高二重点班开学考数学试卷（教师）

数学试卷答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
已知复数，则复数的虚部为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了复数的除法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
先利用复数的除法运算求出复数，然后由虚部的定义求解即可．
【解答】
解：复数，
故复数的虚部为．
故选：．

设集合，，则“是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出集合的元素是解决本题的关键，属于基础题．
分别求出集合，的元素，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：，，
可知，
即“”是“”充分不必要条件．
故答案为：．

已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，属于基础题．
先表示出准线方程，然后根据抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到的值．
【解答】
解：抛物线的准线方程为，
因为抛物线的准线与圆相切，
所以．
故选C．

以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查非线性经验回归方程的求解方法，属于基础题．
将给的两边同时取自然对数，然后与原函数对照，列出关于，的方程求解即可．
【解答】
解：对于，两边取自然对数得，
所以，解得，．
故选：．

若，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦，是基础题．
由已知利用诱导公式变形，然后展开两角和的正弦求解．
【解答】
解：由，
得
，
故选：．

已知函数满足，在上单调递减若，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】
解：因为函数满足，在上单调递减．
所以，，，
因为，
所以，
则．
故选：．

期待已久的年高考终于要来了，自信的小强在十张完全相同的卡片上写下了“高考考完了，生活开挂了”这句话中的个汉字，每张卡片上写一个字，写完了，他把十张卡片往天花板上一扔，结果卡片掉下来居然从左至右摆成了一排，他思考了一下，发现卡片从左至右可以摆出种不同的结果，则展开式中各项系数之和为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了展开式中各项系数之和，排列组合问题，关键是求出指数，属于中档题．
利用排列组合求出指数，再利用赋值法求出展开式中各项系数之和．
【解答】
解：高考考完了，生活开挂了这句话中，有两个考字，两个了字，
，
令，，
则展开式中各项系数之和为，
故选：．

已知奇函数的定义域为且是的导函数若对任意都有则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查导数的应用，求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函数的不等式解之，属于较难题．
构造函数，求导之后由题可知其在时单调递减，再由奇函数定义证得是的定义域在上的奇函数且单调递减，进而转化已知不等式，由函数的单调性解不等式即可．
【解答】
解：设，所以，
因为对任意都有
即其在时，，函数单调递减，
因为是定义在上的奇函数，
故，
所以是定义在上的奇函数且单调递减，
故不等式，即，
即，所以，即
故选D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是容易题．
由已知，作出两垂直的平面，然后逐一分析四种情况得答案．
【解答】
解：已知，
对于，如图，若，与平行时，，故A错误；
对于，如图，若，，与都平行于时，，故B错误；
对于，如图，若，则或，又，，故C正确；
对于，如图，若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：．

在下列区间中，函数一定存在零点的区间为
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是中档题．
首先利用导数研究函数的单调性，然后依据函数零点的判定逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
．
对于，，，，
在内一定存在零点，A正确；
对于，，，
又，，在内一定存在零点，故B正确；
对于，，，
，在内不存在零点，故C错误；
对于，，，，
则在内存在零点，故D正确．
故选：．

若函数的最小正周期为，其图象如图所示，则下列结论中正确的有
A. ，
B. 函数图象的对称轴方程是
C. 函数的减区间是
D. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质 ，属于基础题．直接利用三角函数的关系式的求法，正弦型函数的图象和性质的应用，函数的图象的平移变换的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：因为，所以．
因为直线左侧第一个最高点的横坐标是，
直线右侧第一个最低点的横坐标是，
所以对称轴方程是，减区间是，故B和C正确．
将代入检验可知符合题意，故A正确．
要得到函数的图象，应将函数的图象向右平移个单位长度，故D错误．
故选ABC

已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点为双曲线右支上位于第一象限的动点，，的斜率分别为，，则的取值可能为
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用以及运算能力，属于中档题．
由双曲线的渐近线方程可得，的方程，求得左焦点，可得，再由，，的关系解方程可得，，求得双曲线的方程，可得，，设，代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得，，，再由基本不等式即可得到的取值范围，即可得到所求值．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，
双曲线的左焦点在直线上，可得，即，
由，解得，，
双曲线的方程为，
由题意可得，，设，
可得，即有，
可得，，，
则，
由，为左右顶点，可得，
则，
故选：．

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
若点在直线：上运动，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：代数法，点在直线：上运动，
由，得，
当时取最小值，最小值为．
几何法，的值可以看作直线：上点到原点的距离的平方
它的最小值是原点到直线的距离的平方；
即；
故答案为：．
代数法，由点在直线上运动，得，代入求最小值即可；
几何法，把的值看作直线上的点到原点的距离的平方，最小值是原点到直线的距离的平方．
本题考查了求最值的问题，解题时应用转化思想，寻求合理的解题途径，是基础题．
有以下三个条件：定义域不是；值域为；奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数 ．
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
根据题意，由正切函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、定义域、值域的性质，注意常见函数的奇偶性、定义域、值域问题，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，要求函数是奇函数，但其定义域不是，值域为，
可以结合正切函数，答案不唯一；
故答案为：答案不唯一．

