2021—2022学年苏科版数学八年级下册第9章中心对称图形—平行四边形单元综合练习题（基础）（Word版含答案）

第9章 中心对称图形—平行四边形 单元综合练习题（基础）
2021-2022学年苏科版七年级数学下册
一、选择题
1、随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
　 A． ① B． ② C． ③ D． ④
3、矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
4、 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（　　）
　 A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，
则∠1=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
6、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7、如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（　　）
　 A． 20° B． 25° C． 30° D． 35°
8、（2022·河南桐柏·九年级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
9、（2021·江苏吴中·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10、（2021春 海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
二、填空题
11、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是　　．
(11题) （12题） （13题）
12、如图， ABCD的对角线相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，则△AOD的周长为　　cm．
13、如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，
则S为______．
14、菱形的边长为5，一条对角线长为8，则其面积为　 　．
15、在矩形ABCD中，点E在CD上，且BE平分∠AEC，若∠DAE=30°，BE=2，则AD=（　　）
A． B．2 C．1 D．
（15题） （17题） （18题）
16、一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是_______．
17、如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于　 　．
18、如图，正方形ABCD的面积为36cm2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
三、解答题
19、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
20、如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC ，DF∥BE ，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
21、如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
22、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
23、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，
试证明四边形AEMF是菱形．
24、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
25、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB=5，BE=8，BC=，则菱形ABFE的面积为　　，平行四边形ABCD的面积　　．
26、正方形中，点E是上一点，过点E作交射线于点F，连结．
（1）若，求度数；
（2）求证：
27、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）
第9章 中心对称图形—平行四边形 单元综合练习题（基础）
2021-2022学年苏科版七年级数学下册（解析）
一、选择题
1、随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选A．
2、一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
　 A． ① B． ② C． ③ D． ④
考点： 平行四边形的判定．
分析： 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
一组对边平行，一组对角相等可推出两组对角分别相等，可判定为平行四边形一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分，可利用全等得出这组对边也相等，可判定为平行四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，所在的三角形不能得出一定全等，所以能判定为平行四边形．
解答： 解：根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②、④，而③无法判定．
故选：C．
3、矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
4、 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（　　）
　 A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
分析： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，即可求出△ABO的周长．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC=4，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，
∴△ABO的周长=OA+OB+AB=12；
故选：A．
5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，
则∠1=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解析】
分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=180°-∠B=100°．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAD=50°．
∴∠AEB=∠DAE=50°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=50°．
故选B．
6、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE//BC，EF//AB，根据平行线的性质求出∠CFE的度数即可.
【解析】
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∵∠ADE=65°，
∴∠CFE=∠ADE=65°，
故选B.
7、如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（　　）
　 A． 20° B． 25° C． 30° D． 35°
考点： 菱形的性质．
分析： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．
依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．
故选C．
8、（2022·河南桐柏·九年级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC=10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长是（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】D
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12，
故选：D．
9、（2021·江苏吴中·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键．
根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
在矩形纸片中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
即 ．
故选：B
10、（2021春 海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线，求解ED的长是解题的关键．
由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．
【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
二、填空题
11、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是　　．
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°， ∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，
故答案是：30°．
12、如图， ABCD的对角线相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，则△AOD的周长为　　cm．
分析： 计算题．本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键．
首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=7，BD=10，AC=6，
∴AD=7，OA=3，OD=5，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=15．
故答案为：15cm．
13、如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，
则S为______．
【答案】48
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【解析】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，
得方程组：，解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
14、菱形的边长为5，一条对角线长为8，则其面积为　 　．
【考点】菱形的性质．
【分析】本题考查菱形的性质，属于基础题，关键是掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直平分，以及菱形面积等于对角线乘积的一半等知识点．
菱形的对角线互相垂直平分，四边相等，可求出另一条对角线的长，菱形的面积等于对角线乘积的一半．
【解答】解：：∵菱形的边长为5，一条对角线长为8，
∴另一条对角线的长为：2=6，
面积为6×8=24，
故答案为：24．
15、在矩形ABCD中，点E在CD上，且BE平分∠AEC，若∠DAE=30°，BE=2，则AD=（　　）
