个单位长度得到
6
π π
C. ①由②向右平移 个单位长度得到 D. ①由②向左平移 个单位长度得到
6 3
三 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13、已知函数 ( ) = 2 ，则 [ (2)] = .
14、已知定义在R上的奇函数 ( )在( ∞, 0]上是减函数，若 ( + 1) + (3 2) < 0，
则实数 的取值范围是 .
+1
15、已知函数 ( ) = 的反函数就是 ( )本身，则 的值为 .
3
2 + 1( > 2)
16、函数 ( ) = { 是R上的单调递减函数，则 的取值范围是 .
+ 1( ≤ 2)
四 解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17、已知tan ( + ) = 2，
4
（1）求 tan 的值；
（2）求 2 + 2 sin cos 2 的值.
18、函数 ( )是定义在R上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 2 .
（1）求函数 ( )在 ∈ ( ∞, 0)的解析式；
（2）当 > 0时，若| ( )| = 1，求实数 的值.
3
19、已知函数 ( ) = 是R上的奇函数.
1+3
（1）求 的值；
（2）用定义证明 ( )在R上为减函数；
（3）若对于任意t ∈ [2,5]，不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0恒成立，求实数 的取值
范围.
20、已知函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)的图象过点(9,2).
（1）求 的值；
（2）若 ( ) = (2 ) + (2 + )，求 ( )的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.
21、已知函数 ( ) = sin( + ) 1( > 0, ω > 0,0 < φ < π)的最大值为 1，其图象
π π
相邻两对称轴之间的距离为 .若将 ( )的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单
2 4
位长度，得到的图象关于原点中心对称.
（1）求函数 ( )的解析式；
（2）已知常数λ ∈ R, ∈ ，且函数 ( ) = ( ) λsin 在(0, )内恰好有 2021 个零
点，求常数λ与 的值.
22、如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是(1,0)，∠BOA = 60°，质点A以1
弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点以B以1弧度/秒的角速度按顺时针
方向在单位圆上运动，过点A作AA1 ⊥ 轴于A1，过点B作BB1 ⊥ 轴于B1.
（1）求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点A1与B1间的距离为 ，请写出 与时间 的函数关系.容县高一下学期开学摸底考试
数学答案
1、B【解析】A×:当c < 0则 < b；C×:若 = 2, b = 1 时 < b；D×:若√ < √b，则 < b.
2、B【解析】函数y = ( + 5)是函数 ( )向左平移 5 个单位得到的,∵ ( )的单调递增区
间是( 2,3),∴y = ( + 5)的单调递增区间是( 2,3)向左平移 5 个单位,即( 7, 2).
1+
3、A【解析】∵ > 0,即(1 + )(1 ) > 0,解得 1 < < 1,∴函数的定义域关于原点对称，
1
1 1+ 1+
又∵ ( ) = 2 = 2( )
1 = 2 = ( ),∴ ( )是奇函数. 1+ 1 1
π π
4、D【解析】∵ = 3 tan( + )的最小正周期是 ,∴ = ,解得ω = ±2.
6 2 | | 2
√3
5、C【解析】sin 69° cos 9° sin 21° sin 9° = cos 21° cos 9° sin 21° sin 9° = cos 30° =
2
√3 1
6、B【解析】∵ = cos 29° sin 29° = sin(60° 29°) = sin 31°,
2 2
1 cos66°
= √ = √ 233° = sin 33°,
2
2 tan 16° 2 sin 16° cos 16°
c = = = sin 32°,
1+ 216° 216°+ 216°
且31° < 32° < 33°，∴sin 31° < sin 32° < sin 33°，∴b > c > .
√5 3√10
7 、C【解析】由题意可得cos = √1 2 = , sin = √1 2 = ,
5 10
4 3
sin 2 = 2 sin cos = , cos 2 = 2 2 1 = ，
5 5
3 1 4 √3 3+4√3
∴cos(2 ) = cos 2 cos sin 2 sin = × × = .
3 3 3 5 2 5 2 10
√5 √10 2√5 3√10 √2
∵α + β (0,π), ∴ cos(α + β)=cos cos sin sin = × × = ,
5 10 5 10 2
3
∴α + β = .
