【精品解析】浙江省绍兴市柯桥区杨汛桥中学2020-2021学年八年级下学期数学回头考试试卷

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名称 【精品解析】浙江省绍兴市柯桥区杨汛桥中学2020-2021学年八年级下学期数学回头考试试卷
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2022-03-02 15:30:09

文档简介

浙江省绍兴市柯桥区杨汛桥中学2020-2021学年八年级下学期数学回头考试试卷
一、单选题
1.(2021八下·柯桥开学考)下列计算正确的是(  )
A. B. C. D.
2.(2021八下·柯桥开学考)方程的二次项系数、一次项系数,常数项分别为(  )
A.3,5,7 B.3,, C.3,,7 D.3,5,
3.(2021八下·柯桥开学考)等腰三角形中有一个角为100°,则其底角为(  )
A.50° B.40° C.40°或100° D.50°或100°
4.(2021八下·柯桥开学考)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )
A. B.
C. D.
5.(2021八下·柯桥开学考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=12,AB=5.分别以A,C为圆心,以大于线段AC长度的一半为半径作弧,两弧相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AC于点D,连结BD,则△ABD的周长为(  )
A.13 B.17 C.18 D.25
6.(2021八下·柯桥开学考)若关于的一元二次方程的一个根为,则代数式的值为(  )
A.9 B. C.0 D.3
7.(2020九上·道外期中)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是(  )
A. B.
C. D.
8.(2020八上·余姚期末)某天,某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学,汽车离开余姚图书馆的距离 (千米)与所用时间 (分)之间的函数关系如图所示.已知汽车在途中停车加油一次,则下列描述不正确的是(  )
A.汽车在途中加油用了10分钟
B.若 ,则加满油以后的速度为80千米/小时
C.若汽车加油后的速度是90千米/小时,则
D.该同学 到达宁波大学
9.(2020八上·余杭期末)如图,直线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,则关于 的不等式组 的解为(  )
A. B. C. D.
10.(2021八下·柯桥开学考)已知直线l:y=k1x和直线l2:y=k2x﹣8k2在同一个坐标系内互相垂直,垂足为P,在此坐标系有一个固定的点Q(﹣2,﹣8),下面关于PQ的长描述正确的是(  )
A.PQ最大值为16 B.PQ最大值为14
C.PQ最小值为8 D.PQ最小值为7
二、填空题
11.(2020八上·余杭期末)点 在第   象限.
12.(2021·余杭模拟)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是   
13.(2021八下·柯桥开学考)已知等腰三角形的底边长为9,腰是方程的一个根,这个三角形的周长是   .
14.(2021八下·柯桥开学考)若x=+1,y=﹣1,则的值为   .
15.(2021八下·柯桥开学考)如图,直角△ABC中,∠A=90°,CD=DE=BE,当∠ACD=21°时,∠B=   .
16.(2021八下·柯桥开学考)某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田,用来种植蔬菜.如图,试验田一面靠墙,墙长35m,另外三面用49m长的篱围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm,则所列方程为   .
17.(2021八下·柯桥开学考)将一副三角尺按如图所示叠放在一起,若AB=12cm,则阴影部分的面积是   cm2.
18.(2020八上·余杭期末)已知关于 的不等式组 恰好有2个整数解,则整数 的值是   .
19.(2021八下·柯桥开学考)如图,△ABC中,∠A=15°,AB是定长.点D,E分别在AB,AC上运动,连结BE,ED.若BE+ED的最小值是4,则AB的长是   .
20.(2021八下·柯桥开学考)如图,在△ABC中,AC=BC=13,AB=24,D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,当△ADE为直角三角形时,则AD的长为   .
三、解答题
21.(2021八下·柯桥开学考)
(1)计算
(2)解不等式≤﹣1,并把解集在数轴上表示出来.
22.(2021八下·柯桥开学考)解方程:
(1)x2+2x﹣3=0;
(2)3x(x﹣1)=2(1﹣x).
23.(2021八下·柯桥开学考)如图,点C、F、E、B在同一直线上,点A、D分别在BC两侧,AB∥CD,BE=CF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=DC;
(2)若AB=CE,∠B=30°,求∠D的度数.
24.(2021八下·柯桥开学考)已知三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图:
(1)分别写出点A、A′的坐标:A    ,A′   ;
(2)若点P(m,n)是三角形ABC内部一点,则平移后三角形A′B′C′内的对应点P′的坐标为   ;线段PP′的长度为   ;
25.(2021八下·柯桥开学考)已知一次函数y=kx+b的图象过(1,1)和(2, 1).
(1)求一次函数y=kx+b的解析式;
(2)求直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积.
26.(2018九上·恩阳期中)已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求实数 的取值范围;
(2)设 、 是方程的两根,是否存在实数 使得 成立?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.
27.(2021八下·柯桥开学考)某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个,经过市场调查发现,这种商品最多只能卖500个.若每个售价提高1元,其销售量就会减少10个,商场为了保证经营该商品赚得8 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益,售价应定为多少?这时应进货多少个?
28.(2021八下·柯桥开学考)教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
(1)问题解决:请根据教材分析,结合图①写出证明过程.
(2)类比探究一:如图②,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,点M,N分别在OB和OA上,连接PM和PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求证:PM=PN;
(3)类比探究二:如图③,中,BD平分∠ABC交AC于点D,若∠ABC=60°,∠C=45°,DC=,直接写出的面积.
29.(2021八下·柯桥开学考)如图,在直角坐标平面内,点是坐标原点,点坐标为,将直线绕点顺时针旋转后得到直线.
(1)求直线的表达式;
(2)求的值;
(3)在直线上有一点,其纵坐标为1.若轴上存在点,使是等腰三角形,请直接写出满足要求的点的坐标.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简;二次根式的乘除法;二次根式的加减法
【解析】【解答】解:A、,故原式错误,A选项不符合题意;
B、,故原式错误,B选项不符合题意;
C、,故原式错误,C选项不符合题意;
D、,故原式正确,D选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】由二次根式的性质“、”可判断A、B;由合并同类二次根式的方法:只把二次根式的系数相加减,根指数及被开方数不变,可判断C;根据二次根式的乘法法则:(a≥0,b≥0)可对D进行判断.
2.【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0,
其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3,-5,-7,
故答案为:B.
【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)”其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,据此移项将原方程化为一般形式,可求解.
3.【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵等腰三角形的一个角100°,
∴100°的角是顶角,
∴底角是×(180°﹣100°)=40°,
故答案为:B.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等可知底角不能为100°,所以100°只能是顶角,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解.
4.【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解:∵
∴解集是-2<x<1,
在数轴上可表示为:
.
故答案为:C.
【分析】在数轴上表示解集时,根据“<”空心向左、“>”空心向右并结合各选项即可求解.
5.【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;作图-线段垂直平分线;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:由题意知,EF是线段AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴BD是Rt△ABC斜边AC上的中线
∴AD=CD=BD
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC
在Rt△ABC中,由勾股定理
∴△ABD的周长为AB+AC=5+13=18
故答案为:C.
【分析】由作图知,EF是线段AC的垂直平分线,由线段的垂直平分线段上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD=BD,则△ABD的周长AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC的值即可求解.
6.【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2,
∴a×(-2)2+b×(-2)+6=0,
化简,得2a-b+3=0,
∴2a-b=-3,
∴6a-3b+6=3(2a-b)+6=-9+6=-3,
故答案为:B.
【分析】由题意把x=-2代入方程可得2a-b+6=0,将所求代数式变形得原式=3(2a-b)+6,再整体代换即可求解.
7.【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意可得方程为 ;
故答案为:B.
【分析】根据某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元, 列方程求解即可。
8.【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解:A选项中,从图象可知AB段为停车加油,时间为10分钟,故该选项正确;
B选项中,若 ,说明加油前后速度相同,全程60千米,除去加油的时间行驶了45分钟,速度为 ,故该选项正确;
C选项中,若汽车加油后的速度是90千米/小时,则BC段行驶的路程为 ,所以OA段的路程为60-30=30km,则 ,故该选项错误;
D选项中,该同学8点出发,用了55分钟到达,故该选项正确.
故答案为:C
【分析】由函数图象可知横坐标表示时间、纵坐标表示距离,而函数图象不是平滑曲线,所以结合各选项分段分析即可求解.
9.【答案】A
【知识点】一次函数与不等式(组)的综合应用;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解:∵