A． B．2 C．1 D．
【分析】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由矩形的性质得出AD=BC，∠D=∠C=90°，求出∠AEC，得出∠CBE，求出CE，由勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵∠DE=30°，∴∠AED=90°﹣30°=60°，
∴∠AEC=180°﹣60°=120°，
∵BE平分∠AEC，∴∠BEC=∠AEC=60°，
∴∠CBE=90°﹣60°=30°，∴CE=BE=1，
∴AD=BC===；
故选：A．
16、一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是_______．
分析：中点四边形．本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
根据顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
解答： 解：∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，
EH=FG=BD，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，
∴矩形EFGH的面积=EH×EF=3×4=12cm2，
故答案为：12cm2．
17、如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于　 　．
分析： 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，运用勾股定理求出OC是解决问题的关键．
先根据勾股定理求出OC，再由矩形的对角线相等即可得出结果．
解答： 解：连接OC，如图所示：
根据勾股定理得：OC==，
∵四边形OBCD是矩形，
∴BD=OC=；
故答案为：．
18、如图，正方形ABCD的面积为36cm2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
分析：本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的对称性，熟记性质以及最短路线的确定方法确定出PD+PE的和的最小值=BE是解题的关键．
根据正方形的面积求出边长，根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，然后根据PD+PE=BE计算即可得解．
解答： 解：∵正方形ABCD的面积为36cm2，
∴边长AB=6cm，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6cm，
由正方形的对称性，点B、D关于AC对称，
∴BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，
∴PD+PE的和的最小值=BE=6cm．
故答案为：6cm．
三、解答题
19、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【解析】
（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20、如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC ，DF∥BE ，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）
∵AD∥BC
∴∠DAF=∠BCF
∵DF∥BE
∴∠DFA=∠BEC
∵AE=CF
∴△AFD≌△CEB…………………………（5分）
（2）∵△AFD≌△CEB
∴AD=CB
∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形。…………………………（10分）
21、如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AD=BC． …………（1分）
∵BE＝DF， ∴AF=CE． ……………（2分）
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形． ……（3分）
（2）解：在菱形AECF中，AE=CE
∴∠EAC=∠ECA
∵∠EAC+∠EAB=∠ECA+∠B=90°，∴∠EAB=∠B ……（4分）
∴AE=BE， ∴E为BC中点 …………………（5分）
∴BE=BC=5． ……………（6分）
22、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和
菱形的判定方法是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然
后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，
然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD， ∴∠ODE=∠FCE， ∵E是CD中点， ∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
， ∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE， ∴OD=FC，∵CF∥BD， ∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形ODFC是菱形．
23、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，
试证明四边形AEMF是菱形．
分析： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，（1）熟记正方形的性质并确定出全等三角形是解题的关键，（2）熟练掌握等腰三角形三线合一的性质以及菱形的判定方法是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；
（2）求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF；
（2）解：∵BC=CD，BE=DF，∴BC﹣BE=CD﹣CF，即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，∴AC垂直平分EF，∴EM=FM，
∵OM=OA，∴EF垂直平分AM，∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，∴四边形AEMF是菱形．
24、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
分析： 此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和和性质以及直角三角形的性质和平行线的性质，解答第一小题的关键是利用直角三角形的性质得出HF=AC是解决问题的关键．
（1）DE=FH，根据D、F是各边的中点，利用三角形中位线定理可得到DE=AC，再根据直角三角形的性质得出FH=AC，进而得到DE=FH．
（2）利用已知条件先证明∠DHF=∠DAF，再证明∠DEF=∠DAF，进而可证明：∠DHF=∠DEF．
解答： 解：（1）DE与FH相等．理由如下：
∵D、E分别是AB、BC边的中点．∴ED∥AC，DE=AC，
∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点，
HF=AC，∴DE=FH．
（2）∵DH=AB，AD=AB，∴AD=DH，∴∠DAH=∠DHA，
同理可证：∠FAH=∠FHA，
∴∠DHF=∠DAF，
∵AD∥EF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，∴∠DHF=∠DEF．
25、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB=5，BE=8，BC=，则菱形ABFE的面积为　　，平行四边形ABCD的面积　　．
考点： 菱形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： 本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．
（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）过A作AM⊥BE于M，AN⊥BC于N，求出MB，根据勾股定理求出AM，求出△ABE的面积，即可得出菱形ABFE的面积，求出高AN，即可得出平行四边形的面积．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：
过A作AM⊥BE于M，AN⊥BC于N，
∵AB=AE，∴BM=ME=BE=×8=4，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AM===3，
∴S△ABE==×8×3=12，
∵四边形ABFE是菱形，
∴AE=BF，AE∥BF，
∴S△ABE=S△BFE=12，
∴菱形ABFE的面积为2×12=24，
∵四边形ABFE是菱形，∴AB=BF=5，∴5×AN=24，∴AN=，
∵BC=，∴平行四边形ABCD的面积是BC×AN=×=36，
故答案为：24，36．
26、正方形中，点E是上一点，过点E作交射线于点F，连结．
（1）若，求度数；
（2）求证：
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，等腰三角形的判定，运用正方形的性质，证明三角形的全等是解题的关键.
（1）用正方形对角线平分对角，等腰三角形性质计算即可；
（2）借助正方形的性质，证明三角形全等，运用等角对等边证明即可.
【详解】
（1）∵为正方形，∴．
又∵，∴．
∴
（2）证明：∵正方形关于对称，∴，
∴．
又∵，∴，
∴，∴．
27、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】几何综合题．此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1．
（3）证明方法同（2），易得AB=DD1﹣EE1．
【解答】（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形， ∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°， ∴∠ADD1=∠CAB，
在△ADD1和△CAB中，
， ∴△ADD1≌△CAB（AAS）， ∴DD1=AB；
（2）解：AB=DD1+EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°， ∵四边形CADF是正方形， ∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°， ∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
， ∴△ADD1≌△CAH（AAS）， ∴DD1=AH；
同理：EE1=BH， ∴AB=AH+BH=DD1+EE1；
（3）解：AB=DD1﹣EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°， ∵四边形CADF是正方形， ∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°， ∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
， ∴△ADD1≌△CAH（AAS）， ∴DD1=AH；
同理：EE1=BH， ∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1．