第18章平行四边形练习题2020－2021学年陕西省部分地区人教版数学八年级下学期期末试题选编（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第18章平行四边形练习题2020－2021学年陕西省部分地区人教版数学八年级下学期期末试题选编（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-02 15:32:38 | ||
图片预览
文档简介
第18章：平行四边形练习题
一、单选题
1．（2021·陕西汉台·八年级期末）如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为
A．20 B．16 C．12 D．8
2．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．18
3．（2021·陕西韩城·八年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
4．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图， ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ ）
A．8cm B．24cm C．10cm D．16cm
5．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）．
A．12cm B．14cm C．16cm D．28cm
7．（2021·陕西宁强·八年级期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
8．（2021·陕西宁强·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD上的点，有下列条件：
①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，
若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
9．（2021·陕西汉台·八年级期末）下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分
11．（2021·陕西凤翔·八年级期末）在四边形中，对角线，相交于点．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
12．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．∠BAC＝∠DCA
13．（2021·陕西莲湖·八年级期末）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）
A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
14．（2021·陕西·西安市第三中学八年级期末）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
16．（2021·陕西韩城·八年级期末）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）
A．8 B． C．4 D．
17．（2021·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
18．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
20．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作，分别交、于、，点为的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
22．（2021·陕西洛南·八年级期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
24．（2021·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．
25．（2021·陕西师大附中八年级期末）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．40
26．（2021·陕西富县·八年级期末）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两直线平行，内错角相等；③菱形的对角线互相垂直；④对角线相等的四边形是矩形，其逆命题是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当且时，四边形是正方形
28．（2021·陕西莲湖·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
29．（2021·陕西·高新一中八年级期末）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD边的中点，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B．2 C． D．
31．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于点N，则的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
32．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线平分对角 B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
二、填空题
33．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
34．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图， ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是_____．
35．（2021·陕西长安·八年级期末）平行四边形的一个角的平分线把一条边分为5和4两部分，则平行四边形的周长为__________．
36．（2021·陕西师大附中八年级期末）如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为______．
37．（2021·陕西临潼·八年级期末）已知在□ABCD中，AB=4，BC=7，则这个平行四边形的周长为_____.
38．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，已知平行四边形中，，，，、相交于点，经过点的直线分别交、于点、，则图中阴影部分的面积是______．
39．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，AC⊥BC．则BD＝___．
40．（2021·陕西兴平·八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．
41．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，在矩形中，点E在边上，连接，，F是线段上一定点，M是线段上一动点．若，，，且周长的最小值为6，则的长为________．
42．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝___．
43．（2021·陕西宁强·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．
44．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△BCD沿直线BD平移得到，连接，则的最小值为 ______________．
45．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在边长为的菱形中，，将沿直线平移得到，连接、，则的最小值为________．
46．（2021·陕西临潼·八年级期末）正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
47．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．
48．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E是BC边上一点，连接DE，AE，若AB＝BC＝4，BE＝1，∠BAD＝∠ADE，则△CDE的面积为 ___．
三、解答题
49．（2021·陕西眉县·八年级期末）如图，在 ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
50．（2021·陕西长安·八年级期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
51．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
52．（2021·陕西富县·八年级期末）已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
53．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
54．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，在平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接，，求证：．
55．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
56．（2021·陕西·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：
（1）如图①，在中，，画出经过点的的“和谐线段”；
（2）如图②，在中，，，，请求出的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形是某市规划中的商业区示意图，其中，，，，现计划在商业区内修一条笔直的单行道（小道的宽度不计，入口在上，出口在上，使得为四边形的“和谐线段”，在道路一侧区域规划为公园，为了美观要求是以为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点的位置（即求的长）．
57．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，AEBF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
58．（2021·陕西澄城·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：DE＝BF．
59．（2021·陕西渭滨·八年级期末）如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．
60．（2021·陕西·西安市第三中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
61．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
62．（2021·陕西·高新一中八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F． 求证：AE＝DF．
63．（2021·陕西·高新一中八年级期末）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
【提出问题】
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
【类比探究】
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
【综合运用】
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
64．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长；
65．（2021·陕西西安·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE//DF．
66．（2021·陕西澄城·八年级期末）如图，点E、F、G、H分别在矩形的边、、、（不包括端点），上运动，且满足，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．
67．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
68．（2021·陕西汉台·八年级期末）如图，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，连接
（1）求证：平分；
（2）若点为中点， ，求的面积
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】
首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握
三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
2．B
【分析】
由平行四边形性质可得AB+AD=9cm，OB=OD，又由OE⊥BD，可得BE=DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是18cm，
∴AB+AD=9cm，
∵OE⊥BD，OB=OD,
∴BE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=9cm．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，得出BE=DE是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行四边形的性质，可得BD的长，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BD=2BE=6，
∵∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积为BC BD=4×6=24，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的面积公式，运用平行四边形的性质得到BD=2BE是解答此题的关键．
4．D
【分析】
根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
【详解】
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=32cm，
∴AD+DC=16cm，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm，
故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.
5．A
【分析】
由中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，即可求得平行四边形的面积，证明得（ASA），即可得，同理：
即可求得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
∵中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，
∴，AD∥BC， OA=OC，
∠OAE=∠OCF，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
同理：
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．B
【分析】
利用平行四边形的性质结合OE⊥BD可得EO是BD的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得BE＝DE，然后可得△ABE的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O
∴BO＝DO
又∵OE⊥BD
∴BE＝DE
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝14cm
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形、垂直平分线的知识；解题的管家你是熟练掌握平行四边形、垂直平分线的性质，从而完成求解．
7．D
【分析】
根据平行四边形的定义和性质逐项判断即可．
【详解】
解：A.两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意；
B. 平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意；
C. 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意；
D. 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的定义和性质，解题关键是熟记这些知识，准确进行判断．
8．B
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，然后利用平行四边形的判定分别分析求解，即可求得答案；注意利用举反例的方法可排除错误答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∴当①AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形；故①正确；
当②BE=FD时，CE=AF，则四边形AECF是平行四边形；故②正确；
当③∠1=∠2时，∠EAF=∠ECF，
∵∠EAF+∠AEC=180,∠AFC+∠ECF=180，
∴∠AFC=∠AEC，
∴四边形AECF是平行四边形；故③正确；
④若AE=AF，则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质.
