2021-2022学年人教版九年级下册数学第27章相似单元测试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级下册数学第27章相似单元测试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 169.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-02 15:23:27 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教新版九年级下册数学《第27章 相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
4．如图是著名画家达 芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（ ）
A．（ +1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
5．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
6．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝3cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16cm B．12cm C．24cm D．36cm
7．已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知，则＝ ．
12．若，则＝ ．
13．若＝，则的值为 ．
14．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，则AE：EC＝ ．
16．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是 cm．
17．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 cm．
18．将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ．
19．如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 ．
20．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
22．已知：a：b＝：，b：c＝2：5，求：a：b：c（化成最简整数比）
23．若且x+2y+z＝36，分别求x、y、z的值．
24．已知＝＝，且a+b+c＝68．求a、b、c的值．
25．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状，并说明理由．
26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．
27．已知一个矩形的长和宽分别为8cm和4cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、由＝得5a＝3b，故本选项不符合题意；
B、由＝得3a＝5b，故本选项符合题意；
C、由＝得，5a＝3b，故本选项不符合题意；
D、由＝得，5（a+1）＝4b，整理得，5a+5＝4b，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：设＝k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入中，可得：，
故选：C．
3．解：2000m＝200000cm，
所以这幅地图的比例尺为2：200000＝1：100000．
故选：B．
4．解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝AB＝ 2a＝（﹣1）a．
故选：B．
5．解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的16倍，周长和边长均为原来的4倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
6．解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴矩形ABCD的周长＝2×（3+5）＝16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故选：C．
7．解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
8．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比＝，
故选：B．
9．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
10．解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵，
∴5a＝7b，
∴b＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
12．解：由，得y＝x，
＝＝．
故答案为：．
13．解：∵＝，
∴b＝3a，
∴＝＝4；
故答案为：4．
14．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
15．解：∵DE∥BC，AD：AB＝3：4，
∴AE：AC＝AD：AB＝3：4，
∴AE：EC＝3：1．
故答案为：3：1．
16．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．
100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，
故答案为：5．
17．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×8＝4﹣4（cm），
故答案为：（4﹣4）．
18．解：由题意得，四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴＝，
∴AB2＝，
∴＝．
故答案为：．
19．解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
20．解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴△ABC的周长为：5+12+13＝30，
∵与它相似的△DEF的最小边长为15，
∴△DEF的周长：△ABC的周长＝15：5＝3：1，
∴△DEF的周长为：3×30＝90．
故答案为90．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB＝×AC＝﹣1，
∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
22．解：∵a：b＝：＝3：4，b：c＝2：5＝4：10，
∴a：b：c＝3：4：10．
23．解：设＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+2y+z＝36，
∴2k+6k+4k＝36，
解得：k＝3，
∴x＝2k＝6，y＝3k＝9，z＝12．
24．解：设＝＝＝k，则a＝9k，b＝11k，c＝14k，
∵a+b+c＝68，
∴9k+11k+14k＝68，
解得：k＝2，
则a＝18，b＝22，c＝28．
25．解：△ABC是直角三角形，理由是：
设＝＝＝k，
则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
∴k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴b2+c2＝32+42＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
27．解：设与它相似的矩形的另一条边长xcm，
①当矩形的长为12cm时，，
解得：x＝6，
此时这个矩形的面积为：12×6＝72（cm2）；
②当矩形的宽为12cm时，，
解得：x＝24，
此时这个矩形的面积为：12×24＝288（cm2）．
综上所述：这个矩形的面积为72cm2或288cm2．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
4．如图是著名画家达 芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（ ）
A．（ +1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
5．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
6．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝3cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16cm B．12cm C．24cm D．36cm
7．已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（ ）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知，则＝ ．
12．若，则＝ ．
13．若＝，则的值为 ．
14．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，则AE：EC＝ ．
16．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是 cm．
17．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为 cm．
18．将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ．
19．如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 ．
20．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
22．已知：a：b＝：，b：c＝2：5，求：a：b：c（化成最简整数比）
23．若且x+2y+z＝36，分别求x、y、z的值．
24．已知＝＝，且a+b+c＝68．求a、b、c的值．
25．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状，并说明理由．
26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．
27．已知一个矩形的长和宽分别为8cm和4cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、由＝得5a＝3b，故本选项不符合题意；
B、由＝得3a＝5b，故本选项符合题意；
C、由＝得，5a＝3b，故本选项不符合题意；
D、由＝得，5（a+1）＝4b，整理得，5a+5＝4b，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：设＝k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入中，可得：，
故选：C．
3．解：2000m＝200000cm，
所以这幅地图的比例尺为2：200000＝1：100000．
故选：B．
4．解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝AB＝ 2a＝（﹣1）a．
故选：B．
5．解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的16倍，周长和边长均为原来的4倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
6．解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴矩形ABCD的周长＝2×（3+5）＝16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故选：C．
7．解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
8．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比＝，
故选：B．
9．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
10．解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵，
∴5a＝7b，
∴b＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
12．解：由，得y＝x，
＝＝．
故答案为：．
13．解：∵＝，
∴b＝3a，
∴＝＝4；
故答案为：4．
14．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
15．解：∵DE∥BC，AD：AB＝3：4，
∴AE：AC＝AD：AB＝3：4，
∴AE：EC＝3：1．
故答案为：3：1．
16．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．
100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，
故答案为：5．
17．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×8＝4﹣4（cm），
故答案为：（4﹣4）．
18．解：由题意得，四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴＝，
∴AB2＝，
∴＝．
故答案为：．
19．解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
20．解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴△ABC的周长为：5+12+13＝30，
∵与它相似的△DEF的最小边长为15，
∴△DEF的周长：△ABC的周长＝15：5＝3：1，
∴△DEF的周长为：3×30＝90．
故答案为90．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB＝×AC＝﹣1，
∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
22．解：∵a：b＝：＝3：4，b：c＝2：5＝4：10，
∴a：b：c＝3：4：10．
23．解：设＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+2y+z＝36，
∴2k+6k+4k＝36，
解得：k＝3，
∴x＝2k＝6，y＝3k＝9，z＝12．
24．解：设＝＝＝k，则a＝9k，b＝11k，c＝14k，
∵a+b+c＝68，
∴9k+11k+14k＝68，
解得：k＝2，
则a＝18，b＝22，c＝28．
25．解：△ABC是直角三角形，理由是：
设＝＝＝k，
则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
∴k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴b2+c2＝32+42＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
27．解：设与它相似的矩形的另一条边长xcm，
①当矩形的长为12cm时，，
解得：x＝6，
此时这个矩形的面积为：12×6＝72（cm2）；
②当矩形的宽为12cm时，，
解得：x＝24，
此时这个矩形的面积为：12×24＝288（cm2）．
综上所述：这个矩形的面积为72cm2或288cm2．