4
8、A【解析】由题意 ( )大致图象如右图：据图象可知当
( ) = ( ) 恰有 3 个零点时，即函数 = ( )的图象
5
与 = 的图象有 3个公共点，∴ 的取值范围是2 < ≤ .
2
1
9、CD【解析】A×:当c < 0时， + < 0；
1 2 1 1
B×: 2 (1 ) = 2 ( ) + ≤ ；
2 2 2
3 3 3
C√: 2 + = 2 + 1 + 1 ≥ 2√( 2 + 1)2 2 · 2 1 = 2√3 1； +1 +1 +1
1 1
D√: √ + ≥ 2√√ · = 2.
√ √
10、AB【解析】∵ ( )是增函数，∴ 1 2与 ( 1) ( 2)同号，∴AB√；∵不知 1, 2大
小，∴ ( 1), ( 2)大小无法判断，∴CD×.
1 1
11、ABD【解析】∵sin + cos = ①∴(sin + cos )2 = ,即 2 + 2 sin cos +
5 25
2 1 24 π = ,∴2 sin cos = ,∵θ ∈ (0, π),∴sin > 0, cos < 0,∴θ ∈ ( , π) 故 A√.
25 25 2
49 7
∴(sin cos )2 = 1 2 sin cos = ,∴sin cos = ②故∴D√.
25 5
4 3 4
① + ②得sin = ,① ②得cos = 故 B√. tan = ,∴C×.
5 5 3
12、AC【解析】两个函数的周期都为π，最大值为1，最小值为 1，最大小值相同,A√.
π
由 = sin(2 + ) = sin 2( + )，则①由②向右平移 个单位长度得到,C√.
3 6 6
π
将②向左平移 个单位长度得到 = sin 2[( + ) + ] = sin[2( + ) + ] = sin(2 +
6 6 6 6 3
2
)，不能得到①,B×.
3
π 2
将②向左平移 个单位长度得到 = sin 2[( + ) + ] = sin[2( + ) + ] = sin(2 +
3 6 3 6 3
) = sin 2 ，不能得到①,D×.
13、16【解析】∵ ( ) = 2 ，∴ (2) = 4，则 [ (2)] = (4) = 24 = 16.
14、( , +∞)【解析】∵ ( )是奇函数且在( ∞, 0]上是减函数,∴ ( )在R上单调递减,∵
( + 1) + (3 2) < 0 ,∴ ( + 1) < (3 2) = (2 3 ) 即 + 1 > 2 3 解得
1
> .
4
+1 3 +1 3 +1 1 3 +115、3【解析】∵ = ( ) = ，∴ = ，即 = ，∴ ( ) = ，
3
1 +1 3 +1
∵ ( ) = ( )，即 = ，∴ = 3.
3
< 0
1 1
16、( ∞, 【] 解析】∵ ( )是减函数，∴满足条件{ ≤ 2 ，解得 ≤ .
2 2
4 + 2 1 ≤ 2 + 1
tan +tan tan +1
17、解：（1）tan ( + ) = 4 = = 2 1 ，解得tan = .
4 1 tan tan 1 tan 3
4
1 1
2 +2 sin cos 2 2 +2 tan 1 +2× 1 1
（2）原式= = = 9 31 = .
2 + 2 2 +1 +1 5
9
18、解：（1）令 ∈ ( ∞, 0)，则 ∈ (0, +∞)，由 ( ) = ( )，此时 ( ) = 2 + 2 .
（2）由 > 0，| ( )| = | 2 2 | = 1，∴ 2 2 = ±1，解得 = 1或 = 1 + √2或
= 1 √2（舍），∴ 的值为1或1 + √2.
3 1
19、解：（1）由于函数 ( ) = 是R上的奇函数知 (0) = 0，即 = 0，解得 = 1.
