福建省福州市延安中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·福州开学考）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合图形即可判断求解.
2．（2020·沈阳）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确；
B、任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，是随机事件，故此选项错误；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为 ，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：A
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。根据定义并结合题意即可判断求解.
3．（2020·福州模拟）如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图是
，
故答案为：D．
【分析】根据俯视图上小立方块的个数，从左往右主视图的正方形个数分别是：2，2，1，进而即可得到答案．
4．（2019九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800
C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，
故选D．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
5．（2021九下·福州开学考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意分四种情况：①当a＞0，b＞0时，②当a＞0，b＜0时，③当a＜0，b＜0时④当a＜0，b＞0时，分别分析各选项即可判断求解.
6．（2021九下·福州开学考）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；反证法
【解析】
【解答】解：A、给出的图形是矩形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
B、给出的图形不是圆内接四边形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
C、给出的图形不是圆内接四边形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
D、给出的图形是圆内接四边形，且有两个直角，但明显不是矩形，能作为命题的反例，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 举出的反例满足①是圆的内接四边形，②有两个角是直角，但又不是矩形即可.
7．（2021九下·福州开学考）若是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入得b2-4=0，
解得b=±2，
∵b-1≥0，
∴b≥1，
∴b=2.
故答案为：A.
【分析】由题意把x=0代入方程可得关于b的方程，解方程求得b的值，再根据二次根式的双重非负性可得关于b的不等式b-1≥0，结合不等式可求解.
8．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
9．（2019·三明模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的对称轴公式x=-先计算出对称轴，然后找出与x=-2对称的点，再结合已知条件即可判断出函数的两个零点坐标，将其中一个点的坐标代入解析式即可计算出m的值.
10．（2021九下·福州开学考）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点A作轴于D.连接，与相交于点C，若，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=上，
∴S矩形AFOD=3，
同理S矩形OEBF=k，
∵AB∥OD，
∴= ，
∴AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，
∴k=9，
故答案为：9.
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，根据题意易得四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，所以AF=OD，BF=OE，根据点A在双曲线图象上可得S矩形AFOD=3，同理S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合已知可得DE=2OD，然后根据S矩形OEBF=3S矩形AFOD可求解.
二、填空题
11．（2021九下·福州开学考）一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是 边形.
【答案】正九
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°，360°÷40°＝9，
∴这个多边形是正九边形，
故答案为：正九.
【分析】根据正多变形的各个内角都相等且多边形的外角和等于360°可求解.
12．（2021九下·福州开学考）某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍册以上（含册）的学生“阅读之星”的称号.初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示：
阅读册数
学生数
可以估计该年级学生获得此称号的概率是 .
【答案】
【知识点】统计表；概率公式
【解析】【解答】解：该年级学生获得此称号的概率是
故答案为：.
【分析】用该月阅读课外书籍册4以上（含4册）的学生人数除以调查的总人数即可算出答案.
13．（2021九下·福州开学考）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 .
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC BD=7 4=3.
故答案为：3.
【分析】由旋转的性质可得AD=AB，结合已知根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，则BD=AB，再根据线段的构成CD=BC-BD可求解.
14．（2021九下·福州开学考）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 .
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如题所示，连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：
故答案为：.
【分析】连接OC、OD，由圆的切线的性质可得OC⊥AC，OD⊥BD，结合已知可得AC=OC，由计算可得OD=BD，于是由等腰直角三角形的性质可得∠BOD=45°，再根据平角定义可求得∠COD的度数，然后根据弧长公式l=可求解.
15．（2021九下·福州开学考）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 cm.
【答案】20
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：
即
解得：
故答案为：
【分析】由题意易得比例式，结合已知可求解.
16．（2021九下·福州开学考）在平面直角坐标系中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，则m的最小值为 .
【答案】3
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，
∵C（3，4），
∴OC==5，
∵圆的半径为2，
∴OP=OC-PC=5-2=3，
∵，，，
∴PO是直角三角形PAB斜边上的中线，
∴OP=OA=3，
∴m最小值为3，
故答案为：3.