解得
∵直线 与直线 交于点



解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为:-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时,


∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知, 的解集是 .
故答案为:A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标,后画出函数图象,根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
10.【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题;圆周角定理
【解析】【解答】解:由题意可得:直线l:y=k1x经过O(0,0)和直线l2:y=k2x﹣8k2经过A(8,0)
∵两直线垂直,且交于点P,
∴点P在以OA为直径的圆上,圆心C(4,0),半径为4,
∵ ,
∴PQ的最大值=10+4=14,PQ的最小值=10-4=6,
故答案为:B.
【分析】由题意直线l2:y=k2x 8k2过定点A(8,0),因为OP⊥AP可得∠OPA=90°,于是可知点P在以OA为直径的⊙C上运动,当Q、C、P共线时,可得PQ最小值或最大值.
11.【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:点 在第四象限.
故答案为:四.
【分析】在平面直角坐标系中,坐标轴把平面分为四个象限,第一象限的点(+,+),第二象限的点(-,+)第三象限的点(-,-)第四象限的点(+,-)。
12.【答案】x≤5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得: ,
解得x≤5,
故答案为x≤5.
【分析】利用二次根式有意义则被开方数是非负数,建立关于x的不等式,求出不等式的解集.
13.【答案】21
【知识点】一元二次方程的根;三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:(x-4)(x-6)=0,
∴x1=4,x2=6,
因为等腰三角形的底边长是9,
所以腰长只能是6,周长=9+6+6=21.
故答案为:21.
【分析】用因式分解法可将一元二次方程化为两个一元一次方程,解方程可求方程的两个根,再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理可确定腰和底边长,然后根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
14.【答案】
【知识点】分式的化简求值;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:
当x=+1,y=﹣1时,
所以的值为
故答案为:.
【分析】用平方差公式将分式的分母分解因式并约分化简,再将x、y的值代入化简后的分式计算即可求解.
15.【答案】23°.
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵∠A=90°,CD=DE=BE


