人教版数学九年级数与式专题训练
一、单选题
1．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
2．（2021八上·遂宁期末）如果 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
∴（x+y）2=9
，
而 ，
，
.
故答案为： B .
【分析】将x+y=3的两边同时平方，然后整体代入，可求出xy的值.
3．（2021八上·遂宁期末）已知 是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．12 B．24 C．±12 D．±24
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得kxy=±12xy，由此可求出k的值.
4．（2021八上·南充期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：B.
【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得答案.
5．（2021七上·洪山期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋ b| － |a － b| ＋ |a ＋ c|的结果为（ ）
A．－a－c B．－a－b－c C．－a－2b－c D．a－2b＋c
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：通过数轴得到a＜0，c＞0，b＞0，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，a－b＜0，a＋c＜0
∴|a＋b| － |a－b| ＋ |a＋c|＝-a-b＋a－b﹣a-c＝－a－2b－c.
故答案为：C.
【分析】根据数轴可得：a<06．（2021七上·洪山期末）截至2021年12月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告孩种新冠病毒疫苗超过 2 500 000 000 剂次. 用科学记数法表示 2 500 000 000是（ ）
A．2.5 × 109 B．0.25 × 10
C．2.5 × 1010 D．0.25 × 1010
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将2 500 000 000用科学记数法表示为2.5×109.
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
7．（2021七上·丽水期末）|-4|的相反数是（ ）
A．4 B． C．-4 D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-4|=4
∴|-4|的相反数为-4.
故答案为：C.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，再求出|-4|的相反数.
8．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（ ）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；同余及其性质（奥数类）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CN⊥AB于N，延长AB，BA交长方形的两边分别为点H，点E，
∴∠CNA＝∠DEA＝∠DAC＝90°，
∴∠DAE+∠EDA＝90°＝∠DAE+∠CAN，
∴∠ADE＝∠CAN，
在△ADE和△CAN中，
，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴AN＝DE，AE＝CN，S△ADE＝S△CAN，
同理可得：NB＝GH，BH＝CN，S△BCN＝S△GBH，
∴S△ADE+S△GBH＝S△BCN+S△CAN＝S△ABC，
∴两个阴影部分面积之和＝AB×AE+AB×BH+S△ABC＝2AB×CN+S△ABC＝3S△ABC，
∴只需知道△ABC的面积可求两个阴影部分面积之和.
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB，BA交长方形的两边分别为点H，点E，根据同角的余角相等可得∠ADE＝∠CAN，证明△ADE≌△CAN，得到AN＝DE，AE＝CN，S△ADE＝S△CAN，同理可得：NB＝GH，BH＝CN，S△BCN＝S△GBH，推出S△ADE+S△GBH＝S△BCN+S△CAN＝S△ABC，据此解答.
9．（2021七上·呼和浩特期末）若与是同类项，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴m=2，m-2n=4，
解得：m=2，n=-1，
所以m-n=2-（-1）=2+1=3，
故答案为：A．
【分析】根据同类型的定义可得m=2，n=-1，再将m、n的值代入m-n计算即可。
10．（2021七上·花都期末）如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），按这种方法继续下去，第6个图形有（ ）个三角形．
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图知，第一个图中1个三角形，即（4×1-3）个；
第二个图中5个三角形，即（4×2-3）个；
第三个图中9个三角形，即（4×3-3）个；
…
∴第n个图形中有（4n-3）个三角形．
∴第6个图形中有个三角形
故答案为：B
【分析】根据图形可得出规律，从而得出第n个图形中有（4n-3）个三角形．由此得出答案。
二、填空题
11．（2021八上·遂宁期末）因式分解：－ x +xy－ y = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式.
12．（2021八上·南充期末）已知 ，则 .
【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案是：18.
【分析】将已知等式两边同时平方，可求出其代数式的值.
13．（2021七上·丽水期末）实数 的整数部分为a，小数部分为b，则 （a2+ab）= ．
【答案】14
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵
∴的整数部分a=2，小数部分b=，
∴.
故答案为：14.
【分析】利用估算无理数的大小，可知，由此可求出a，b的值，然后将a，b的值代入代数式进行计算，可求出结果.