【分析】 设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得OP＝OA＝AB；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，则m的最小值可求解．
三、解答题
17．（2020九上·梅河口期末）解方程： ；
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
18．（2021九上·牡丹期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 、 在 上， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 和 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 为菱形
点 为 的中点
点 为 的中点
为 的中位线
∵OG∥EF
四边形 为平行四边形
又
四边形 为矩形
（2） 点 为 的中点， ，四边形 是菱形
，∠DOA=90°，AB=AD=10
∴
，
四边形 是矩形
∴
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知 点 为 的中点，点 为 的中点 ，得出 为 的中位线，得出，再根据 OG∥EF ，求证 四边形 为平行四边形 ，因为 ，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质，得出 ，利用勾股定理得出AF的值，根据 四边形 是矩形，得出 ， ，即可得出答案。
19．（2021九下·福州开学考）如图，在中，，点D在边BC上，连接，过点D作射线.
（1）在射线上求作点M，使得，且点M与点C是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若， ，求的长
【答案】（1）解：如图点M即为所求.
解法一（作∠BAC＝∠DAM）：
解法二（作∠CAM＝∠BAD）：
（2）解：∵△ADM∽△ABC，
∴，
∵在Rt△ABD中， cos∠BAD＝，
∵cos∠BAD＝ ，
∴，
∴，
∵BC＝6，
∴DM＝9.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）作∠BAC＝∠DAM即可求解；
（2）由题意证△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．
20．（2021九下·福州开学考）今年2-4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数扇形统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图，请回答下列问题：
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.
【答案】（1）解：（人）；
（2）解：（万元），
即人均治疗费用2.15万元；
（3）解：根据题意，列表如下：
由列表可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）观察扇形图，由扇形图的信息可得轻症患者的百分数，再根据频数=样本容量×相应的百分数可求解；
（2）根据加权平均数的公式计算即可求解；
（3）由题意画出表格，由表格的信息可知共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，再根据概率公式计算即可求解.
21．（2020九上·西城期末）如图，在 中， 平分 ，E是 上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=180°-∠BED=180°-∠BDE=∠ADC，
∵ 平分 ，
∴∠BAE=∠CAD，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ =1， ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据 ，可得： ，进而可求解.
22．（2021九下·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点B在y轴的负半轴上，交x轴于点C，C为线段的中点.
（1） ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交反比例函数图象于点E，求面积的最大值.
【答案】（1）m=6；（2，0）
（2）解：设直线对应的函数表达式为.
将，代入得，解得.
所以直线对应的函数表达式为.
因为点D在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图象于点.所以.
所以.
所以当a=1时，面积的最大值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，（2，0）；
【分析】（1）用待定系数法即可求得m的值，根据A、B两点的坐标，由中点坐标公式即可求得C的坐标；
（2）用待定系数法求得直线AB的解析式，根据直线及反比例函数图象上的点的坐标特点，设点D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE＝ （x 1）2＋，由二次函数的性质即可求解．
23．（2021九下·福州开学考）如图所示，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆O，分别与、相交于点D、E，连接，已知.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长；
（3）若，，求的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ODB，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ADO=90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴AD=2CD=3，∠DAB=30°，
∴AD=OD，
∴OD=，
∵OD=OB，∠B=30°，
∴∠B=∠ODB=30°，
∴∠DOB=120°，
∴劣弧BD的长=；
（3）解：如图2，连接DE，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠EDB，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴设CD=2x，DE=3x，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x=，
∴CD=1，BC=BD+CD=4，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；
（3） 连接DE，由有两个角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△BDE，根据相似三角形的对应边成比例得，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线分线段成比例可得，据此求得x的值，用勾股定理求得AB的值，根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式求解.
．
24．（2021九下·福州开学考）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：，去年的月销量P（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1-6月份的销售情况如下表：
月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月
销售量（P） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
（1）求P关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了，而销售量也比去年12月份下降了.今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台.若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值.