∴,
∵∠ACD=21°
∴∠B=23°
故答案为:23°.
【分析】由等边对等角及三角形外角性质可得2∠B=∠DEC=∠DCE,在Rt△ABC中,根据直角三角形两锐角互余可得关于∠B的方程,解方程可求解.
16.【答案】x(49+1-2x)=200
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解:设当试验田垂直于墙的一边长为xm时,则另一边的长度为(49+1﹣2x)m,
依题意得:x(49+1﹣2x)=200,
故答案为:x(49+1﹣2x)=200.
【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时,则另一边的长度为(49+1﹣2x)m,根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程.
17.【答案】18
【知识点】三角形的面积;含30°角的直角三角形;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:∵∠B=30°,∠ACB=90°,AB=12cm,
∴AC=6cm.
由题意可知BC∥ED,
∴∠AFC=∠ADE=45°,
∴AC=CF=6cm.
故S△ACF=×6×6=18(cm2).
故答案为:18.
【分析】根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半算出AC的长,由平行线的性质和已知条件可得∠AFC=∠ADE=45°,由等角对等边可得AC=CF,然后根据S△ACF=AC·CF可求解.
18.【答案】-4,-3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:解得不等式组 的解集为: 且
∵不等式组只有2个整数解
∴不等式组的整数解是:2,3

∴ ,
∵a为整数
∴整数 的值是-4, -3
故答案为:-4,-3
【分析】首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围.
19.【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:作点B关于AC的对称点B',过B'作B'D'⊥AB,交AC与点E',连接BE'
∵点B关于AC的对称点B',
∴∠B'AE=∠CAB=15°,BE'= B'E'
∴∠B'AB=30°,
∵B'D'⊥AB,
当点E与E',点D与点D'重合时,BE+ED时,值最小,
∴B'D'即为BE+ED的最小值,
即B'D'=4,
∵B'D'⊥AB,∠B'AB=30°
∴AB= A'B'=8,
故答案为:8.
【分析】作点B关于AC的对称点B',过B'作B'D'⊥AB,交AC与点E',连接BE',由轴对称的性质易得∠B'AB=30°,而B'D'⊥AB,于是可知当点E与E',点D与点D'重合时,BE+ED=BD时,B'D'即为BE+ED的最小值,再根据直角三角形的性质可求解.
20.【答案】7或17
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:作CF⊥AB于F,
∵在△ABC中,AC=BC=13,AB=24,
∴AF=12,
∴CF==5,
①如图1,当点D在AF上时,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADC=∠EDC=(360°﹣90°)÷2=135°.
∴∠CDF=45°.
∴CF=DF.
∴AD=AF﹣DF=AF﹣CF=12﹣5=7.
②如图2,当点D在BF上时,
∵∠ADE=90°,
∴∠CDF=45°.
∴CF=DF.
∴AD=AF+DF=AF+CF=12+5=17.
故答案为:7或17.
【分析】作CF⊥AB于F,在Rt△ACF中,用勾股定理可求得CF的值;由题意分两种情况:①如图1,当点D在AF上时,由线段的构成AD=AF﹣DF=AF﹣CF可求解;②如图2,当点D在BF上时,由线段的构成AD=AF+DF=AF+CF可求解.
21.【答案】(1)解:原式=.
(2)解:去分母得;2﹣x≤3(x+1)﹣6,
去括号得:2﹣x≤3x+3﹣6,
移项得:﹣x﹣3x≤3﹣6﹣2,
合并同类项得:﹣4x≤﹣5,
系数化为1得:,
用数轴表示为:
.
【知识点】二次根式的混合运算;解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)先将各个二次根式化简,再合并括号内的同类二次根式,进而计算二次根式的乘法即可得出答案;
(2)根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求得不等式的解集;在数轴上表示解集时,再根据“≥”实心向右即可求解.
22.【答案】(1)解:∵x2+2x﹣3=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
则x+3=0或x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=1;
(2)解:∵3x(x﹣1)=2(1﹣x),
∴3x(x﹣1)=﹣2(x﹣1),
∴3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0,
则(x﹣1)(3x+2)=0,
∴x﹣1=0或3x+2=0,
解得x1=1,x2=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)此方程是一元二次方程的一般形式,将方程的左边利用十字相乘法分解因式,根据两个因式的乘积等于0,则至少有一个因式等于0,从而将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可得出原方程的解;
(2)先将方程的右边整体移到方程的左边,提公因式(x-1)将方程的左边分解因式,根据两个因式的乘积等于0,则至少有一个因式等于0,从而将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
23.【答案】(1)证明:∵,
∴∠B=∠C,
∵BE=CF,
∴,
在△ABF和△CDE中,

