抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（3）
数学试题 答案解析
1、已知直线l1与直线l2：3x﹣y+10＝0垂直，则直线l1的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
D直线l2的斜率k2＝，则直线l1的斜率为k1＝﹣，故直线l1的倾斜角为150°，
2、若a，b，c成等比数列且公比为q，那么（ ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为q
C解：∵a，b，c成等比数列且公比为q，∴＝＝q，∴＝＝，＝＝，
故一定是等比数列，且公比为，
3、若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0内切，则实数m＝（ ）
A．﹣9 B．7 C．﹣9或7 D．9
A．圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0，即（x﹣4）2+y2＝16﹣m，∵圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0内切，∴，解得m＝﹣9．
4、设双曲线的实轴长与焦距分别为2，4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．y＝±3x
C解：因为2a＝2，2c＝4，所以，所以C的渐近线方程为．
5、已知点A（﹣4，0）到双曲线渐近线的距离为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
A．解：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，bx﹣ay＝0，
所以A（﹣4，0）到渐近线的距离d＝＝，所以20b＝12，
平方整理得16b2＝9a2，又因为c2＝a2+b2，所以c2＝，即c＝，e＝＝，
6、已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2的内切圆半径为（ ）
A． B． C．1 D．
B解：由椭圆，得a＝2，b＝，c＝1，当△PF1F2的面积最大时，P为椭圆C的短轴的一个顶点，不妨设为上顶点，点O为坐标原点，△PF1F2内切圆半径为r，
则|PF1|＝|PF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，|OP|＝b＝，
则S＝（|PF1|+|PF2|+|F1F2|） r＝|F1F2| |OP|，解得r＝．
7、在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
A．解：P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，E是棱AB中点，
所以＝，＝﹣，
所以＝ （﹣）＝+﹣﹣＝﹣＝1﹣2＝﹣1，
8、1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则这个新数列各项之和为（ ）
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
C【解答】解：由题意可知数列{an﹣2}既是3的倍数，又是5的倍数，
∴an﹣2＝15（n﹣1），∴an＝15n﹣13，当n＝34时，a34＝15×34﹣13＝497＜500，
当n＝35时，a35＝15×35﹣13＝512＞500，∴n＝1，2，3，……，34，数列{an}共有34项，
∴这个新数列各项之和为＝8483，
9、在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则异面直线AC与DC1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
D．连接AB1，由平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，得AB1∥DC1，
则∠B1AC为异面直线AC与DC1所成角，∵ABCD为正方形，且边长为1，则AC＝，
在平行四边形AA1B1B中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝120°，
∴＝，
平行四边形BB1C1C中，BC＝1，BB1＝2，∠B1BC＝60°，
则．
在△B1AC中，cos∠B1AC＝．
10、已知Sn和Tn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，且满足Sn＝1﹣，bn＝﹣4n+5，若对 n∈N*，使得5Tn﹣3Sn≤a（a+2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣4或a≥2 B．a≤﹣1或a≥3 C．a≤﹣2或a≥4 D．a≤﹣3或a≥1
D解：Sn＝1﹣，∴n≥2时，2Sn＝2﹣（Sn﹣Sn﹣1），化为：Sn﹣1＝（Sn﹣1﹣1），
n＝1时，a1＝1﹣a1，解得a1＝．∴a1﹣1＝﹣，
∴数列{Sn﹣1}是等比数列，首项为﹣，公比为，∴Sn﹣1＝﹣×＝﹣，
化为：3Sn＝3﹣，由bn＝﹣4n+5，∴Tn＝＝3n﹣2n2，∴5Tn＝15n﹣10n2，
f（n）＝5Tn﹣3Sn＝15n﹣10n2﹣[3﹣]＝﹣10++]≤f（1）＝3，
若对 n∈N*，使得5Tn﹣3Sn≤a（a+2）成立，∴a（a+2）≥3，化为（a+3）（a﹣1）≥0，
解得a≥1，或a≤﹣3．
11、已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，D为y轴上一点，△DF1F2为正三角形，若DF1，DF2的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
A．解：不妨设点D在y轴的正半轴上，并设D（0，m）（m＞0），
因为三角形DF1F2为正三角形，且|F1F2|＝2c，所以m＝c，则D（0，c），设M是DF2的中点，则点M的坐标为：（），代入椭圆方程可得：，又a2＝b2+c2，化简可得：c4﹣8a2c2+4a4＝0，即e4﹣8e2+4＝0，解得e或4+2（舍去），
12、设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
B解：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且 ＝＝，即 ＝可得e＝＝．
13、若平面α的一个法向量为＝（2，﹣6，s），
平面β的一个法向量为＝（1，t，2），且α∥β，则s﹣t＝ 7 ．
7．解：∵平面α的一个法向量为＝（2，﹣6，s），平面β的一个法向量为＝（1，t，2），且α∥β，∴，∴，解得t＝﹣3，s＝4，∴s﹣t＝7．
14、设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|＝ ．