【答案】（1）解：设p=kx+b，
把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中，
得：，
解得：，
∴p=0.1x+3.8；
（2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w=（-50x+2600）（0.1x+3.8）
=-5x2+70x+9880
=-5（x-7）2+10125，
当x=7时，w最大=10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）解：当x=12时，y=2000，p=5，
1月份的售价为：2000（1-m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1-m%）元；
1月份的销量为：5×（1-1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1-1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1-m%）×[5×（1-1.5m%）+1.5]=6400，
解得：m1%=（舍去），m2%=，
∴m=20，
答：m的值为20.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）根据月销售金额=销售量×单价可得w与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据销售额=销售量×单价=6400可得关于m的方程，解方程可求解.
25．（2021九下·福州开学考）如图1，抛物线y＝ax2＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4.
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F.求点A到直线EF距离的最大值.
【答案】（1）解：∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）解：过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在△BAQ和△COA中，
，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为，
联立，
解得x1＝2（舍去），x2＝，
∴P（，）；
（3）解：设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1＋1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2＋1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1＋1）（x2＋1）＝﹣1，
∴x1x2＋x1＋x2＋1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1＋x2），
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1＋x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1＋x2）x﹣4＋2＋（x1＋x2）＝（x1＋x2）（x＋1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR＝.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，用角角边可证△BAQ≌△COA，则 AQ＝OA，求出Q（ 2， 2），利用待定系数法求出直线BQ的解析式，然后用直线BQ解析式和抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3） 设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由点P、E的坐标可得yPE的解析式， 同理可得yPF的解析式，由互相垂直的两直线的k值互为负倒数可得（x1＋1）（x2＋1）＝﹣1，同理可得EF的解析式，yEF＝（x1＋x2）x﹣4＋2＋（x1＋x2）＝（x1＋x2）（x＋1）﹣2，则直线EF恒过定点（ 1， 2），用勾股定理即可求解．
1 / 1福建省福州市延安中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021九下·福州开学考）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·沈阳）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
3．（2020·福州模拟）如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019九上·武汉月考）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800
C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800
5．（2021九下·福州开学考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A． B．
C． D．
6．（2021九下·福州开学考）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九下·福州开学考）若是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．4
8．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
9．（2019·三明模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
10．（2021九下·福州开学考）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点A作轴于D.连接，与相交于点C，若，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
二、填空题
11．（2021九下·福州开学考）一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是 边形.
12．（2021九下·福州开学考）某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍册以上（含册）的学生“阅读之星”的称号.初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示：
阅读册数
学生数
可以估计该年级学生获得此称号的概率是 .
13．（2021九下·福州开学考）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 .
14．（2021九下·福州开学考）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 .
15．（2021九下·福州开学考）如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是 cm.
16．（2021九下·福州开学考）在平面直角坐标系中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，则m的最小值为 .
三、解答题
17．（2020九上·梅河口期末）解方程： ；
18．（2021九上·牡丹期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 、 在 上， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 和 的长．
19．（2021九下·福州开学考）如图，在中，，点D在边BC上，连接，过点D作射线.
（1）在射线上求作点M，使得，且点M与点C是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若， ，求的长
20．（2021九下·福州开学考）今年2-4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数扇形统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图，请回答下列问题：
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.
21．（2020九上·西城期末）如图，在 中， 平分 ，E是 上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
22．（2021九下·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点B在y轴的负半轴上，交x轴于点C，C为线段的中点.
（1） ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交反比例函数图象于点E，求面积的最大值.
23．（2021九下·福州开学考）如图所示，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆O，分别与、相交于点D、E，连接，已知.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长；
（3）若，，求的长.
24．（2021九下·福州开学考）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：，去年的月销量P（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1-6月份的销售情况如下表：
月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月
销售量（P） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
（1）求P关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了，而销售量也比去年12月份下降了.今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台.若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值.
25．（2021九下·福州开学考）如图1，抛物线y＝ax2＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4.