∴△ABF≌△CDE(AAS),
∴AB=CD;
(2)解:∵△ABF≌△CDE,
∴AB=CD,BF=CE,
∵AB=CE,∠B=30°,
∴AB=BF,
∴∠A=∠AFB,
∴△ABF是等腰三角形,
∴∠A=,
∴∠D=∠A=75°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠B=∠C,根据BE=CF可得BF=CE,从而用AAS证△ABF≌△CDE,由全等三角形的对应边相等可求解;
(2)由(1)中的全等三角形的性质可得AB=CD,BF=CE,结合已知易证△ABF是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
24.【答案】(1)(1,0);(﹣4,4)
(2)(m﹣5,n+4);
【知识点】勾股定理;平移的性质;坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解:(1)观察图象可知A(1,0),A′(﹣4,4).
故答案为:(1,0),(﹣4,4);
(2)由题意△A′B′C′是由△ABC向左平移5个单位,向上平移4个单位得到,
∴P′(m﹣5,n+4),
PP′=AA′=,
故答案为:(m﹣5,n+4),.
【分析】(1)根据点A、A'在平面直角坐标系中的位置可求解;
(2)根据点的平移的坐标变化规律“左减右加,上加下减”可求得点P 的坐标,根据平移的性质可得PP′=AA′,进而用勾股定理可求得PP 的值.
25.【答案】(1)解:∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2, 1),
解得k= -2,b=3
一次函数解析式为:y= 2x+3.
(2)解:y= 2x+3与x轴、y轴交点的坐标分别为(,0)、(0,3),
与坐标轴围成的三角形的面积S=×3×=.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】(1)把A(1,1),B(2, 1)代入一次函数y=kx+b,可得关于k、b的方程组,解方程组即可求得k、b的值,即可得一次函数的解析式;
(2)由(1)的解析式,求出与x轴、y轴交点的坐标,然后用三角形的面积计算公式计算即可求解.
26.【答案】(1)解:∵方程 有两个不相等的实数根,
∴ ,即: ,
解得: ,
又∵ ,
∴ 的取值范围是: 且 ;
(2)解:假设存在实数 使得 成立:
∵ , ,
∴ ,
解得: , ,
由 知: 且 ,
∴ ,
即:当 时, 成立.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根,即可得到方程根的判别式为0,求出k的范围;
(2)根据题意,由方程根与系数的关系得到两个根的积与和,根据完全平方公式的性质进行计算即可。
27.【答案】解:设每个售价提高x元,由题意可得方程:
(50+x-40)(500-10x)=8000,
整理得:x2-40x+300=0 ,
解得:x1=10 , x2=30.
为尽量兼顾顾客的利益,取x=10,
50+10=60 即:售价应定为每个60元.
这时应进货:500-100=400 (个).
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 由题意根据等量关系"(每件的售价 每件的进价)×(原来卖出的数量 10×超过50元的售价)=8000"可得关于x的方程,解方程求出x的值,然后根据进货应超过销售量,不超过最多销售量可求得应进货的数量.
28.【答案】(1)证明:∵OC是∠AOB的平分线,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴PD=PE;
(2)证明:如图,
过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,
∵OC是∠AOB的平分线,PE⊥OB,PF⊥OA,
∴PE=PF,
∵∠PMO+∠PME=180°,∠PMO+∠PNO=180°,
∴∠PME=∠PNO,
在和中,