9．C
【分析】
利用等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半，正确，
证明如下：如图：
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠CAD＝30°，CD⊥AB，
∴在直角三角形ACD中，CD＝AC；
②因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以三角形至少有一个内角不大于60°正确；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确，
证明如下：
如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形．；
④十边形内角和为（10﹣2）×180＝1440°，故错误，
正确有3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识，难度不大．
10．D
【详解】
试题解析：根据平行四边形的判定，D能判定四边形是平行四边形．
故选D．
11．A
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】
解：如图，
①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出的四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定方法；准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．B
【详解】
解：A．∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．∵AB=CD，AC=BD，∴不能说明四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
C．∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D．∵AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意．
故选B．
13．B
【分析】
构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ
【详解】
设点、运动的时间为秒，依题意得，
，，，，
①当时，四边形是平行四边形，即，解得．
②当时，四边形是平行四边形，即，解得．
所以当直线将四边形截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒，
故选B．
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键．
14．D
【分析】
根据平行四边形的判定即可得．
【详解】
解；观察四个选项可知，只有选项D符合题意，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
15．A
【详解】
∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．
16．A
【分析】
连接CD，证明四边形CDEF是平行四边形，则CD＝EF＝4，再利用直角三角形斜边上的中线性质可求AB长．
【详解】
解：连接CD，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC．
∵延长AC到F，使得CF＝AC，
∴DE∥CF且DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD＝EF＝4．
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，
∴AB＝2CD＝8．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是利用平行四边形的性质进行线段的转化．
17．D
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，再添加对角线相等，即可得出四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：可添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理——对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
18．B
【分析】
找到两个极端，即BA'取最大或最小值时，点P或Q的位置．分别求出点P与B重合时，BA'取最大值3和当点Q与D重合时，BA'的最小值为1，即可得出答案．
【详解】
当点P与B重合时，BA'取最大值是3，
当点Q与D重合时，如图所示：
由折叠的性质得：A'D=AD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠C=90°，
∴A'D=AD=5，
由勾股定理得：A'C4，
此时BA'取最小值为1．
则点A'在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
19．C
【分析】
因为图形对折，所以首先△CDB≌△ABD，由于四边形是长方形，进而可得△ABE≌△CDE，如此答案可得．
【详解】
解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
∴CD=AB，AD=BC，
∵BD=BD，
∴△CDB≌△ABD（SSS），
∴∠CBD=∠ADB
∴EB=ED
∴CE=AE
又AB=CD
∴△ABE≌△CDE，
∴图中全等三角形共有2对
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．
20．B
【分析】
根据30°直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出OG的长度．
【详解】
解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG=AE=AG=GE，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠OGE=60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG=x=OE，
∴AE=2x，AO=x，
∵O是AC的中点，
∴AC=2AO=x，
在Rt△ABC中，
BC=AC=x，
由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2，
∴62+（x）2=（x）2，
解得x=2．
∴OG=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设x，利用勾股定理构建方程解决．
21．B
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
22．B
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．
【详解】
∵在四边形中， ，
∴四边形是平行四边形
若添加，无法判断，故A不符合题意；
若添加，则四边形是矩形，故B符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故C不符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．
23．D
【分析】
连接BF，根据菱形的性质得出△ADF≌△ABF，从而得到∠ABF=∠ADF，然后结合垂直平分线的性质推出∠ABF=∠BAC，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠BAD=40°，
在△ADF和△ABF中，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠DAF=∠ADF=40°，
∴∠CFD=∠ADF+∠DAF=80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角定理等，理解图形的基本性质是解题关键．
24．C
【分析】
过点作，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
【详解】
解：过点作，
∵菱形中，，
∴当点在边上运动时，的值不变，
，即菱形的边长是，
，即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
．
在中，，
，解得．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是关键．
25．B
【分析】
根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB=BC=DC=AD，AO=CO，DO=BO，求出AO和BO，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=DC=AD，AO=CO，DO=BO，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，
即AB=BC=DC=AD=5，
∴菱形ABCD的周长是AB+BC+DC+AD=5+5+5+5=20，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理和菱形的性质，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
26．C
【分析】
首先先求出逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，逆命题是真命题；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等两直线平行，逆命题是真命题；
③菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，逆命题是假命题；
④对角线相等的四边形是矩形逆命题是矩形的对角线相等，逆命题是真命题； 其中逆命题真命题有3个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
27．B
【分析】
根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，故A正确，
四边形是平行四边形，，
不能推出四边形是菱形，故错误，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故C正确，
四边形是平行四边形，，，
四边形是正方形．故D正确．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．C
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选C．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
29．D
【分析】
过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
【详解】
解：如图，过点作于点，于点，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
在中，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴四边形是正方形．
在和中，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积．
∵正方形的边长为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴四边形的面积为．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
30．D
【分析】
过点作于点，过作于点，先证明为等腰三角形，再求出，，，，，则在中，即可求出．
【详解】
解：过点作于点，过作于点，
正方形的边长为4，
，
点为边的中点，
，
，
为等腰三角形，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
在中，，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，运用勾股定理解题是关键．
31．B
【分析】
先求出∠ABM=30°，然后证明AB=BM得到∠BAM=∠AMB，利用三角形内角和定理求出∠BMA即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BCM是等边三角形，
∴BM=BC，∠MBC=∠BMC=60°，
∴AB=BM，∠ABM=30°，
∴∠BAM=∠AMB，
又∵∠BAM+∠AMB+∠ABM=180°，
∴∠BAM=∠BMA=75°，
∴∠CMN=180°-∠CMB-∠BMA=45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
32．C
【分析】
根据平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定判断即可．
【详解】
解：A、菱形和正方形的对角线平分对角，原命题是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定，难度不大．
33．
【分析】
延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】
解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
34．1
【分析】
根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD.
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE=CD，即D为CE中点.
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°.
∴∠CEF=30°.