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F.求点A到直线EF距离的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合图形即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确；
B、任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，是随机事件，故此选项错误；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为 ，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：A
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。根据定义并结合题意即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图是
，
故答案为：D．
【分析】根据俯视图上小立方块的个数，从左往右主视图的正方形个数分别是：2，2，1，进而即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，
故选D．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意分四种情况：①当a＞0，b＞0时，②当a＞0，b＜0时，③当a＜0，b＜0时④当a＜0，b＞0时，分别分析各选项即可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；反证法
【解析】
【解答】解：A、给出的图形是矩形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
B、给出的图形不是圆内接四边形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
C、给出的图形不是圆内接四边形，不能作为命题的反例，所以本选项不符合题意；
D、给出的图形是圆内接四边形，且有两个直角，但明显不是矩形，能作为命题的反例，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 举出的反例满足①是圆的内接四边形，②有两个角是直角，但又不是矩形即可.
7．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入得b2-4=0，
解得b=±2，
∵b-1≥0，
∴b≥1，
∴b=2.
故答案为：A.
【分析】由题意把x=0代入方程可得关于b的方程，解方程求得b的值，再根据二次根式的双重非负性可得关于b的不等式b-1≥0，结合不等式可求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的对称轴公式x=-先计算出对称轴，然后找出与x=-2对称的点，再结合已知条件即可判断出函数的两个零点坐标，将其中一个点的坐标代入解析式即可计算出m的值.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=上，
∴S矩形AFOD=3，
同理S矩形OEBF=k，
∵AB∥OD，
∴= ，
∴AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，
∴k=9，
故答案为：9.
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，根据题意易得四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，所以AF=OD，BF=OE，根据点A在双曲线图象上可得S矩形AFOD=3，同理S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合已知可得DE=2OD，然后根据S矩形OEBF=3S矩形AFOD可求解.
11．【答案】正九
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°，360°÷40°＝9，
∴这个多边形是正九边形，
故答案为：正九.
【分析】根据正多变形的各个内角都相等且多边形的外角和等于360°可求解.
12．【答案】
【知识点】统计表；概率公式
【解析】【解答】解：该年级学生获得此称号的概率是
故答案为：.
【分析】用该月阅读课外书籍册4以上（含4册）的学生人数除以调查的总人数即可算出答案.
13．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC BD=7 4=3.
故答案为：3.
【分析】由旋转的性质可得AD=AB，结合已知根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，则BD=AB，再根据线段的构成CD=BC-BD可求解.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如题所示，连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：
故答案为：.
【分析】连接OC、OD，由圆的切线的性质可得OC⊥AC，OD⊥BD，结合已知可得AC=OC，由计算可得OD=BD，于是由等腰直角三角形的性质可得∠BOD=45°，再根据平角定义可求得∠COD的度数，然后根据弧长公式l=可求解.
15．【答案】20
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：
即
解得：
故答案为：
【分析】由题意易得比例式，结合已知可求解.
16．【答案】3
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，
∵C（3，4），
∴OC==5，
∵圆的半径为2，
∴OP=OC-PC=5-2=3，
∵，，，
∴PO是直角三角形PAB斜边上的中线，
∴OP=OA=3，
∴m最小值为3，
故答案为：3.
【分析】 设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得OP＝OA＝AB；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，则m的最小值可求解．
17．【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
18．【答案】（1）证明： 四边形 为菱形
点 为 的中点
点 为 的中点
为 的中位线
∵OG∥EF
四边形 为平行四边形
又
四边形 为矩形
（2） 点 为 的中点， ，四边形 是菱形
，∠DOA=90°，AB=AD=10
∴
，
四边形 是矩形
∴
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知 点 为 的中点，点 为 的中点 ，得出 为 的中位线，得出，再根据 OG∥EF ，求证 四边形 为平行四边形 ，因为 ，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质，得出 ，利用勾股定理得出AF的值，根据 四边形 是矩形，得出 ， ，即可得出答案。
19．【答案】（1）解：如图点M即为所求.