1+3 2
1 3
（2）由（1）知 ( ) = ，任取 1, ∈ 且 < ， 1+3 2 1 2
1 3 1 1 3 2 (1 3 1 )(1+3 2) (1 3 2 )(1+3 1) 2(3 2 3 1 )
则 ( 1) ( 2) = = = ， 1+3 1 1+3 2 (1+3 1 )(1+3 2 ) (1+3 1 )(1+3 2 )
∵ 1 2 2 1 1 21 < 2 ， ∴ 3 < 3 ， ∴ 3 3 > 0 ， 又 ∵ 1 + 3 > 0,1 + 3 > 0 ，
2(3 2 3 1 )
∴ > 0，∴ ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，∴ ( )在R上为减函数. (1+3 1 )(1+3 2 )
（3）不等式 ( 2 2 ) + (2 2 ) < 0可化为 ( 2 2 ) < (2 2 )，∵ ( )是奇函数，
∴ (2 2 ) = ( 2 2)，∴ ( 2 2 ) < ( 2 2)，∵ ( )在R上为减函数，∴
2 2 > 2 2即 < 3 2 2 ，即对于任意t ∈ [2,5]，不等式 < 3 2 2 恒成立.设
( ) = 3 2 2 , ∈ [2,5]，则8 ≤ ( ) ≤ 65，∴ < ( ) = 8，∴ 的取值范围是( ∞, 8).
20、解：（1）由条件知 (9) = 9 = 2，即
2 = 9，又 > 0 且 ≠ 1，∴ = 3.
（2） ( ) = (2 ) + (2 + ) = 3(2 ) + 3(2 + ). ①由{
2 > 0
，得
2 + > 0
2 < < 2，∴ ( )的定义域为( 2,2).∵ ( ) = 3(2 + ) + 3(2 ) = ( )，
∴ ( )是偶函数；② ( ) = 3(2 ) + 3(2 + ) = 3(4
2)，∵函数 = 3 单
调递增，函数 = 4 2在( 2,0)上单调递增，故 ( )的单调递增区间为( 2,0).
2 2 π
21、解：（1）依题意，A = 2, ω = = = 2，将 ( )的图象向左平移 个单位长度，
4
再向上平移 1 个单位长度得到的函数为 ( ) = 2 sin(2 + + )，而 ( )图象关于原点
2
π
中心对称，则有 + = , ∈ .而0 < < π， = ，∴ ( ) = sin( + ) 1 =
2 2
2 sin (2 + ) 1 = 2 cos 2 1.
2
（2） ( ) = ( ) λsin = 2 cos 2 1 λsin = 1 4 2 λsin ,当λ = 0时，
( ) = 1 4 2 ,则 ( )在(0, )内的零点个数为偶数个，∵ ( )在(0, )内恰好有
1
2021 个零点，为奇数个零点，∴λ ≠ 0，由sin ≠ 0 , ( ) = 0可得λ = 4 sin ，
sin
1
设 ( ) = 4 , ( )在[ 1,0)和(0,1]上递减， ( 1) = 3, (1) = 3∵ = sin ∈ [ 1,1]，
1 1 1
①若λ = 3，由 4 sin = 3,得sin = 1或sin = ,则由3 × ( ) + 2 = 2021（
sin 4 2
n
为奇数），解得 = 1347，或3 × = 2021（ 为偶数），解得 不是整数，舍去；
2
1 1 1
②若λ = 3，由 4 sin = 3,得sin = 1或sin = ,则由3 × ( ) + 1 = 2021
sin 4 2
n
（ 为奇数），或3 × = 2021，解得 不是整数，舍去；
2
③若 3 < λ < 3，且λ ≠ 0， ( )在(0, )内的零点个数为偶数；
④若λ > 3或λ < 3， ( )在(0, )内的零点个数为偶数.
综上λ = 3, = 1347.
22、解：（1）经过1秒后A运动的角度为1，B运动的角度为 1，∴∠BOA = + 2.
3
5
（2）设A，B第一次相遇时所用的时间是 ，则2 + = 2 .∴ = （秒），即第一次相
3 6
5
遇的时间为 （秒）.
6
3 √3
（3）由题意可得， = |sin( + ) sin( )| = | sin + cos | = √3 |sin( + )|.
3 2 2 6