∵EF=，
∴CE=2
∴AB=1
35．26或28
【分析】
【详解】
角的平分线AE把一条边分成长是4cm和5cm的两条线段，
则BC=AD=9cm，
并且可能是BE=4cm，EC=5cm．或BE=5cm，EC=4cm．
应分两种情况进行讨论．
∠A的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAE
再根据AD∥BC得到∠DEA=∠BEA，
∴∠DAE=∠BEA
∴AB=BE
因而当BE=4cm，EC=5cm时，周长是26cm，
当BE=5cm，EC=4cm时周长是28cm，
ABCD的周长是26或28cm．
36．14
【分析】
根据平行四边形的性质证得，再证明OE为线段BD的垂直平分线，则BE=ED，由的周长=即可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明是线段的垂直平分线是解答的关键．
37．22
【分析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，所以平行四边形的周长等于两邻边和的二倍，直接求解即可．
【详解】
解：C平行四边形=2（AB+BC）=2×（4+7）=2×11=22．
故答案为22．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
38．
【分析】
由“ASA”可证△AOF≌△COE，可得S△AOF=S△COE，再求出平行四边形ABCD的面积，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=AD=3，DH==3，
∴平行四边形ABCD的面积=10×3=30，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO，
∴∠BAC=∠DCA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴S△AOF=S△COE，
∴图中阴影部分的面积=S△BCD=S ABCD=15，
故答案为15．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
39．5
【分析】
由，则由勾股定理求得的长，得出长，然后由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，
，
，
故答案为5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质与勾股定理是解题的关键．
40．
【详解】
试题分析：∵AB=12，BC=5，∴AD=5．
∴．
根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13－5=8．
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，解得：．
41．1
【分析】
根据勾股定理得到BE=，推出△CDE是等腰直角三角形，得到∠CDE=∠ADE=45°，作点C关于直线DE的对称点G，连接GF交DE于M，则DG=CD=4，此时，△MFC周长的最小值为6，设CF=x，则GF=6-x，连接GE，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=4，AE=，
∴BE=，
∵BC=AD=6，
∴CE=4，
∵CD=AB=4，∠DCE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADE=45°，
作点C关于直线DE的对称点G，连接GF交DE于M， 则DG=CD=4，
此时，△MFC周长的最小值为6， 即CM+MF+CF=GM+MF+CF=GF+CF=6，
设CF=x，则GF=6-x，
连接GE，则GE⊥BC，EF=6-2-x，
在Rt△EGF中，EG2+EF2=GF2，
∴（4-x）2+42=（6-x）2，
解得：x=1，
∴CF=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
42．1
【分析】
根据题意，作辅助线AF⊥ED，然后根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到BE＝FE，AB＝AF，AD＝DE，再根据矩形的性质，可以得到AD的长，然后根据勾股定理可以得到DF的长，从而可以得到FE的长，即BE的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝5，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BA＝FA=3，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝5，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（HL），
∴BE＝EF，
∵AF⊥FD，
∴DF，
∴FE＝DE﹣DF＝5﹣4＝1，
∴BE＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
43．
【分析】
根据菱形的性质，菱形ABCD的面积等于对角线之积除以2，还可用计算，然后利用勾股定理计算出CD的长度即可计算AM．
【详解】
解：∵四边形是ABCD菱形，
∴AC⊥BD，，，，
∴△DOC是直角三角形，
∴，
∵AM⊥CD，
∴,
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等面积法的应用，结合菱形性质和勾股定理计算相关边长是解题的关键．
44．2
【分析】
连接，先证明四边形是平行四边形，从而得，再作点B关于定直线CC'的对称点E，AE的长度即为的最小值，根据菱形ABCD边长为2、∠ABC＝60°，求出AE即可.
【详解】
解：如图，连接，连接，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵将△BCD沿直线BD平移得到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点在过点C且平行于BD的定直线上，
∴作点B关于定直线的对称点E，连接AE，连接BE交于H，
则AE的长度即为的最小值，
在Rt△BHC中，∠BCH＝∠DBC＝30°，，
∴∠CBH＝60°，BH＝EH＝，
∴BE＝2，
∴BE＝AB，
∵∠ABE＝∠EBB′+∠DBA＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
如图，过作与
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平移的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练应用以上知识解题是解题的关键.
45．
【分析】
连接BC′，CC′，作点B关于直线CC′的对称点为H，连接C′H，过点A作AP⊥BH于P，根据菱形的性质和平移的性质证明四边形ABC′D为平行四边形，得到AD′=BC′，根据对称的性质得到BC′=HC′，从而判断出AC′+AD′的最小值为AH，再解直角三角形求出AH即可．
【详解】
解：如图，连接BC′，CC′，
作点B关于直线CC′的对称点为H，连接C′H，过点A作AP⊥BH于P，
由平移的性质可得：
由对称性可得：
由题意可得：菱形ABCD的边长为2，
∴AB=CD=2，AB∥CD，
由平移可得：CD=C′D′，CD∥C′D′，
∴AB∥C′D′，AB=C′D′，
∴四边形ABC′D为平行四边形，
∴AD′=BC′，
又由对称可得：BC′=HC′，
∴AD′+AC′=BC′+AC′=HC′+AC′，
又∵HC′+AC′≥AH，
∴HC′+AC′的最小值为AH，即AC′+AD′的最小值为AH，
又∵AP⊥PH，∠ABC=60°，
∴在Rt△APB中，∠ABP=60°，∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
由勾股定理可得：AP=，
又BP=BH，
∴BH=2，
∴PH=3，
∴AH=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，最短距离，平行四边形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，直角三角形的性质，知识点较多，解题的关键是利用两点之间线段最短得到HC′+AC′的最小值为AH，即AC′+AD′的最小值为AH．
46．①②④
【分析】
根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；
故正确的结论序号是①②④.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．
47．
【分析】
利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴,
如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，
∴，
∵M是AE的中点，F是EK的中点，
∴MF是△AEK的中位线，
∴，
在△ABK中，，
∴，即，
∴，
∴线段FM的最大值是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
48．
【分析】
如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H．首先证明四边形ABCF是正方形，再证明DF=DH，EH=BE=1，设CD=x，利用勾股定理求出x，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H．
∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴BC⊥CD，
∴∠B=∠C=∠F=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AB=CF=BC=4，
∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠DAB，∠DAB=∠ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵AF⊥DF，AH⊥DE，
∴∠F=∠AHD=90°，
在△ADF和△ADH中，
，
∴△ADF≌△ADH（AAS），
∴DF=DH，AF=AH，
∵AF=AB，
∴AH=AB，
在Rt△AEH和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△AEB（HL），
∴EH=BE=1，
设CD=x，则DF=DH=4-x，
在Rt△DCE中，x2+32=（5-x）2，
∴x=，
∴S△DCE= CD CE==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造正方形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
49．详见解析.