14．（2021七上·滨城期末）若与是同类项，则a+b= ．
【答案】4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵与是同类项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据同类项的定义可得，，再将a、b的值代入计算即可。
15．（2021七上·延庆期末）如图中给出了某城市连续5天中，每一天的最高气温和最低气温（单位：），那么最大温差是 ．
【答案】15
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：12月1日的温差：
12月2日的温差：
12月3日的温差：
12月4日的温差：
12月5日的温差：
，
最大温差是15，
故答案为：15．
【分析】先分别求出每一天的温差，再比较大小即可。
16．（2021七上·鄞州期末）按图示的方法搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒.设共搭成 个三角形，则需要的火柴棒根数是 .（结果用含 的代数式表示）
【答案】（1+2n）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
搭1个三角形需要的火柴棒为： 根，
搭2个三角形需要的火柴棒为： 根，
搭3个三角形需要的火柴棒为： 根，
，
所以搭 个三角形需要的火柴棒为： 根.
故答案为：（1+2n）.
【分析】由图可得：搭1个三角形需要的火柴棒为1+2=3根，搭2个三角形需要的火柴棒为1+2×2=5根，搭3个三角形需要的火柴棒为1+2×3=7根，据此可得搭n个三角形需要的火柴棒的根数.
三、计算题
17．（2021九上·海曙期末）计算：
【答案】解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再算乘方和乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
18．（2021八上·遂宁期末）计算： + + + .
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
19．（2021八上·南充期末）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式 ，
，
.
当 时.原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，再将分式通分计算，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
四、解答题
20．（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
【答案】解：由数轴知：
∴，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 ， ，再化简求值即可。
21．（2021七上·安岳月考）若“三角” 表示适算a - b + c，“方框 表示运算x - y +z+ w.
求： 表示的速算，并计算结果.
【答案】解：根据题意得：原式 = ×( 2 3+3 6)= ×( 8)= .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】根据定义新运算先列式，再计算即可.
22．张老师在黑板上布置了一道题：对于式子（x+2）2-4（x-1），求当x=1和x=-1时的值。小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由.
【答案】解：小亮说的对
理由：∵（x+2）2-4（x-1）
=x2+4x+4-4x+4
=x2+8.
当x=1时，原式=1+8=9；当x=-1时，原式=1+8=9，故小亮说的对.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式，得到 x2+4x+4-4x+4 ，再进行化简，然后代入数值进行求值，得出结果。
1 / 1人教版数学九年级数与式专题训练
一、单选题
1．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·遂宁期末）如果 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2021八上·遂宁期末）已知 是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．12 B．24 C．±12 D．±24
4．（2021八上·南充期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七上·洪山期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋ b| － |a － b| ＋ |a ＋ c|的结果为（ ）
A．－a－c B．－a－b－c C．－a－2b－c D．a－2b＋c
6．（2021七上·洪山期末）截至2021年12月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告孩种新冠病毒疫苗超过 2 500 000 000 剂次. 用科学记数法表示 2 500 000 000是（ ）
A．2.5 × 109 B．0.25 × 10
C．2.5 × 1010 D．0.25 × 1010
7．（2021七上·丽水期末）|-4|的相反数是（ ）
A．4 B． C．-4 D．
8．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（ ）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
9．（2021七上·呼和浩特期末）若与是同类项，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
10．（2021七上·花都期末）如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），按这种方法继续下去，第6个图形有（ ）个三角形．
A．20 B．21 C．22 D．23
二、填空题
11．（2021八上·遂宁期末）因式分解：－ x +xy－ y = .
12．（2021八上·南充期末）已知 ，则 .
13．（2021七上·丽水期末）实数 的整数部分为a，小数部分为b，则 （a2+ab）= ．
14．（2021七上·滨城期末）若与是同类项，则a+b= ．
15．（2021七上·延庆期末）如图中给出了某城市连续5天中，每一天的最高气温和最低气温（单位：），那么最大温差是 ．
16．（2021七上·鄞州期末）按图示的方法搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒.设共搭成 个三角形，则需要的火柴棒根数是 .（结果用含 的代数式表示）
三、计算题
17．（2021九上·海曙期末）计算：
18．（2021八上·遂宁期末）计算： + + + .
19．（2021八上·南充期末）先化简，再求值： ，其中 .
四、解答题
20．（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
21．（2021七上·安岳月考）若“三角” 表示适算a - b + c，“方框 表示运算x - y +z+ w.
求： 表示的速算，并计算结果.
22．张老师在黑板上布置了一道题：对于式子（x+2）2-4（x-1），求当x=1和x=-1时的值。小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
∴（x+y）2=9
，
而 ，
，
.
故答案为： B .
【分析】将x+y=3的两边同时平方，然后整体代入，可求出xy的值.
