吉林省抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（2）数学试题（Word版含答案）

抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（2）
数学试题
一、单选题
1、直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2、两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ 　）
A. B. C. D.
3、若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则
A. B. C. D.
4、双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5、方程 表示双曲线， 则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
6、已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7、已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A. B. C. D.
8、已知等差数列中，其前项为，有最小值，若，则使成立的的最大值为　　
A．17 B．16 C．15 D．14
9、在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
10、设、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则点到原点的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
11、已知圆：和圆：则（ ）
A. 两圆相切 B. 公共弦长为 C. 两圆相离 D. 公切线长
12、圆，直线，下列叙述错误的为（ ）
A 直线l恒过定点 B. 直线l被圆所截得的弦最长时，
C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线l可能与圆C相离
二、填空题：
13、已知直线与，若，则实数a的值为______．
14、若双曲线（）的一条渐近线方程为，
则______，该双曲线的焦距是______．
15、已知圆心C在直线上，且该圆经过和两点，则圆C的标准方程为_______.
16、设，，则的最小值为______；
已知x、y满足，若，
则d的最小值______．
解答题
17、已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
18、（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程.
19、设数列的前项和满足()．
（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列前n项和．
20、如图，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别为和的中点，且
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值的大小.
21、已知坐标平面上点与两个定点、的距离之比等于.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点且斜率为的直线被所截得的线段的长为，求.
22、已知圆，点，C为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；（2）若直线不与坐标轴重合与曲线E交于两点，O为坐标原点，设直线的斜率分别为，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得，若存在求实数λ的值，若不存在说明理由.
高二数学开学综合检测卷2答案解析
一、单选题
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】直线的斜率为，故其倾斜角满足，
而，故，
2. 两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ 　）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
3. 若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】圆C的圆心为（0，0），半径r=2，
∴圆心C到直线l的距离d=，
∵圆C上的点到直线l的最小距离为2，
∴圆心到直线l的距离d=2+r=4．
∴=4，∴a=±4．
故选D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．
4. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，
所以
所以双曲线的焦点坐标为
5. 方程 表示双曲线， 则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程的特征转化为求解即可.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
即，
解得：.
故选：A
6. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．
7. 已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
故，故，
故数列的前100项和为，
8、已知等差数列中，其前项为，有最小值，若，则使成立的的最大值为　　
A．17 B．16 C．15 D．14
【解答】解：因为，所以，即，
又有最小值，所以，，
所以，，
因此，使成立的的最大值为15．
故选：．
9. 在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案.
【详解】因为，，
所以
，
所以.
故选：D.
10. 设、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则点到原点的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【详解】解：由椭圆的方程可得：，，所以，，
则，且，所以，
所以，
所以三角形是以为直角顶点的直角三角形，
又是斜边的中线，所以，
11、已知圆：和圆：则（ ）
A. 两圆相切 B. 公共弦长为 C. 两圆相离 D. 公切线长
【答案】B
【解析】
【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.
【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为
圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为
所以两圆心的距离：，
两圆相交，选项A，选项C错误；
设两圆公共弦长为L，则有：
，选项B正确，选项D错误.
12. 已知圆，直线，下列叙述错误的为（ ）
A 直线l恒过定点
B. 直线l被圆所截得的弦最长时，
C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为
D. 直线l可能与圆C相离
【答案】D
【详解】选项A，直线，可化为，当时，即时，直线l过定点，故该选项正确；
选项B，直线l被圆所截得的弦最长的是直径，即直线l经过圆心，把圆心坐标代入方程，即可求解，，故该选项正确；
选项C，直线l被圆所截得的弦中最短弦是，过定点垂直于圆心与定点连线的直线交圆所得的弦，故点到直线的距离即为圆心与的距离，即，弦长为，故该选项正确；
选项D，有选项A可知，直线l过定点，而圆，该定点在圆内，故无论m取何值，直线与圆一定相交，故该选项错误.
二、填空题：
13. 已知直线与，若，则实数a的值为______．
【答案】
【详解】因为直线与，且，
所以，解得，
故答案：
14. 若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______，该双曲线的焦距是______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）渐近线方程为，解方程即得解；
（2）求出即得解.
【详解】解：由（）可得渐近线方程为．
又因为双曲线（）的一条渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以，
所以双曲线的焦距．
故答案为：4；.
15. 已知圆心C在直线上，且该圆经过和两点，则圆C的标准方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设出圆的标准方程，利用圆心C在直线上，且该圆经过和两点，列方程组求解即可.
【详解】设圆C的标准方程为，
因为心C在直线上，且该圆经过和两点，
所以，
解得，
所以圆C的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
16. 设，，则的最小值为______；已知x、y满足，若，则d的最小值______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解的最小值；将已知转化为，可看作点和到直线上的点的距离之和，求出点关于直线的对称点的坐标，则的最小值为，计算可得结论．
【详解】解：因为，，
则，
即的最小值为；
，
可看作点和到直线上的点的距离之和，
关于直线的对称点设为，，
则，解得，，
所以的坐标为，
则的最小值为．
故答案为：；．
解答题
17、已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）；（2）2．
【解析】
【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由，解得：．
故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（2）设M；N，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，
可得，
∴，
∴，
由，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
18、（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程.
【答案】（1）或.；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别讨论焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，根据题中条件，分别求解，即可得出结果；
（2）根据题中条件，设双曲线标准方程为，点在双曲线上， 直接代入，求出，即可得出结果.
【详解】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，
由长轴长知：，；由焦距知：，
，解得：；
椭圆标准方程为：；
若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，
同焦点在轴上，可得，，
所以椭圆方程为；
综上，所求椭圆方程或.
（2）所求双曲线与双曲线=1有共同的渐近线，
可设双曲线标准方程为，
又过点，所以，解得，
所以即为所求.
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型.
19、设数列的前项和满足()．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前n项和．
【答案】（1） 3n－2；（2）．
【详解】
（1）当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝．
当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，
两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，
即6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1．
∴数列{an}是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝×3n－1＝3n－2．
（2）∵bn＝＝，
∴{bn}是首项为3，公比为的等比数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝．
20、如图，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别为和的中点，且
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值的大小.
如图所示，连接，由是边长为2的正方形，
因为是的中点，可得为的中点，
在中，因为，分别是，的中点，可得，
又因为，所以，
又由，且，所以平面.
连接，则，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，
平面的法向量为，
所以，
因为二面角为钝二面角，
所以二面角余弦值为.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质 韦达定理 弦长公式，属于中档题.
21、已知坐标平面上点与两个定点、的距离之比等于.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点且斜率为的直线被所截得的线段的长为，求.
【答案】（1）轨迹方程为，点的轨迹是以点为圆心，以为半径长的圆；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据列等式化简可得出点的轨迹方程，结合曲线方程可得出轨迹曲线的形状；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】（1）由已知可得，则，
化简得，因此，点的轨迹是以点为圆心，以为半径长的圆；
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
直线的方程为，即，
所以，，整理可得，解得.
22、已知圆，点，C为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线不与坐标轴重合与曲线E交于两点，O为坐标原点，设直线的斜率分别为，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得，若存在求实数λ的值，若不存在说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义得轨迹是椭圆，从而易得其方程；
（2）设，，直线方程代入椭圆方程，保证直线与椭圆相交，应用韦达定理得，代入，由恒等式知得的值．
【小问1详解】
由， 可得，
则点P的轨迹是以为焦点的椭圆， 则， ，
所以曲线E的方程为
【小问2详解】
设，，
则，消y可得，
，，
整理得 对任意k恒成立，
所以存在实数满足题意．