∴,
∴PM=PN;
(3)解:△ABD的面积为1.
【知识点】角平分线的性质;含30°角的直角三角形;等腰直角三角形;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】(3)解:如图,
过点D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,
在中,∠C=45°,,
∴DH=DC=1,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
∴,
在中,∠ABC=60°,∠C=45°,
∴,
由三角形的外角性质可知,∠BDA=∠DBC+∠C=75°,
∴∠BDA=∠A,
∴BA=BD=2,
∵BD平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DG=DH=1,
∴的面积.
【分析】(1)用角角边可证△OPE≌△OPD,根据全等三角形的性质可求解;
(2)过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,根据角平分线的性质得到PE=PF,根据同角的补角相等得∠PME=∠PNO,用角角边可证△PME≌△PNF,根据全等三角形的性质可求解;
(3)过点D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,根据等腰直角三角形的性质得DH=DC,由含30°角的直角三角形的性质可求得BD的值,根据三角形内角和定理、三角形的外角性质得∠BDA=∠A,根据等腰三角形的性质求出BA,根据角平分线的性质求出DG,根据三角形的面积公式计算即可求解.
29.【答案】(1)解:设直线OA的解析式为y=mx,将点A坐标代入,得
3m=4,
解得m=,
∴直线OA的解析式为y=x;
(2)解:如图,作AE⊥OA交直线y=kx于E,AD⊥x轴于D,EH⊥AD于H,
∵∠AOE=,∠OAE=,
∴∠AEO=∠AOE=,
∴OA=AE,
∵AD⊥x,EH⊥AD,
∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=,
∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=,
∴∠OAD=∠AEH,
∴△OAD≌△AEH,
∴AH=OD=3,EH=AD=4,
∴HD=1,
∴点E的坐标为(7,1),
将点E的坐标代入y=kx中,得7k=1,
解得k=;
(3)解:∵点B在直线y=x上,纵坐标为1,
∴点B与点E重合,即B(7,1),
∵A(3,4),B(7,1),
∴AB=,
分三种情况:
①当AC=BC时,作CM⊥AB,则AM=BM,
∴M(5,2.5),
∵CM∥OA,
∴设直线CM的解析式为y=x+n,
∴,
解得n=,
∴y=x,
当y=0时,x=0,解得x=,
∴点C的坐标为(,0);
②当AB=AC=5时,
∵OA=AB,
∴AC=OA,
∴OC=6,
∴点C的坐标为(6,0);
③当AB=BC=5时,作BN⊥x轴于N,
.
∵ON=7,BN=1,BC=5,
∴CN==,
∴OC=ON+CN=,
∴点C的坐标为(,0),
综上,当△ABC是等腰三角形时,点C的坐标为(,0)或(6,0)或(,0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;等腰三角形的性质;等腰直角三角形;三角形全等的判定(AAS);直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】(1)用待定系数法可求解;
(2)过点A作AE⊥OA交直线y=kx于E,AD⊥x轴于D,EH⊥AD于H,用AAS可证△AOD≌△EAH,可得AH=OD,EH=AD,所以HD=AD-AH,则可得点E的坐标,代入解析式计算可求k的值;
(3)由题意可分三种情况讨论: ①当AC=BC时,作CM⊥AB,则AM=BM,②当AB=AC=5时,③当AB=BC=5时,作BN⊥x轴于N,利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区杨汛桥中学2020-2021学年八年级下学期数学回头考试试卷
一、单选题
1.(2021八下·柯桥开学考)下列计算正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简;二次根式的乘除法;二次根式的加减法
【解析】【解答】解:A、,故原式错误,A选项不符合题意;
B、,故原式错误,B选项不符合题意;
C、,故原式错误,C选项不符合题意;
D、,故原式正确,D选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】由二次根式的性质“、”可判断A、B;由合并同类二次根式的方法:只把二次根式的系数相加减,根指数及被开方数不变,可判断C;根据二次根式的乘法法则:(a≥0,b≥0)可对D进行判断.
2.(2021八下·柯桥开学考)方程的二次项系数、一次项系数,常数项分别为(  )
A.3,5,7 B.3,, C.3,,7 D.3,5,
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0,
其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3,-5,-7,
故答案为:B.
【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)”其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,据此移项将原方程化为一般形式,可求解.
3.(2021八下·柯桥开学考)等腰三角形中有一个角为100°,则其底角为(  )
A.50° B.40° C.40°或100° D.50°或100°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵等腰三角形的一个角100°,
∴100°的角是顶角,
∴底角是×(180°﹣100°)=40°,
故答案为:B.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等可知底角不能为100°,所以100°只能是顶角,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解.
4.(2021八下·柯桥开学考)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解:∵
∴解集是-2<x<1,
在数轴上可表示为:
.
故答案为:C.
【分析】在数轴上表示解集时,根据“<”空心向左、“>”空心向右并结合各选项即可求解.
5.(2021八下·柯桥开学考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=12,AB=5.分别以A,C为圆心,以大于线段AC长度的一半为半径作弧,两弧相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AC于点D,连结BD,则△ABD的周长为(  )
A.13 B.17 C.18 D.25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;作图-线段垂直平分线;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:由题意知,EF是线段AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴BD是Rt△ABC斜边AC上的中线
∴AD=CD=BD
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC
在Rt△ABC中,由勾股定理
∴△ABD的周长为AB+AC=5+13=18
故答案为:C.
【分析】由作图知,EF是线段AC的垂直平分线,由线段的垂直平分线段上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD=BD,则△ABD的周长AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC的值即可求解.
6.(2021八下·柯桥开学考)若关于的一元二次方程的一个根为,则代数式的值为(  )
A.9 B. C.0 D.3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2,
∴a×(-2)2+b×(-2)+6=0,
化简,得2a-b+3=0,
∴2a-b=-3,
∴6a-3b+6=3(2a-b)+6=-9+6=-3,
故答案为:B.
【分析】由题意把x=-2代入方程可得2a-b+6=0,将所求代数式变形得原式=3(2a-b)+6,再整体代换即可求解.
7.(2020九上·道外期中)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意可得方程为 ;
故答案为:B.
【分析】根据某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元, 列方程求解即可。
8.(2020八上·余姚期末)某天,某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学,汽车离开余姚图书馆的距离 (千米)与所用时间 (分)之间的函数关系如图所示.已知汽车在途中停车加油一次,则下列描述不正确的是(  )
A.汽车在途中加油用了10分钟
B.若 ,则加满油以后的速度为80千米/小时
C.若汽车加油后的速度是90千米/小时,则
D.该同学 到达宁波大学
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解:A选项中,从图象可知AB段为停车加油,时间为10分钟,故该选项正确;
B选项中,若 ,说明加油前后速度相同,全程60千米,除去加油的时间行驶了45分钟,速度为 ,故该选项正确;
C选项中,若汽车加油后的速度是90千米/小时,则BC段行驶的路程为 ,所以OA段的路程为60-30=30km,则 ,故该选项错误;
D选项中,该同学8点出发,用了55分钟到达,故该选项正确.
故答案为:C
【分析】由函数图象可知横坐标表示时间、纵坐标表示距离,而函数图象不是平滑曲线,所以结合各选项分段分析即可求解.
9.(2020八上·余杭期末)如图,直线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,则关于 的不等式组 的解为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式(组)的综合应用;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解:∵

解得
∵直线 与直线 交于点



解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为:-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时,


∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知, 的解集是 .
故答案为:A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标,后画出函数图象,根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
10.(2021八下·柯桥开学考)已知直线l:y=k1x和直线l2:y=k2x﹣8k2在同一个坐标系内互相垂直,垂足为P,在此坐标系有一个固定的点Q(﹣2,﹣8),下面关于PQ的长描述正确的是(  )
A.PQ最大值为16 B.PQ最大值为14
C.PQ最小值为8 D.PQ最小值为7
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题;圆周角定理
【解析】【解答】解:由题意可得:直线l:y=k1x经过O(0,0)和直线l2:y=k2x﹣8k2经过A(8,0)
∵两直线垂直,且交于点P,
∴点P在以OA为直径的圆上,圆心C(4,0),半径为4,
∵ ,
∴PQ的最大值=10+4=14,PQ的最小值=10-4=6,
故答案为:B.
【分析】由题意直线l2:y=k2x 8k2过定点A(8,0),因为OP⊥AP可得∠OPA=90°,于是可知点P在以OA为直径的⊙C上运动,当Q、C、P共线时,可得PQ最小值或最大值.
二、填空题
11.(2020八上·余杭期末)点 在第   象限.
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:点 在第四象限.
故答案为:四.
【分析】在平面直角坐标系中,坐标轴把平面分为四个象限,第一象限的点(+,+),第二象限的点(-,+)第三象限的点(-,-)第四象限的点(+,-)。
12.(2021·余杭模拟)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是   
【答案】x≤5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得: ,
解得x≤5,
故答案为x≤5.
【分析】利用二次根式有意义则被开方数是非负数,建立关于x的不等式,求出不等式的解集.
13.(2021八下·柯桥开学考)已知等腰三角形的底边长为9,腰是方程的一个根,这个三角形的周长是   .
【答案】21
【知识点】一元二次方程的根;三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:(x-4)(x-6)=0,
∴x1=4,x2=6,
因为等腰三角形的底边长是9,
所以腰长只能是6,周长=9+6+6=21.
故答案为:21.
【分析】用因式分解法可将一元二次方程化为两个一元一次方程,解方程可求方程的两个根,再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理可确定腰和底边长,然后根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
14.(2021八下·柯桥开学考)若x=+1,y=﹣1,则的值为   .
【答案】
【知识点】分式的化简求值;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:
当x=+1,y=﹣1时,
所以的值为
故答案为:.
【分析】用平方差公式将分式的分母分解因式并约分化简,再将x、y的值代入化简后的分式计算即可求解.
15.(2021八下·柯桥开学考)如图,直角△ABC中,∠A=90°,CD=DE=BE,当∠ACD=21°时,∠B=   .
【答案】23°.
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵∠A=90°,CD=DE=BE


∴,
∵∠ACD=21°
∴∠B=23°
故答案为:23°.
【分析】由等边对等角及三角形外角性质可得2∠B=∠DEC=∠DCE,在Rt△ABC中,根据直角三角形两锐角互余可得关于∠B的方程,解方程可求解.
16.(2021八下·柯桥开学考)某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田,用来种植蔬菜.如图,试验田一面靠墙,墙长35m,另外三面用49m长的篱围成,其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆).设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm,则所列方程为   .
【答案】x(49+1-2x)=200
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解:设当试验田垂直于墙的一边长为xm时,则另一边的长度为(49+1﹣2x)m,
依题意得:x(49+1﹣2x)=200,
故答案为:x(49+1﹣2x)=200.
【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时,则另一边的长度为(49+1﹣2x)m,根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程.
17.(2021八下·柯桥开学考)将一副三角尺按如图所示叠放在一起,若AB=12cm,则阴影部分的面积是   cm2.
【答案】18
【知识点】三角形的面积;含30°角的直角三角形;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:∵∠B=30°,∠ACB=90°,AB=12cm,
∴AC=6cm.
由题意可知BC∥ED,
∴∠AFC=∠ADE=45°,
∴AC=CF=6cm.
故S△ACF=×6×6=18(cm2).
故答案为:18.
【分析】根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半算出AC的长,由平行线的性质和已知条件可得∠AFC=∠ADE=45°,由等角对等边可得AC=CF,然后根据S△ACF=AC·CF可求解.
18.(2020八上·余杭期末)已知关于 的不等式组 恰好有2个整数解,则整数 的值是   .
【答案】-4,-3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解:解得不等式组 的解集为: 且
∵不等式组只有2个整数解
∴不等式组的整数解是:2,3