已知中，角，，对应的边分别为，，，且，，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理得，，
整理得，，
由余弦定理得，，
因为为三角形内角，所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
解得，即最大值．
故答案为：．
由样子结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，然后结合向量的线性表示及数量积的性质可得，的关系，再由基本不等式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量的线性表示及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
如图，在四棱锥的展开图中，四边形是矩形，是等边三角形，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的外接球半径为 ， ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
在四棱锥中，连接，交于点，设，四棱锥的外接球的球心为，由已知证明平面，可得平面平面，取的中点，连接，则平面，设的外接圆的圆心为，连接，，可得平面，平面，得到四边形为矩形，设四棱锥外接球的半径为，由已知球的表面积求得，在中，由勾股定理列式求得，进一步求得，再由诱导公式及倍角公式求．
【解答】
解：如图，连接，交于点，设，
四棱锥的外接球的球心为，在四棱锥中，，，
又，平面，而平面，
平面平面，取的中点，连接，则平面，
设的外接圆的圆心为，连接，，则平面，
平面，则，可知，
四边形为矩形，
连接，由为等边三角形，故，
设四棱锥外接球的半径为，则，
解得；
由，解得，
故，
故．
故答案为：；．

五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知数列中，，，，．
证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
【答案】证明：数列中，，，，．
整理得，
由于，
所以，即常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以．
解：由得：，
则，
，
得：，
解得．
【解析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推关系式和等差数列的性质求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法求出数列的和．
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
【答案】解：由三角形的面积公式可得，
，
由正弦定理可得，
，
；
，
，
，
，，
，，
，其中为的外接圆半径，
，
，
，
，
，
，
的周长．
【解析】本题考查了三角形的面积公式，两角和的余弦公式，诱导公式，正余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．
根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；
根据两角和的余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．
某市志愿者的身影活跃在各个角落，他们或积极抗疫，或抗灾救险为社会发展做出了突出贡献现随机抽取了男女志愿者共名，他们年龄单位：岁都在区间上，并绘制了女志愿者年龄分布直方图，如图在这名志愿者中，年龄在上的女志愿者是名，年龄在上的女志愿者人数是男志愿人数的．
用分层抽样的方法从年龄在区间，上的女志愿者中抽取人，再从这人中随机抽取人，抽取的人中，有人年龄在区间上，求的分布列和数学期望；
完成下面列联表，并判断是否有的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关？
年龄小于岁 年龄不小于岁 合计
男
女
合计
附：参考公式和检验临界值表：，．
【答案】解：由题意可知抽取的女志愿者人数为：，
其中年龄在上的有，年龄在上的有，
分层抽样，上抽取人，上抽取人，
所以的取值为，，，，
；；
；；
的分布列为：


；
由知抽取的女志愿者中，年龄在上的有，
所以抽取的男志愿者中，年龄在上的有人，
列联表如下：
年龄小于岁 年龄不小于岁 合计
男
女
合计
，
所以，有的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．
【解析】根据直方图以及数据求得女性在各个年龄段的人数，进而确定随机变量的取值，即可解出；
结合直方图计算出列表中各数据，然后计算出，即可解出．
本题考查了频率分布直方图，超几何分布，随机变量的分布列和数学期望，独立性检验，学生的数学运算能力，属于基础题．
图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．
证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
求图中的二面角的大小．
【答案】证明：由已知得在图中，，，
，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
由已知得，，
、为平面内两条相交直线，
面，
平面，平面平面；
解：作，垂足为，
平面，平面平面，平面平面，
平面，
由已知，菱形的边长为，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，， ，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
又平面的法向量为，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的大小为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面，推导出，，从而面，由此能证明平面平面；
建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可求解二面角的大小．
如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为．
求圆的标准方程；
已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于，两点．
求证：；
试探究是否为定值．
【答案】解：因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，，可得直线的方程为：，
则原点到直线的距离为，则圆的半径，
故圆的标准方程为，
可设切线：，，，
将直线方程代入椭圆可得，
由韦达定理得：则，
又与圆相切，可知原点到的距离为，整理得，
则，所以，故．
由知，
当直线的斜率不存在时，显然，，此时；
当直线的斜率存在时，设：代入椭圆方程可得，则，
故，
同理，
则．
综上可知：为定值．
【解析】本题考查椭圆的性质和几何意义，直线和椭圆的位置关系，圆锥曲线的定值问题，属于较难题．
根据椭圆的性质和点到直线的距离求得的半径，从而可得内切圆的方程；
设切线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程的两根关系得到即可证明；
将直线的方程代入椭圆得到，，可得定值．
已知．
当时，求函数的导函数的最大值；
若有两个极值点，求实数的取值范围．
【答案】解：当时，，
设，
，
令，得，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以．
，
有两个极值点，等价于有两个变号的零点，
即有两个实数根，
令函数，
问题转化为函数与直线有两个不同的交点，
，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
又因为当时，；当时，，
所以实数的取值范围为
【解析】本题考查导数的综合应用，最值，极值问题，解题关键转化思想的应用，属于较难题．
先求得，然后利用导数研究函数的单调性，即可求出的最大值．
有两个极值点，等价于有两个变号的零点，转化为有两个实数根，令函数，利用导数研究单调性，最值，结合指数对数函数的性质判断当和时，的变化趋势，即可得出实数的取值范围．
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