2021—2022学年苏科版数学八年级下册9.5三角形的中位线课后补充习题分层练（Word版含答案）

9.5三角形的中位线-课后补充习题分层练
-2021-2022学年八年级数学下册 (苏科版)
【A夯实基础】
A1、一个三角形有　　　条中位线.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC的中点,则DE是△ABC的中位线,可得DE与AB的位置关系为　　　　　,数量关系为　　　　　.
A2、（2021定陶区期末）如图，、分别是的边、的中点，若，则的值为
A．9 B．8 C．6 D．4
A3、△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5 B．9 C．10 D．12
A4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
A5、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝　 　．
A6、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
A7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D，E分别为AC，AB的中点，连结DE，
则△ADE的面积是___．
A8、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．
A9、（2021春 崇川区校级月考）如图，、、分别是三边中点，于．
求证：（1）；
（2）．
A10、（2020春 南岗区校级月考）已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
【B培优综合】
B11、如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
B12、（2021春 浦东新区期末）如图已知，是的边的中点，平分，于点，连接，如果，．，那么的周长是　 　．
B13、如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为　 　．
B14、如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（　　）
A．13 B．9 C．5 D．4
B15、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
B16、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，证明：∠BME＝∠CNE.
　　　
【C拔尖拓展】
C17、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
C18、阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
问题解决：（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件　 　时，这个中点四边形EFGH是正方形．
拓展延伸：（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
9.5三角形的中位线-课后补充习题分层练
-2021-2022学年八年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、一个三角形有　　　条中位线.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC的中点,则DE是△ABC的中位线,可得DE与AB的位置关系为　　　　　,数量关系为　　　　　.
【答案】3　DE∥AB　DE=AB
A2、（2021定陶区期末）如图，、分别是的边、的中点，若，则的值为
A．9 B．8 C．6 D．4
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】、分别是的边、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
A3、△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5 B．9 C．10 D．12
解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．
A4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）故选：B．
A5、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝　 　．
解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6，∴DF＝AC＝×6＝3，
∵EF＝1，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，故答案为：8．
A6、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解析】 由题意，得∠AED＝180°－∠A－∠ADE＝70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝70°.故选C.
A7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D，E分别为AC，AB的中点，连结DE，
则△ADE的面积是___．
【解析】 ∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AD＝AC＝4，DE＝BC＝3，DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴△ADE的面积＝AD·DE＝6.
A8、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
A9、（2021春 崇川区校级月考）如图，、、分别是三边中点，于．
求证：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质证明结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，等量代换证明结论．
【解答】证明：（1）、分别是、边中点，
是的中位线，，，；
（2）于，是的中点，
，．
A10、（2020春 南岗区校级月考）已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EHGF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．
【解析】证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
【B培优综合】
B11、如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为5，故答案为：5．
B12、（2021春 浦东新区期末）如图已知，是的边的中点，平分，于点，连接，如果，．，那么的周长是　 　．
【分析】延长交于，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】延长交于，
在和中，，，，，
，，，
的周长，
故答案为：41．
B13、如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为　 　．
解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，
∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．
B14、如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（　　）
A．13 B．9 C．5 D．4
解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，
∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，
∵四边形DEFG的周长为28，
∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，
∴AB＝13，
∵AP⊥BP，BP＝12，
∴AP＝＝＝5，
故选：C．
B15、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG=BD，FH=CE，∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
B16、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，证明：∠BME＝∠CNE.
　　　
证明：连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴FH∥BM，FH＝AB，EH∥CN，EH＝CD，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，
∵AB＝CD，∴FH＝EH，
∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.
【C拔尖拓展】
C17、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，∴BE＝DE，
∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，∴E为BP的中点，∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）
C18、阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
问题解决：（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件　 　时，这个中点四边形EFGH是正方形．
拓展延伸：（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明；
（2）根据正方形的判定定理解答；
（3）连接AC与BD，证明△AMC≌△DMB，得到AC＝DB，根据菱形的判定定理证明．
【解析】（1）四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC、BD，
∵E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，GH=AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
∵EF=AC，EH=BD，AC＝BD，∴EH＝EF，∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD；
（3）四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC与BD，
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
∴△AMC≌△DMB，∴AC＝DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，HE=DB，∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．