【详解】
试题分析：（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF .
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF ，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF .
点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质.
50．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【详解】
详解：证明：，
，
在和中，，
≌；
解：如图所示：
由知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
51．（1）详见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF，即可得出结果．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
52．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得，，得，，即可得出结论；
（2）先证得四边形是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得，则可证得四边形为矩形．
【详解】
证明：（1）∵平分、平分
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵点为的中点，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵平分、平分，
∴，
∴
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
53．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
54．详见解析
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
∵BF=DE，
∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，
在△ADF和△CBE中，
∵AD=BC，∠1=∠2，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠CEB，
∴AF∥CE．
【点睛】
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
55．见解析
【分析】
由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．
【详解】
证明：∵，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又，即ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】
本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．
56．（1）答案见解析；（2），；（3）．
【分析】
（1）作底边BC上的中线AD，则线段AD即为经过点A的 的“和谐线段”．
（2）分别作边AB和边BC上的中线CE、AF．则线段CE和AF都为的“和谐线段”．再利用勾股定理求出线段CE和AF的长即可．
（3）作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F，根据题意易求出，又可知为等边三角形．作于H，设CM=x，则，根据“和谐线段”定义即可列出关于x的一元二次方程，解出x，最后判断x是否符合题意即可．
【详解】
（1）如图，取BC的中点D，连接AD，则线段AD即为经过点A的 的“和谐线段”．
（2）分别取AB和BC中点E、F，连接CE、AF，则线段CE和AF都为的“和谐线段”．
∵E、F分别为AB和BC中点，
∴，，
∵，
∴，．
故的两条“和谐线段”CE和AF的长分别为和．
（3）如图，作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F．
∵，，
∴
∵在中，CD＝10，
∴CE＝5，．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，
∴，
∵∠DAB＝120°，∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝30°，
∴，
∴
∴
∵
∴为等边三角形．
如图，作于H，
设CM=x，则，
根据题意可知，即，
解得（舍）．
∴
∴，，
∴存在M点，此时．
【点睛】
此题考查四边形综合题，三角形中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．综合性较强，较难．解题的关键是理解“和谐线段”的含义．
57．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案；
（2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC AM＝AC BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD是解决问题的关键．
58．见解析
【分析】
利用平行四边形的性质得出BO＝DO，ADBC，进而得出∠EDO＝∠FBO，再利用ASA求出△DOE≌△BOF即可得出答案．
【详解】
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ADBC，OB=OD
∴ ∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED
∴△OBF≌△ODE
∴DE=BF ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
59．
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S△ABF=24，
∴AB BF＝24，即×6×BF＝24．
解得：BF=8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF==10．
由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．
∴FC=10-8=2．
设DE=x，则EC=6-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，x2=4+（6-x）2．
解得：x=，
∴DE=．
【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
60．（1）证明见解析
（2）8
【分析】
（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；
（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
61．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先由得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．
（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．
【详解】
解：（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝，
∴BD＝2OB＝．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及判定、应用勾股定理解三角形，重点在于根据已知找到各线段间关系．
62．见解析
【分析】
根据矩形的性质得到OA＝OC＝OB＝OD，再根据AE⊥BD，DF⊥AC得出∠AEO＝∠DFO，从而证明出△AOE≌△DOF即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明．
63．（1）见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析（3）
【分析】
（1）延长，交于点，先证，得，．结合，知，即可得．从而得证；
（2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，根据三个中点知，，，，，据此得，，．由可得答案；
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，由及．可得答案．
【详解】
解：（1）如图①，延长，交于点，
四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长，交于点，
四边形是“等垂四边形”， ，
，，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，
则，
由（2）可知．
最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．
64．（1）见解析；（2）菱形的周长
【分析】
（1）根据菱形和矩形的性质可证得，即可得证；
（2）连接，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得，利用勾股定理求出FH的长，即可求解．
【详解】
（1）证明：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
菱形的周长．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
65．见解析
【分析】
先求出DE＝BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
66．（1）证明见解析；（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度，理由见解析．
【分析】
（1）由已知易证得，故有EH=GF；同理可证得，则，从而可得所证的结论；
（2）作G关于的对称点，连接、，可得的长度就是的最小值，再根据平行四边形的判定与性质可得，然后结合三角形的三边关系定理即可得．
【详解】
（1）∵四边形是矩形，
．
∴在与中，，
，
同理证得，则．
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．
理由：如图，作G关于的对称点，连接、、．
则由对称的性质知：，
∴
∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴的长度就是的最小值
∵EF+FG是四边形周长的一半
∴四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．
67．（1）证明见解析；（2）3
【分析】
（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证AB＝AD，即可得出结论；
（2）证△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，再由菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，证∠E＝∠EAO，得OE＝OA，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE=OB，
∴OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出AB=AD是解题的关键
68．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DF，从而得出∠BAF=∠F，然后根据等边对等角可得∠DAF=∠F，从而证出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=60°，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，利用AAS证出≌，可得=，AE=2，利用勾股定理求出DE，然后推导出S四边形ABCD=即可求出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥DF
∴∠BAF=∠F
∵
∴∠DAF=∠F
∴∠BAF=∠DAF
∴平分；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ADC=∠B=60°
∵
∴为等边三角形
∴=AF=4
∵点为中点，
∴BE=CE，
∵∠BAF=∠F，∠AEB=∠FEC
∴≌
∴=，AE=EF==2
∴DE⊥AF，DE=
∴S四边形ABCD=＋S四边形AECD
=＋S四边形AECD
=
=
=
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．（2021·陕西汉台·八年级期末）如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为
A．20 B．16 C．12 D．8
2．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．18
3．（2021·陕西韩城·八年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
4．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图， ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ ）
A．8cm B．24cm C．10cm D．16cm
5．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）．
A．12cm B．14cm C．16cm D．28cm
7．（2021·陕西宁强·八年级期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
8．（2021·陕西宁强·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD上的点，有下列条件：
①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，
若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
9．（2021·陕西汉台·八年级期末）下列命题正确的有（ ）
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于60°；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分
11．（2021·陕西凤翔·八年级期末）在四边形中，对角线，相交于点．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
12．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．∠BAC＝∠DCA
13．（2021·陕西莲湖·八年级期末）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）
A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
14．（2021·陕西·西安市第三中学八年级期末）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
16．（2021·陕西韩城·八年级期末）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）
A．8 B． C．4 D．
17．（2021·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
18．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
20．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作，分别交、于、，点为的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
22．（2021·陕西洛南·八年级期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
24．（2021·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．
25．（2021·陕西师大附中八年级期末）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．40
26．（2021·陕西富县·八年级期末）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两直线平行，内错角相等；③菱形的对角线互相垂直；④对角线相等的四边形是矩形，其逆命题是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当且时，四边形是正方形
28．（2021·陕西莲湖·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
29．（2021·陕西·高新一中八年级期末）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD边的中点，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B．2 C． D．
31．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于点N，则的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
32．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线平分对角 B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
二、填空题
33．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
34．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图， ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是_____．
35．（2021·陕西长安·八年级期末）平行四边形的一个角的平分线把一条边分为5和4两部分，则平行四边形的周长为__________．
36．（2021·陕西师大附中八年级期末）如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为______．
37．（2021·陕西临潼·八年级期末）已知在□ABCD中，AB=4，BC=7，则这个平行四边形的周长为_____.