3．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可得kxy=±12xy，由此可求出k的值.
4．【答案】B
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：B.
【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：通过数轴得到a＜0，c＞0，b＞0，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，a－b＜0，a＋c＜0
∴|a＋b| － |a－b| ＋ |a＋c|＝-a-b＋a－b﹣a-c＝－a－2b－c.
故答案为：C.
【分析】根据数轴可得：a<06．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将2 500 000 000用科学记数法表示为2.5×109.
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-4|=4
∴|-4|的相反数为-4.
故答案为：C.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，再求出|-4|的相反数.
8．【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；同余及其性质（奥数类）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CN⊥AB于N，延长AB，BA交长方形的两边分别为点H，点E，
∴∠CNA＝∠DEA＝∠DAC＝90°，
∴∠DAE+∠EDA＝90°＝∠DAE+∠CAN，
∴∠ADE＝∠CAN，
在△ADE和△CAN中，
，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴AN＝DE，AE＝CN，S△ADE＝S△CAN，
同理可得：NB＝GH，BH＝CN，S△BCN＝S△GBH，
∴S△ADE+S△GBH＝S△BCN+S△CAN＝S△ABC，
∴两个阴影部分面积之和＝AB×AE+AB×BH+S△ABC＝2AB×CN+S△ABC＝3S△ABC，
∴只需知道△ABC的面积可求两个阴影部分面积之和.
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB，BA交长方形的两边分别为点H，点E，根据同角的余角相等可得∠ADE＝∠CAN，证明△ADE≌△CAN，得到AN＝DE，AE＝CN，S△ADE＝S△CAN，同理可得：NB＝GH，BH＝CN，S△BCN＝S△GBH，推出S△ADE+S△GBH＝S△BCN+S△CAN＝S△ABC，据此解答.
9．【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴m=2，m-2n=4，
解得：m=2，n=-1，
所以m-n=2-（-1）=2+1=3，
故答案为：A．
【分析】根据同类型的定义可得m=2，n=-1，再将m、n的值代入m-n计算即可。
10．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图知，第一个图中1个三角形，即（4×1-3）个；
第二个图中5个三角形，即（4×2-3）个；
第三个图中9个三角形，即（4×3-3）个；
…
∴第n个图形中有（4n-3）个三角形．
∴第6个图形中有个三角形
故答案为：B
【分析】根据图形可得出规律，从而得出第n个图形中有（4n-3）个三角形．由此得出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式.
12．【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案是：18.
【分析】将已知等式两边同时平方，可求出其代数式的值.
13．【答案】14
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵
∴的整数部分a=2，小数部分b=，
∴.
故答案为：14.
【分析】利用估算无理数的大小，可知，由此可求出a，b的值，然后将a，b的值代入代数式进行计算，可求出结果.
14．【答案】4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵与是同类项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据同类项的定义可得，，再将a、b的值代入计算即可。
15．【答案】15
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：12月1日的温差：
12月2日的温差：
12月3日的温差：
12月4日的温差：
12月5日的温差：
，
最大温差是15，
故答案为：15．
【分析】先分别求出每一天的温差，再比较大小即可。
16．【答案】（1+2n）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
搭1个三角形需要的火柴棒为： 根，
搭2个三角形需要的火柴棒为： 根，
搭3个三角形需要的火柴棒为： 根，
，
所以搭 个三角形需要的火柴棒为： 根.
故答案为：（1+2n）.
【分析】由图可得：搭1个三角形需要的火柴棒为1+2=3根，搭2个三角形需要的火柴棒为1+2×2=5根，搭3个三角形需要的火柴棒为1+2×3=7根，据此可得搭n个三角形需要的火柴棒的根数.
17．【答案】解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，再算乘方和乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
18．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
19．【答案】解：原式 ，
，
.
当 时.原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，再将分式通分计算，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
20．【答案】解：由数轴知：
∴，
∴
＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）
＝－b－a＋b＋a－c＋c
＝0
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 ， ，再化简求值即可。
21．【答案】解：根据题意得：原式 = ×( 2 3+3 6)= ×( 8)= .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【分析】根据定义新运算先列式，再计算即可.
22．【答案】解：小亮说的对
理由：∵（x+2）2-4（x-1）
=x2+4x+4-4x+4
=x2+8.
当x=1时，原式=1+8=9；当x=-1时，原式=1+8=9，故小亮说的对.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式，得到 x2+4x+4-4x+4 ，再进行化简，然后代入数值进行求值，得出结果。
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