∴ ,
∵a为整数
∴整数 的值是-4, -3
故答案为:-4,-3
【分析】首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围.
19.(2021八下·柯桥开学考)如图,△ABC中,∠A=15°,AB是定长.点D,E分别在AB,AC上运动,连结BE,ED.若BE+ED的最小值是4,则AB的长是   .
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:作点B关于AC的对称点B',过B'作B'D'⊥AB,交AC与点E',连接BE'
∵点B关于AC的对称点B',
∴∠B'AE=∠CAB=15°,BE'= B'E'
∴∠B'AB=30°,
∵B'D'⊥AB,
当点E与E',点D与点D'重合时,BE+ED时,值最小,
∴B'D'即为BE+ED的最小值,
即B'D'=4,
∵B'D'⊥AB,∠B'AB=30°
∴AB= A'B'=8,
故答案为:8.
【分析】作点B关于AC的对称点B',过B'作B'D'⊥AB,交AC与点E',连接BE',由轴对称的性质易得∠B'AB=30°,而B'D'⊥AB,于是可知当点E与E',点D与点D'重合时,BE+ED=BD时,B'D'即为BE+ED的最小值,再根据直角三角形的性质可求解.
20.(2021八下·柯桥开学考)如图,在△ABC中,AC=BC=13,AB=24,D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,当△ADE为直角三角形时,则AD的长为   .
【答案】7或17
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:作CF⊥AB于F,
∵在△ABC中,AC=BC=13,AB=24,
∴AF=12,
∴CF==5,
①如图1,当点D在AF上时,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADC=∠EDC=(360°﹣90°)÷2=135°.
∴∠CDF=45°.
∴CF=DF.
∴AD=AF﹣DF=AF﹣CF=12﹣5=7.
②如图2,当点D在BF上时,
∵∠ADE=90°,
∴∠CDF=45°.
∴CF=DF.
∴AD=AF+DF=AF+CF=12+5=17.
故答案为:7或17.
【分析】作CF⊥AB于F,在Rt△ACF中,用勾股定理可求得CF的值;由题意分两种情况:①如图1,当点D在AF上时,由线段的构成AD=AF﹣DF=AF﹣CF可求解;②如图2,当点D在BF上时,由线段的构成AD=AF+DF=AF+CF可求解.
三、解答题
21.(2021八下·柯桥开学考)
(1)计算
(2)解不等式≤﹣1,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】(1)解:原式=.
(2)解:去分母得;2﹣x≤3(x+1)﹣6,
去括号得:2﹣x≤3x+3﹣6,
移项得:﹣x﹣3x≤3﹣6﹣2,
合并同类项得:﹣4x≤﹣5,
系数化为1得:,
用数轴表示为:
.
【知识点】二次根式的混合运算;解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)先将各个二次根式化简,再合并括号内的同类二次根式,进而计算二次根式的乘法即可得出答案;
(2)根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”可求得不等式的解集;在数轴上表示解集时,再根据“≥”实心向右即可求解.
22.(2021八下·柯桥开学考)解方程:
(1)x2+2x﹣3=0;
(2)3x(x﹣1)=2(1﹣x).
【答案】(1)解:∵x2+2x﹣3=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
则x+3=0或x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=1;
(2)解:∵3x(x﹣1)=2(1﹣x),
∴3x(x﹣1)=﹣2(x﹣1),
∴3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0,
则(x﹣1)(3x+2)=0,
∴x﹣1=0或3x+2=0,
解得x1=1,x2=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)此方程是一元二次方程的一般形式,将方程的左边利用十字相乘法分解因式,根据两个因式的乘积等于0,则至少有一个因式等于0,从而将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可得出原方程的解;
(2)先将方程的右边整体移到方程的左边,提公因式(x-1)将方程的左边分解因式,根据两个因式的乘积等于0,则至少有一个因式等于0,从而将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
23.(2021八下·柯桥开学考)如图,点C、F、E、B在同一直线上,点A、D分别在BC两侧,AB∥CD,BE=CF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=DC;
(2)若AB=CE,∠B=30°,求∠D的度数.
【答案】(1)证明:∵,
∴∠B=∠C,
∵BE=CF,
∴,
在△ABF和△CDE中,

∴△ABF≌△CDE(AAS),
∴AB=CD;
(2)解:∵△ABF≌△CDE,
∴AB=CD,BF=CE,
∵AB=CE,∠B=30°,
∴AB=BF,
∴∠A=∠AFB,
∴△ABF是等腰三角形,
∴∠A=,
∴∠D=∠A=75°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠B=∠C,根据BE=CF可得BF=CE,从而用AAS证△ABF≌△CDE,由全等三角形的对应边相等可求解;
(2)由(1)中的全等三角形的性质可得AB=CD,BF=CE,结合已知易证△ABF是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
24.(2021八下·柯桥开学考)已知三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图:
(1)分别写出点A、A′的坐标:A    ,A′   ;
(2)若点P(m,n)是三角形ABC内部一点,则平移后三角形A′B′C′内的对应点P′的坐标为   ;线段PP′的长度为   ;
【答案】(1)(1,0);(﹣4,4)
(2)(m﹣5,n+4);
【知识点】勾股定理;平移的性质;坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解:(1)观察图象可知A(1,0),A′(﹣4,4).
故答案为:(1,0),(﹣4,4);
(2)由题意△A′B′C′是由△ABC向左平移5个单位,向上平移4个单位得到,
∴P′(m﹣5,n+4),
PP′=AA′=,
故答案为:(m﹣5,n+4),.
【分析】(1)根据点A、A'在平面直角坐标系中的位置可求解;
(2)根据点的平移的坐标变化规律“左减右加,上加下减”可求得点P 的坐标,根据平移的性质可得PP′=AA′,进而用勾股定理可求得PP 的值.
25.(2021八下·柯桥开学考)已知一次函数y=kx+b的图象过(1,1)和(2, 1).
(1)求一次函数y=kx+b的解析式;
(2)求直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1)解:∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2, 1),
解得k= -2,b=3
一次函数解析式为:y= 2x+3.
(2)解:y= 2x+3与x轴、y轴交点的坐标分别为(,0)、(0,3),
与坐标轴围成的三角形的面积S=×3×=.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】(1)把A(1,1),B(2, 1)代入一次函数y=kx+b,可得关于k、b的方程组,解方程组即可求得k、b的值,即可得一次函数的解析式;
(2)由(1)的解析式,求出与x轴、y轴交点的坐标,然后用三角形的面积计算公式计算即可求解.
26.(2018九上·恩阳期中)已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求实数 的取值范围;
(2)设 、 是方程的两根,是否存在实数 使得 成立?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:∵方程 有两个不相等的实数根,
∴ ,即: ,
解得: ,
又∵ ,
∴ 的取值范围是: 且 ;
(2)解:假设存在实数 使得 成立:
∵ , ,
∴ ,
解得: , ,
由 知: 且 ,
∴ ,
即:当 时, 成立.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根,即可得到方程根的判别式为0,求出k的范围;
(2)根据题意,由方程根与系数的关系得到两个根的积与和,根据完全平方公式的性质进行计算即可。
27.(2021八下·柯桥开学考)某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个,经过市场调查发现,这种商品最多只能卖500个.若每个售价提高1元,其销售量就会减少10个,商场为了保证经营该商品赚得8 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益,售价应定为多少?这时应进货多少个?
【答案】解:设每个售价提高x元,由题意可得方程:
(50+x-40)(500-10x)=8000,
整理得:x2-40x+300=0 ,
解得:x1=10 , x2=30.
为尽量兼顾顾客的利益,取x=10,
50+10=60 即:售价应定为每个60元.
这时应进货:500-100=400 (个).
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 由题意根据等量关系"(每件的售价 每件的进价)×(原来卖出的数量 10×超过50元的售价)=8000"可得关于x的方程,解方程求出x的值,然后根据进货应超过销售量,不超过最多销售量可求得应进货的数量.
28.(2021八下·柯桥开学考)教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
(1)问题解决:请根据教材分析,结合图①写出证明过程.
(2)类比探究一:如图②,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,点M,N分别在OB和OA上,连接PM和PN,若∠PMO+∠PNO=180°,求证:PM=PN;
(3)类比探究二:如图③,中,BD平分∠ABC交AC于点D,若∠ABC=60°,∠C=45°,DC=,直接写出的面积.
【答案】(1)证明:∵OC是∠AOB的平分线,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴PD=PE;
(2)证明:如图,
过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,
∵OC是∠AOB的平分线,PE⊥OB,PF⊥OA,
∴PE=PF,
∵∠PMO+∠PME=180°,∠PMO+∠PNO=180°,
∴∠PME=∠PNO,
在和中,