38．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，已知平行四边形中，，，，、相交于点，经过点的直线分别交、于点、，则图中阴影部分的面积是______．
39．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，AC⊥BC．则BD＝___．
40．（2021·陕西兴平·八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．
41．（2021·陕西富县·八年级期末）如图，在矩形中，点E在边上，连接，，F是线段上一定点，M是线段上一动点．若，，，且周长的最小值为6，则的长为________．
42．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则BE＝___．
43．（2021·陕西宁强·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AM⊥CD于点M，已知AC＝6，BD＝8，则AM＝_____．
44．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△BCD沿直线BD平移得到，连接，则的最小值为 ______________．
45．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，在边长为的菱形中，，将沿直线平移得到，连接、，则的最小值为________．
46．（2021·陕西临潼·八年级期末）正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
47．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．
48．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E是BC边上一点，连接DE，AE，若AB＝BC＝4，BE＝1，∠BAD＝∠ADE，则△CDE的面积为 ___．
三、解答题
49．（2021·陕西眉县·八年级期末）如图，在 ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
50．（2021·陕西长安·八年级期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
51．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
52．（2021·陕西富县·八年级期末）已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
53．（2021·陕西凤翔·八年级期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
54．（2021·陕西西乡·八年级期末）如图，在平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接，，求证：．
55．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．
56．（2021·陕西·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：
（1）如图①，在中，，画出经过点的的“和谐线段”；
（2）如图②，在中，，，，请求出的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形是某市规划中的商业区示意图，其中，，，，现计划在商业区内修一条笔直的单行道（小道的宽度不计，入口在上，出口在上，使得为四边形的“和谐线段”，在道路一侧区域规划为公园，为了美观要求是以为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点的位置（即求的长）．
57．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，AEBF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
58．（2021·陕西澄城·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：DE＝BF．
59．（2021·陕西渭滨·八年级期末）如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．
60．（2021·陕西·西安市第三中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
61．（2021·陕西陈仓·八年级期末）如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
62．（2021·陕西·高新一中八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F． 求证：AE＝DF．
63．（2021·陕西·高新一中八年级期末）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
【提出问题】
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
【类比探究】
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
【综合运用】
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
64．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长；
65．（2021·陕西西安·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE//DF．
66．（2021·陕西澄城·八年级期末）如图，点E、F、G、H分别在矩形的边、、、（不包括端点），上运动，且满足，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．
67．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
68．（2021·陕西汉台·八年级期末）如图，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，连接
（1）求证：平分；
（2）若点为中点， ，求的面积
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】
首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握
三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
2．B
【分析】
由平行四边形性质可得AB+AD=9cm，OB=OD，又由OE⊥BD，可得BE=DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是18cm，
∴AB+AD=9cm，
∵OE⊥BD，OB=OD,
∴BE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=9cm．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，得出BE=DE是解题的关键．
3．D
【分析】
根据平行四边形的性质，可得BD的长，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BD=2BE=6，
∵∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积为BC BD=4×6=24，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的面积公式，运用平行四边形的性质得到BD=2BE是解答此题的关键．
4．D
【分析】
根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
【详解】
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=32cm，
∴AD+DC=16cm，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm，
故选D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.
5．A
【分析】
由中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，即可求得平行四边形的面积，证明得（ASA），即可得，同理：
即可求得答案．
【详解】
解：如图，标注字母，
∵中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，
∴，AD∥BC， OA=OC，
∠OAE=∠OCF，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
同理：
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．B
【分析】
利用平行四边形的性质结合OE⊥BD可得EO是BD的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得BE＝DE，然后可得△ABE的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O
∴BO＝DO
又∵OE⊥BD
∴BE＝DE
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝14cm
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形、垂直平分线的知识；解题的管家你是熟练掌握平行四边形、垂直平分线的性质，从而完成求解．
7．D
【分析】
根据平行四边形的定义和性质逐项判断即可．
【详解】
解：A.两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意；
B. 平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意；
C. 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意；
D. 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的定义和性质，解题关键是熟记这些知识，准确进行判断．
8．B
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，然后利用平行四边形的判定分别分析求解，即可求得答案；注意利用举反例的方法可排除错误答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∴当①AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形；故①正确；
当②BE=FD时，CE=AF，则四边形AECF是平行四边形；故②正确；
当③∠1=∠2时，∠EAF=∠ECF，
∵∠EAF+∠AEC=180,∠AFC+∠ECF=180，
∴∠AFC=∠AEC，
∴四边形AECF是平行四边形；故③正确；
④若AE=AF，则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形，故④错误.