解：由抛物线C：y2＝4x的方程可得焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1，
由题意可得M（﹣1，0），设P（x，y），有抛物线的性质可得：|PF|＝5＝x+1，
解得x＝4，代入抛物线的方程可得y2＝4×4＝16，
所以|PM|＝＝＝，
15、已知点E（2，﹣2）和抛物线C：x2＝8y，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点．若∠PEQ＝90°，则k＝ ．
解：由抛物线的方程C：x2＝8y，则焦点F（0，2），显然直线PQ的斜率存在，由题意设直线PQ的方程为：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，
整理可得x2﹣8kx﹣16＝0，则x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，所以y1+y2＝k（x1+x2）+4＝8k2+4，y1y2＝＝4，因为∠PEQ＝90°，则 ＝0，
即（x1﹣2，y2+2） （x2﹣2，y2+2）＝0，
所以（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1+2）（y2+2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2+2（y1+y2）+4＝0，
代入可得：﹣16﹣16k+4+4+16k2+8+4＝0，4k2﹣4k+1＝0，解得k＝，
16、一张B4纸的厚度为0.09mm，将其对折后厚度变为0.18mm，第2次对折后厚度变为0.36mm，…．设a1＝0.18，第（n≥2）次对折后厚度变为anmm，则a6＝ ；记，则数列{bn}的前n项和Tn＝ ．
5.76，解：因为每对折一次，纸张的厚度增加一倍，所以数列{an}是首项为0.18，公比为2的等比数列，an＝0.18×2n﹣1，
∴a6＝0.09×26＝5.76；＝＝＝，
所以Tn＝1﹣+＝1﹣＝．
17、已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
解：（Ⅰ）∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y；
（Ⅱ）依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣2kx﹣2＝0．则x1x2＝﹣2，∴．
k1k2为定值．
18、四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．
（1）证明：直线PF∥平面ACG；（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值．
解：（1）证明：连接EC，设EB与AC相交于点O如图，
因为BC∥AD，且，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，
O为EB的中点，又因为G为PB的中点，OG为△PBE的中位线，即OG∥PE，
因为OG 平面PEF，PE 平面PEF，所以OG∥平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF∥AC，因为AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF，OG 平面GAC，AC 平面GAC，AC∩OG＝O，
所以平面PEF∥平面GAC，PF 平面PEF，所以PF∥平面GAC．
（2）因为PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，
所以PA、AB、AD两两互相垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以，
设平面ACG的法向量为，则，所以，
令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，
设直线PD与平面ACG所成角为θ，则，
所以直线PD与平面ACG所成角的正弦值为．
19、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且椭圆C过点（﹣，）．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若 ＝0．求直线l的方程．
解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，得 ，椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），
，x1x2+y1y2＝0，因为y1＝kx1﹣2，y2＝kx2﹣2，
所以，所以（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＝0，①
联立方程，消去y得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
则，代入①，得，
即k2＝4，解得k＝2或k＝﹣2，所以直线l的方程是y＝2x﹣2或y＝﹣2x﹣2．
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20、已知数列{an}的前n项和为Sn，，记bn＝an+1．
（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
解：（1）证明：由，得，
当n≥2时，由，可得，
上述两式作差得，
整理得an＝3an﹣1+2，即an+1＝3（an﹣1+1），所以bn＝3bn﹣1（n≥2），
当n＝1时，，所以a1＝2，b1＝a1+1＝3，
所以{bn}是以b1＝3为首项，公比为3的等比数列，所以．
（2）由（1）可得，所以，
所以，
，
，
作差得，
，所以．
21、已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，且过点（4，）．
（1）求C的标准方程；（2）若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
解：（1）由题意可得，解得，所以C的标准方程为：＝1．
（2）易知F（3，0），A（﹣2，0），B（2，0）．
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my+3，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去x整理得（5m2﹣4）y2+30my+25＝0，
则，解得，
∴y1+y2＝，y1y2＝，
分别记直线AM，BN的斜率为k1，k2，则k1＝＝，k2＝＝，
∴＝＝，又my1y2＝＝﹣（y1+y2），
∴＝＝﹣，即为定值．