解法一（作∠BAC＝∠DAM）：
解法二（作∠CAM＝∠BAD）：
（2）解：∵△ADM∽△ABC，
∴，
∵在Rt△ABD中， cos∠BAD＝，
∵cos∠BAD＝ ，
∴，
∴，
∵BC＝6，
∴DM＝9.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）作∠BAC＝∠DAM即可求解；
（2）由题意证△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．
20．【答案】（1）解：（人）；
（2）解：（万元），
即人均治疗费用2.15万元；
（3）解：根据题意，列表如下：
由列表可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）观察扇形图，由扇形图的信息可得轻症患者的百分数，再根据频数=样本容量×相应的百分数可求解；
（2）根据加权平均数的公式计算即可求解；
（3）由题意画出表格，由表格的信息可知共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，再根据概率公式计算即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=180°-∠BED=180°-∠BDE=∠ADC，
∵ 平分 ，
∴∠BAE=∠CAD，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ =1， ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据 ，可得： ，进而可求解.
22．【答案】（1）m=6；（2，0）
（2）解：设直线对应的函数表达式为.
将，代入得，解得.
所以直线对应的函数表达式为.
因为点D在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图象于点.所以.
所以.
所以当a=1时，面积的最大值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，（2，0）；
【分析】（1）用待定系数法即可求得m的值，根据A、B两点的坐标，由中点坐标公式即可求得C的坐标；
（2）用待定系数法求得直线AB的解析式，根据直线及反比例函数图象上的点的坐标特点，设点D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE＝ （x 1）2＋，由二次函数的性质即可求解．
23．【答案】（1）证明：如图1，连接OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ODB，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ADO=90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴AD=2CD=3，∠DAB=30°，
∴AD=OD，
∴OD=，
∵OD=OB，∠B=30°，
∴∠B=∠ODB=30°，
∴∠DOB=120°，
∴劣弧BD的长=；
（3）解：如图2，连接DE，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠EDB，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴设CD=2x，DE=3x，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x=，
∴CD=1，BC=BD+CD=4，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；
（3） 连接DE，由有两个角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△BDE，根据相似三角形的对应边成比例得，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线分线段成比例可得，据此求得x的值，用勾股定理求得AB的值，根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式求解.
．
24．【答案】（1）解：设p=kx+b，
把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中，
得：，
解得：，
∴p=0.1x+3.8；
（2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w=（-50x+2600）（0.1x+3.8）
=-5x2+70x+9880
=-5（x-7）2+10125，
当x=7时，w最大=10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）解：当x=12时，y=2000，p=5，
1月份的售价为：2000（1-m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1-m%）元；
1月份的销量为：5×（1-1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1-1.5m%）+1.5]万台；
∴0.8×2000（1-m%）×[5×（1-1.5m%）+1.5]=6400，
解得：m1%=（舍去），m2%=，
∴m=20，
答：m的值为20.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求解；
（2）根据月销售金额=销售量×单价可得w与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据销售额=销售量×单价=6400可得关于m的方程，解方程可求解.
25．【答案】（1）解：∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）解：过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，
在△BAQ和△COA中，
，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为，
联立，
解得x1＝2（舍去），x2＝，
∴P（，）；
（3）解：设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1＋1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2＋1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1＋1）（x2＋1）＝﹣1，
∴x1x2＋x1＋x2＋1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1＋x2），
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1＋x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1＋x2）x﹣4＋2＋（x1＋x2）＝（x1＋x2）（x＋1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR＝.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，用角角边可证△BAQ≌△COA，则 AQ＝OA，求出Q（ 2， 2），利用待定系数法求出直线BQ的解析式，然后用直线BQ解析式和抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3） 设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由点P、E的坐标可得yPE的解析式， 同理可得yPF的解析式，由互相垂直的两直线的k值互为负倒数可得（x1＋1）（x2＋1）＝﹣1，同理可得EF的解析式，yEF＝（x1＋x2）x﹣4＋2＋（x1＋x2）＝（x1＋x2）（x＋1）﹣2，则直线EF恒过定点（ 1， 2），用勾股定理即可求解．
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