故选B.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质.
9．C
【分析】
利用等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
①如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半，正确，
证明如下：如图：
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠CAD＝30°，CD⊥AB，
∴在直角三角形ACD中，CD＝AC；
②因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以三角形至少有一个内角不大于60°正确；
③连结任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确，
证明如下：
如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形．；
④十边形内角和为（10﹣2）×180＝1440°，故错误，
正确有3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、三角形的三边关系、中点四边形及多边形的内角和的知识，难度不大．
10．D
【详解】
试题解析：根据平行四边形的判定，D能判定四边形是平行四边形．
故选D．
11．A
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】
解：如图，
①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出的四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定方法；准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
12．B
【详解】
解：A．∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．∵AB=CD，AC=BD，∴不能说明四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
C．∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D．∵AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意．
故选B．
13．B
【分析】
构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ
【详解】
设点、运动的时间为秒，依题意得，
，，，，
①当时，四边形是平行四边形，即，解得．
②当时，四边形是平行四边形，即，解得．
所以当直线将四边形截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒，
故选B．
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键．
14．D
【分析】
根据平行四边形的判定即可得．
【详解】
解；观察四个选项可知，只有选项D符合题意，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
15．A
【详解】
∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．
16．A
【分析】
连接CD，证明四边形CDEF是平行四边形，则CD＝EF＝4，再利用直角三角形斜边上的中线性质可求AB长．
【详解】
解：连接CD，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC．
∵延长AC到F，使得CF＝AC，
∴DE∥CF且DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD＝EF＝4．
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，
∴AB＝2CD＝8．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是利用平行四边形的性质进行线段的转化．
17．D
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形ABCD是平行四边形，再添加对角线相等，即可得出四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：可添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理——对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
18．B
【分析】
找到两个极端，即BA'取最大或最小值时，点P或Q的位置．分别求出点P与B重合时，BA'取最大值3和当点Q与D重合时，BA'的最小值为1，即可得出答案．
【详解】
当点P与B重合时，BA'取最大值是3，
当点Q与D重合时，如图所示：
由折叠的性质得：A'D=AD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠C=90°，
∴A'D=AD=5，
由勾股定理得：A'C4，
此时BA'取最小值为1．
则点A'在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
19．C
【分析】
因为图形对折，所以首先△CDB≌△ABD，由于四边形是长方形，进而可得△ABE≌△CDE，如此答案可得．
【详解】
解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
∴CD=AB，AD=BC，
∵BD=BD，
∴△CDB≌△ABD（SSS），
∴∠CBD=∠ADB
∴EB=ED
∴CE=AE
又AB=CD
∴△ABE≌△CDE，
∴图中全等三角形共有2对
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．
20．B
【分析】
根据30°直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出OG的长度．
【详解】
解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG=AE=AG=GE，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠OGE=60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG=x=OE，
∴AE=2x，AO=x，
∵O是AC的中点，
∴AC=2AO=x，
在Rt△ABC中，
BC=AC=x，
由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2，
∴62+（x）2=（x）2，
解得x=2．
∴OG=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设x，利用勾股定理构建方程解决．
21．B
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
22．B
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．
【详解】
∵在四边形中， ，
∴四边形是平行四边形
若添加，无法判断，故A不符合题意；
若添加，则四边形是矩形，故B符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故C不符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．
23．D
【分析】
连接BF，根据菱形的性质得出△ADF≌△ABF，从而得到∠ABF=∠ADF，然后结合垂直平分线的性质推出∠ABF=∠BAC，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠BAD=40°，
在△ADF和△ABF中，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠DAF=∠ADF=40°，
∴∠CFD=∠ADF+∠DAF=80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角定理等，理解图形的基本性质是解题关键．
24．C
【分析】
过点作，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
【详解】
解：过点作，
∵菱形中，，
∴当点在边上运动时，的值不变，
，即菱形的边长是，
，即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
．
在中，，
，解得．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是关键．
25．B
【分析】
根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB=BC=DC=AD，AO=CO，DO=BO，求出AO和BO，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=DC=AD，AO=CO，DO=BO，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，
即AB=BC=DC=AD=5，
∴菱形ABCD的周长是AB+BC+DC+AD=5+5+5+5=20，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理和菱形的性质，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
26．C
【分析】
首先先求出逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，逆命题是真命题；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等两直线平行，逆命题是真命题；
③菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，逆命题是假命题；
④对角线相等的四边形是矩形逆命题是矩形的对角线相等，逆命题是真命题； 其中逆命题真命题有3个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
27．B
【分析】
根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，故A正确，
四边形是平行四边形，，
不能推出四边形是菱形，故错误，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故C正确，
四边形是平行四边形，，，
四边形是正方形．故D正确．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．C
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选C．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
29．D
【分析】
过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
【详解】
解：如图，过点作于点，于点，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
在中，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴四边形是正方形．
在和中，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于正方形的面积．
∵正方形的边长为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴四边形的面积为．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
30．D
【分析】
过点作于点，过作于点，先证明为等腰三角形，再求出，，，，，则在中，即可求出．
【详解】
解：过点作于点，过作于点，
正方形的边长为4，
，
点为边的中点，
，
，
为等腰三角形，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
在中，，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，运用勾股定理解题是关键．
31．B
【分析】
先求出∠ABM=30°，然后证明AB=BM得到∠BAM=∠AMB，利用三角形内角和定理求出∠BMA即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BCM是等边三角形，
∴BM=BC，∠MBC=∠BMC=60°，
∴AB=BM，∠ABM=30°，
∴∠BAM=∠AMB，
又∵∠BAM+∠AMB+∠ABM=180°，
∴∠BAM=∠BMA=75°，
∴∠CMN=180°-∠CMB-∠BMA=45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
32．C
【分析】
根据平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定判断即可．
【详解】
解：A、菱形和正方形的对角线平分对角，原命题是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定，难度不大．
33．
【分析】
延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】
解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
34．1
【分析】
根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD.
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE=CD，即D为CE中点.
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°.
∴∠CEF=30°.