即直线AM与直线BN的斜率之比为定值．
22、已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为3，且过点P（2，1）．
（1）求椭圆E的方程；（2）O为坐标原点，点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，求△OAB面积的最大值．
解：（1）由已知可得，解得，故椭圆E的方程为：．
（2）直线AB的斜率一定存在，设AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，即6k2﹣m2+3＞0，
x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵∠APQ＝∠BPQ，∴kPB+kPA＝0，
∴+＝0，∴（x2﹣2）（y1﹣1）+（x1﹣2）（y2﹣1）＝0，
∴（x2﹣2）（kx1+m﹣1）+（x1﹣2）（kx2+m﹣1）＝0，
∴2kx1x2+（m﹣2k﹣1）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，
∴﹣﹣4（m﹣1）＝0，
化简可得2k2﹣3k+1+km﹣m＝0，（k﹣1）（2k+m﹣1）＝0，∴k＝1或m＝1﹣2k（舍），
因为A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
所以﹣3＜m＜﹣1，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，
AB|＝|x1﹣x2|＝ ＝．O到AB的距离为d＝．
∴△OAB的面积S＝|AB×d＝
＝＝．
当且仅当m2＝9﹣m2，即m＝﹣时取等号，∴△OAB面积的最大值为．抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（3）
数学试题
单选题
1、已知直线l1与直线l2：3x﹣y+10＝0垂直，则直线l1的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2、若a，b，c成等比数列且公比为q，那么（ ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为q
3、若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0内切，则实数m＝（ ）
A．﹣9 B．7 C．﹣9或7 D．9
4、双曲线的实轴长与焦距分别为2，4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．y＝±3x
5、点A（﹣4，0）到双曲线渐近线的距离为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6、已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2的内切圆半径为（ ）
A． B． C．1 D．
7、1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则这个新数列各项之和为（ ）
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
8、在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则异面直线AC与DC1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9、在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
10、已知Sn和Tn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，且满足Sn＝1﹣，bn＝﹣4n+5，若对 n∈N*，使得5Tn﹣3Sn≤a（a+2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣4或a≥2 B．a≤﹣1或a≥3 C．a≤﹣2或a≥4 D．a≤﹣3或a≥1
11、已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，D为y轴上一点，△DF1F2为正三角形，若DF1，DF2的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12、设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
13、若平面α的一个法向量为＝（2，﹣6，s），平面β的一个法向量为＝（1，t，2），且α∥β，
则s﹣t＝ ．
14、设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|＝ ．
15、已知点E（2，﹣2）和抛物线C：x2＝8y，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点．若∠PEQ＝90°，则k＝ ．
16、一张B4纸的厚度为0.09mm，将其对折后厚度变为0.18mm，第2次对折后厚度变为0.36mm，…．设a1＝0.18，第（n≥2）次对折后厚度变为anmm，则a6＝ ；记，则数列{bn}的前n项和Tn＝ ．
三、解答题
17、已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
18、四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．
（1）证明：直线PF∥平面ACG；（2）求直线PD与平面ACG所成角的正弦值．
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），
且椭圆C过点（﹣，）．
求椭圆C的标准方程；
（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若 ＝0．求直线l的方程．
20、已知数列{an}的前n项和为Sn，，记bn＝an+1．
（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
21、已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，且过点（4，）．
（1）求C的标准方程；（2）若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，
22、已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为3，且过点P（2，1）．
（1）求椭圆E的方程；（2）O为坐标原点，点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，求△OAB面积的最大值．