∴,
∴PM=PN;
(3)解:△ABD的面积为1.
【知识点】角平分线的性质;含30°角的直角三角形;等腰直角三角形;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】(3)解:如图,
过点D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,
在中,∠C=45°,,
∴DH=DC=1,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
∴,
在中,∠ABC=60°,∠C=45°,
∴,
由三角形的外角性质可知,∠BDA=∠DBC+∠C=75°,
∴∠BDA=∠A,
∴BA=BD=2,
∵BD平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC,
∴DG=DH=1,
∴的面积.
【分析】(1)用角角边可证△OPE≌△OPD,根据全等三角形的性质可求解;
(2)过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F,根据角平分线的性质得到PE=PF,根据同角的补角相等得∠PME=∠PNO,用角角边可证△PME≌△PNF,根据全等三角形的性质可求解;
(3)过点D作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,根据等腰直角三角形的性质得DH=DC,由含30°角的直角三角形的性质可求得BD的值,根据三角形内角和定理、三角形的外角性质得∠BDA=∠A,根据等腰三角形的性质求出BA,根据角平分线的性质求出DG,根据三角形的面积公式计算即可求解.
29.(2021八下·柯桥开学考)如图,在直角坐标平面内,点是坐标原点,点坐标为,将直线绕点顺时针旋转后得到直线.
(1)求直线的表达式;
(2)求的值;
(3)在直线上有一点,其纵坐标为1.若轴上存在点,使是等腰三角形,请直接写出满足要求的点的坐标.
【答案】(1)解:设直线OA的解析式为y=mx,将点A坐标代入,得
3m=4,
解得m=,
∴直线OA的解析式为y=x;
(2)解:如图,作AE⊥OA交直线y=kx于E,AD⊥x轴于D,EH⊥AD于H,
∵∠AOE=,∠OAE=,
∴∠AEO=∠AOE=,
∴OA=AE,
∵AD⊥x,EH⊥AD,
∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=,
∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=,
∴∠OAD=∠AEH,
∴△OAD≌△AEH,
∴AH=OD=3,EH=AD=4,
∴HD=1,
∴点E的坐标为(7,1),
将点E的坐标代入y=kx中,得7k=1,
解得k=;
(3)解:∵点B在直线y=x上,纵坐标为1,
∴点B与点E重合,即B(7,1),
∵A(3,4),B(7,1),
∴AB=,
分三种情况:
①当AC=BC时,作CM⊥AB,则AM=BM,
∴M(5,2.5),
∵CM∥OA,
∴设直线CM的解析式为y=x+n,
∴,
解得n=,
∴y=x,
当y=0时,x=0,解得x=,
∴点C的坐标为(,0);
②当AB=AC=5时,
∵OA=AB,
∴AC=OA,
∴OC=6,
∴点C的坐标为(6,0);
③当AB=BC=5时,作BN⊥x轴于N,
.
∵ON=7,BN=1,BC=5,
∴CN==,
∴OC=ON+CN=,
∴点C的坐标为(,0),
综上,当△ABC是等腰三角形时,点C的坐标为(,0)或(6,0)或(,0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;等腰三角形的性质;等腰直角三角形;三角形全等的判定(AAS);直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】(1)用待定系数法可求解;
(2)过点A作AE⊥OA交直线y=kx于E,AD⊥x轴于D,EH⊥AD于H,用AAS可证△AOD≌△EAH,可得AH=OD,EH=AD,所以HD=AD-AH,则可得点E的坐标,代入解析式计算可求k的值;
(3)由题意可分三种情况讨论: ①当AC=BC时,作CM⊥AB,则AM=BM,②当AB=AC=5时,③当AB=BC=5时,作BN⊥x轴于N,利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解.
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