∵EF=，
∴CE=2
∴AB=1
35．26或28
【分析】
【详解】
角的平分线AE把一条边分成长是4cm和5cm的两条线段，
则BC=AD=9cm，
并且可能是BE=4cm，EC=5cm．或BE=5cm，EC=4cm．
应分两种情况进行讨论．
∠A的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAE
再根据AD∥BC得到∠DEA=∠BEA，
∴∠DAE=∠BEA
∴AB=BE
因而当BE=4cm，EC=5cm时，周长是26cm，
当BE=5cm，EC=4cm时周长是28cm，
ABCD的周长是26或28cm．
36．14
【分析】
根据平行四边形的性质证得，再证明OE为线段BD的垂直平分线，则BE=ED，由的周长=即可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明是线段的垂直平分线是解答的关键．
37．22
【分析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，所以平行四边形的周长等于两邻边和的二倍，直接求解即可．
【详解】
解：C平行四边形=2（AB+BC）=2×（4+7）=2×11=22．
故答案为22．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
38．
【分析】
由“ASA”可证△AOF≌△COE，可得S△AOF=S△COE，再求出平行四边形ABCD的面积，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=AD=3，DH==3，
∴平行四边形ABCD的面积=10×3=30，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO，
∴∠BAC=∠DCA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴S△AOF=S△COE，
∴图中阴影部分的面积=S△BCD=S ABCD=15，
故答案为15．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
39．5
【分析】
由，则由勾股定理求得的长，得出长，然后由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，
，
，
故答案为5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质与勾股定理是解题的关键．
40．
【详解】
试题分析：∵AB=12，BC=5，∴AD=5．
∴．
根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13－5=8．
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，解得：．
41．1
【分析】
根据勾股定理得到BE=，推出△CDE是等腰直角三角形，得到∠CDE=∠ADE=45°，作点C关于直线DE的对称点G，连接GF交DE于M，则DG=CD=4，此时，△MFC周长的最小值为6，设CF=x，则GF=6-x，连接GE，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=4，AE=，
∴BE=，
∵BC=AD=6，
∴CE=4，
∵CD=AB=4，∠DCE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADE=45°，
作点C关于直线DE的对称点G，连接GF交DE于M， 则DG=CD=4，
此时，△MFC周长的最小值为6， 即CM+MF+CF=GM+MF+CF=GF+CF=6，
设CF=x，则GF=6-x，
连接GE，则GE⊥BC，EF=6-2-x，
在Rt△EGF中，EG2+EF2=GF2，
∴（4-x）2+42=（6-x）2，
解得：x=1，
∴CF=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
42．1
【分析】
根据题意，作辅助线AF⊥ED，然后根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到BE＝FE，AB＝AF，AD＝DE，再根据矩形的性质，可以得到AD的长，然后根据勾股定理可以得到DF的长，从而可以得到FE的长，即BE的长．
【详解】
解：如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝5，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BA＝FA=3，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝5，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（HL），
∴BE＝EF，
∵AF⊥FD，
∴DF，
∴FE＝DE﹣DF＝5﹣4＝1，
∴BE＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
43．
【分析】
根据菱形的性质，菱形ABCD的面积等于对角线之积除以2，还可用计算，然后利用勾股定理计算出CD的长度即可计算AM．
【详解】
解：∵四边形是ABCD菱形，
∴AC⊥BD，，，，
∴△DOC是直角三角形，
∴，
∵AM⊥CD，
∴,
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等面积法的应用，结合菱形性质和勾股定理计算相关边长是解题的关键．
44．2
【分析】
连接，先证明四边形是平行四边形，从而得，再作点B关于定直线CC'的对称点E，AE的长度即为的最小值，根据菱形ABCD边长为2、∠ABC＝60°，求出AE即可.
【详解】
解：如图，连接，连接，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵将△BCD沿直线BD平移得到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点在过点C且平行于BD的定直线上，
∴作点B关于定直线的对称点E，连接AE，连接BE交于H，
则AE的长度即为的最小值，
在Rt△BHC中，∠BCH＝∠DBC＝30°，，
∴∠CBH＝60°，BH＝EH＝，
∴BE＝2，
∴BE＝AB，
∵∠ABE＝∠EBB′+∠DBA＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
如图，过作与
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查的是平移的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练应用以上知识解题是解题的关键.
45．
【分析】
连接BC′，CC′，作点B关于直线CC′的对称点为H，连接C′H，过点A作AP⊥BH于P，根据菱形的性质和平移的性质证明四边形ABC′D为平行四边形，得到AD′=BC′，根据对称的性质得到BC′=HC′，从而判断出AC′+AD′的最小值为AH，再解直角三角形求出AH即可．
【详解】
解：如图，连接BC′，CC′，
作点B关于直线CC′的对称点为H，连接C′H，过点A作AP⊥BH于P，
由平移的性质可得：
由对称性可得：
由题意可得：菱形ABCD的边长为2，
∴AB=CD=2，AB∥CD，
由平移可得：CD=C′D′，CD∥C′D′，
∴AB∥C′D′，AB=C′D′，
∴四边形ABC′D为平行四边形，
∴AD′=BC′，
又由对称可得：BC′=HC′，
∴AD′+AC′=BC′+AC′=HC′+AC′，
又∵HC′+AC′≥AH，
∴HC′+AC′的最小值为AH，即AC′+AD′的最小值为AH，
又∵AP⊥PH，∠ABC=60°，
∴在Rt△APB中，∠ABP=60°，∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
由勾股定理可得：AP=，
又BP=BH，
∴BH=2，
∴PH=3，
∴AH=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，最短距离，平行四边形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，直角三角形的性质，知识点较多，解题的关键是利用两点之间线段最短得到HC′+AC′的最小值为AH，即AC′+AD′的最小值为AH．
46．①②④
【分析】
根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形；
故正确的结论序号是①②④.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．
47．
【分析】
利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴,
如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，
∴，
∵M是AE的中点，F是EK的中点，
∴MF是△AEK的中位线，
∴，
在△ABK中，，
∴，即，
∴，
∴线段FM的最大值是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
48．
【分析】
如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H．首先证明四边形ABCF是正方形，再证明DF=DH，EH=BE=1，设CD=x，利用勾股定理求出x，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H．
∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴BC⊥CD，
∴∠B=∠C=∠F=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AB=CF=BC=4，
∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠DAB，∠DAB=∠ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵AF⊥DF，AH⊥DE，
∴∠F=∠AHD=90°，
在△ADF和△ADH中，
，
∴△ADF≌△ADH（AAS），
∴DF=DH，AF=AH，
∵AF=AB，
∴AH=AB，
在Rt△AEH和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△AEB（HL），
∴EH=BE=1，
设CD=x，则DF=DH=4-x，
在Rt△DCE中，x2+32=（5-x）2，
∴x=，
∴S△DCE= CD CE==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造正方形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
49．详见解析.
