2021-2022学年苏科版数学八年级下册9.4.1矩形课后补充习题分层练（Word版含答案）

9.4.1矩形-课后补充习题分层练
-2021-2022学年八年级数学下册 (苏科版)
【A夯实基础】
A1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC
A2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
A3、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
A4、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
A5、如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.
A6、如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.
A7、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，
那么∠BAE的度数是（　　）
A．40° B．55° C．75° D．80°
A8、如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
A9、（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连结AE，CF．
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)当∠OAF＝∠OFA时，求证：四边形AECF是矩形．
A10、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形 说明理由.
【B培优综合】
B11、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，
若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．
B12、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，求线段MN的最小值．
B13、如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
B14、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
B15、如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：△AEO≌△BDO；
（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并证明你的结论．
B16、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【C拔尖拓展】
C17、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=____．
C18、如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
C19、（2020春 滨江区期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
9.4.1矩形-课后补充习题分层练
-2021-2022学年八年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC
【答案】C
【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．
所以选项A，B，D正确，C错误.
故选C.
A2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】AC=BD．答案不唯一
【解析】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．
A3、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
【答案】①⑤
【解析】解：要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；
故答案为：①⑤．
A4、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】试题分析：根据矩形的对角线的性质知OA=OC=OD=OB，根据∠AOB=60°，可知OA=2，因此BD=4，根据勾股定理可求AD==2.
故选C
A5、如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.
在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，
∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.
A6、如图，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BE＝BD.
A7、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，
那么∠BAE的度数是（　　）
A．40° B．55° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，
∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°，
又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．
∴∠BAE=90°-15°=75°，
故选C．
A8、如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
证明　(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABF与△DEC中, ∴△ABF≌△DEC(SAS).
(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,
∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
A9、（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连结AE，CF．
(1)求证：△AOF≌△COE；
(2)当∠OAF＝∠OFA时，求证：四边形AECF是矩形．
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．
（1）根据四边形为平行四边形形，可得，所以，，再根据是对角线的中点，可得，进而证明；
（2）根据矩形的判定可得出答案．
(1)
解：证明：四边形为平行四边形，
，，，
是对角线的中点，，
在和中，，；
(2)
解：证明：，，
，，，
四边形为平行四边形，，四边形为矩形．
A10、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
(1)试猜想AE与BF有何关系,说明理由;
(2)当∠ACB为多少度时,四边形ABFE为矩形 说明理由.
解:　(1)AE∥BF,AE=BF.
理由:∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC,
∴△ABC≌△FEC,∴AB=FE,∠ABC=∠FEC,∴AB∥FE,
∴四边形ABFE为平行四边形,∴AE∥BF,AE=BF.
(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE为矩形.
理由:∵∠ACB=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=BC,
结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF,
∴AF=BE,∴四边形ABFE是矩形.
【B培优综合】
B11、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，
若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．
【答案】22.5
【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
B12、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，求线段MN的最小值．
解：连接AD.∵∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5.
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.
∴四边形AMDN是矩形．∴MN＝AD.
当AD⊥BC时，AD的值最小．
此时，△ABC的面积＝AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝. ∴线段MN的最小值为.
B13、如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG.
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC(AAS)，∴AF＝CD，∴AB＝AF.
(2)四边形ACDF是矩形．证明如下：
∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠FAG＝60°.
∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF.
∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.∵AG＝GD，∴AD＝CF，
∴平行四边形ACDF是矩形．
B14、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形ABCD是矩形．理由见解析.
【解析】试题分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
试题解析：（1）∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，∴OA=OC，
∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
∵OD=AC，∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
B15、如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：△AEO≌△BDO；
（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并证明你的结论．
（1）证明：∵E是AC的中点，∴EC＝AC，
∵DB＝AC，∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，∴∠DBO＝∠EAO，∠BDO＝∠AEO，
在△AEO与△BDO中，，∴△AEO≌△BDO；
（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．
理由如下：∵E是AC的中点，∴AE＝AC，
∵DB＝AC，∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠AEB＝90°，
∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．
B16、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）5；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见解析.
试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，∴EF==10，∴OC=EF=5；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
【C拔尖拓展】
C17、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=____．
【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠AEB=180° 90° 45°=45°，
∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB ∠EAC=45° 15°=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，
∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，
∵∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，
∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，
∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB ∠AEB=30°，
故答案为：30.
C18、如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
【答案】
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
在△ABM和△DEA中,
∴AM=AD，
∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在和中,
∴EM=CM，∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在中,由勾股定理得： 解得：x=，∴BM=；
故答案为：.
C19、（2020春 滨江区期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
【分析】（1）连接MN，由勾股定理求出AC＝5，证出四边形ABNM是矩形，得MN＝AB＝3，证△AME≌△CNF（SAS），得出EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，证EM∥FN，得四边形EMFN是平行四边形，求出MN＝EF，即可得出结论；
（2）连接MN，作MH⊥BC于H，则MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，得HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，由矩形的性质得出MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2，
∵0＜x＜2，∴x＝2-．