【详解】
试题分析：（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF .
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF ，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF .
点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质.
50．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【详解】
详解：证明：，
，
在和中，，
≌；
解：如图所示：
由知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
51．（1）详见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF，即可得出结果．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
52．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得，，得，，即可得出结论；
（2）先证得四边形是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得，则可证得四边形为矩形．
【详解】
证明：（1）∵平分、平分
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵点为的中点，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵平分、平分，
∴，
∴
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
53．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
54．详见解析
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
∵BF=DE，
∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，
在△ADF和△CBE中，
∵AD=BC，∠1=∠2，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠CEB，
∴AF∥CE．
【点睛】
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
55．见解析
【分析】
由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．
【详解】
证明：∵，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又，即ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】
本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．
56．（1）答案见解析；（2），；（3）．
【分析】
（1）作底边BC上的中线AD，则线段AD即为经过点A的 的“和谐线段”．
（2）分别作边AB和边BC上的中线CE、AF．则线段CE和AF都为的“和谐线段”．再利用勾股定理求出线段CE和AF的长即可．
（3）作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F，根据题意易求出，又可知为等边三角形．作于H，设CM=x，则，根据“和谐线段”定义即可列出关于x的一元二次方程，解出x，最后判断x是否符合题意即可．
【详解】
（1）如图，取BC的中点D，连接AD，则线段AD即为经过点A的 的“和谐线段”．
（2）分别取AB和BC中点E、F，连接CE、AF，则线段CE和AF都为的“和谐线段”．
∵E、F分别为AB和BC中点，
∴，，
∵，
∴，．
故的两条“和谐线段”CE和AF的长分别为和．
（3）如图，作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F．
∵，，
∴
∵在中，CD＝10，
∴CE＝5，．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，
∴，
∵∠DAB＝120°，∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝30°，
∴，
∴
∴
∵
∴为等边三角形．
如图，作于H，
设CM=x，则，
根据题意可知，即，
解得（舍）．
∴
∴，，
∴存在M点，此时．
【点睛】
此题考查四边形综合题，三角形中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．综合性较强，较难．解题的关键是理解“和谐线段”的含义．
57．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案；
（2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC AM＝AC BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD是解决问题的关键．
58．见解析
【分析】
利用平行四边形的性质得出BO＝DO，ADBC，进而得出∠EDO＝∠FBO，再利用ASA求出△DOE≌△BOF即可得出答案．
【详解】
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ADBC，OB=OD
∴ ∠OBF＝∠ODE，∠OFB＝∠OED
∴△OBF≌△ODE
∴DE=BF ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
59．
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S△ABF=24，
∴AB BF＝24，即×6×BF＝24．
解得：BF=8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF==10．
由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．
∴FC=10-8=2．
设DE=x，则EC=6-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，x2=4+（6-x）2．
解得：x=，
∴DE=．
【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
60．（1）证明见解析
（2）8
【分析】
（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；
（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
61．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先由得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．
（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．
【详解】
解：（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝，
∴BD＝2OB＝．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及判定、应用勾股定理解三角形，重点在于根据已知找到各线段间关系．
62．见解析
【分析】
根据矩形的性质得到OA＝OC＝OB＝OD，再根据AE⊥BD，DF⊥AC得出∠AEO＝∠DFO，从而证明出△AOE≌△DOF即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明．
63．（1）见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析（3）
【分析】
（1）延长，交于点，先证，得，．结合，知，即可得．从而得证；
（2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，根据三个中点知，，，，，据此得，，．由可得答案；
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，由及．可得答案．
【详解】
解：（1）如图①，延长，交于点，
四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长，交于点，
四边形是“等垂四边形”， ，
，，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，
则，
由（2）可知．
最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．
64．（1）见解析；（2）菱形的周长
【分析】
（1）根据菱形和矩形的性质可证得，即可得证；
（2）连接，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得，利用勾股定理求出FH的长，即可求解．
【详解】
（1）证明：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
菱形的周长．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
65．见解析
【分析】
先求出DE＝BF，再证明四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
66．（1）证明见解析；（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度，理由见解析．
【分析】
（1）由已知易证得，故有EH=GF；同理可证得，则，从而可得所证的结论；
（2）作G关于的对称点，连接、，可得的长度就是的最小值，再根据平行四边形的判定与性质可得，然后结合三角形的三边关系定理即可得．
【详解】
（1）∵四边形是矩形，
．
∴在与中，，
，
同理证得，则．
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．
理由：如图，作G关于的对称点，连接、、．
则由对称的性质知：，
∴
∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴的长度就是的最小值
∵EF+FG是四边形周长的一半
∴四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．
67．（1）证明见解析；（2）3
【分析】
（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证AB＝AD，即可得出结论；
（2）证△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，再由菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，证∠E＝∠EAO，得OE＝OA，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE=OB，
∴OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出AB=AD是解题的关键
68．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DF，从而得出∠BAF=∠F，然后根据等边对等角可得∠DAF=∠F，从而证出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=60°，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，利用AAS证出≌，可得=，AE=2，利用勾股定理求出DE，然后推导出S四边形ABCD=即可求出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥DF
∴∠BAF=∠F
∵
∴∠DAF=∠F
∴∠BAF=∠DAF
∴平分；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ADC=∠B=60°
∵
∴为等边三角形
∴=AF=4
∵点为中点，
∴BE=CE，
∵∠BAF=∠F，∠AEB=∠FEC
∴≌
∴=，AE=EF==2
∴DE⊥AF，DE=
∴S四边形ABCD=＋S四边形AECD
=＋S四边形AECD
=
=
=
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
答案第1页，共2页