林州市2021-2022学年高二下学期2月开学考
数学（文）试题参考答案
1．A 【解析】【分析】根据命题的否定即可写出非命题.
【详解】因为P：
所以为：
故选A.
2．B 【解析】先判断出命题的真假，再依据真值表，判定出下列命题的真假，得到答案.
【详解】由题意，对于命题，当时，此时，所以命题为假命题，则为真命题；对于命题，由，可得，根据正弦定理可得，所以命题为真命题，则命题为假命题，
由复合命题的真值表，可得为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.
故选：B.
3．B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示及余弦定理计算可得；
【详解】解：因为向量，且，所以，即
所以，∵，∴.
故选：B.
4．A 【解析】由等比数列的性质得，又， 可知和是方程的两根，求得和，再利用通项公式求得公比，首项，代入求和公式即可得解.
【详解】等比数列中，由，可知，又，
所以和是方程的两根，
又，，则
所以，，所以.
故选：A
5．C 【解析】【分析】根据等差数列的求和公式进行变形可得，结合条件代入后可得所求的值．
【详解】由等差数列的求和公式可得，
故选C．
6．A 【解析】【分析】根据相似三角形，直接得到，计算渐近线的斜率.
【详解】如图，可知焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，即，，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
7．A
【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，的周长．
故选：A．
8．C
【解析】求导得到，取带入计算得到答案.
【详解】，则，
则，故.
故选：C.
9．A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，结合可得出结论.
【详解】
构造函数，则，
所以，函数为减函数，
，，即，
故选：A.
10．B 【解析】【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得．求得，
，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果.
【详解】解：，可得，即，时，，又，
相减可得，即，是首项为，公比为的等比数列．所以．
，即，得，所以
，当且仅当时取等号，即为，．
因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
因为，在上单调递减，在上单调递增，所以当，时，取得最小值为．
故选：B.
11．A 【解析】【分析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.
【详解】图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.
设，,
，由抛物线定义得：，故
在直角三角形中，，
，，
，，，∥，，
，即，，
所以抛物线的方程为.
故选：A
12．A 【解析】【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，依题意，，设，，
由消去y并整理得，则，，，解得，即，当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，
点P必在抛物线的准线上，点，，
又，于是得，
由对称性可知，当时，同理有，
所以的面积是.
故选：A
13．或
【解析】【分析】对称轴分为是轴和轴两种情况，分别设出标准方程为和，然后将点坐标代入即可求出抛物线标准方程.
【详解】因为点位于第一象限，所以抛物线的开口向右或者开口向上，
所以不妨设抛物线的标准方程为或，
将点分别代入上述方程均得到，
所以抛物线的标准方程是或.
故答案为：或
14．
【解析】【分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形，进而根据椭圆定义求出a，再求出c，最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为的中点，所以，则四边形OMPN是平行四边形，所以，由四边形OMPN的周长为4可知，，即，则，于是的周长是.故答案为：.
15．
【解析】【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】由椭圆的定义可得，由余弦定理可得
，
因为的最大值为，则，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
16．
【解析】【分析】根据题意，使得成立，分类参数，可转化为，使得成立，构造函数，利用导数法求得，即可求解.
【详解】由题意，函数使得成立，即，使得成立，
即，使得成立，
令，则，
因为，则，
所以在上单调递增，
又由，
所以使得，此时取得极小值，也是最小值，令，则，即，
所以，即，
所以，即实数的最小值为.
17．（1）（2，3）（2）[1，2]
【解析】【分析】（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；
（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。
【详解】（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；
若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．
∵p∧q为真命题，则p真且q真，∴实数x的取值范围是（2，3）
（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a
设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}
∵p是q的必要不充分条件，∴BA．
∴，解得1≤a≤2
∴实数a的取值范围是[1，2]
18．（1）；（2）.
【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求解；
（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，整理得，
所以，又因为，所以.
（2）由（1）知：，所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
又由正弦定理知，可得，
所以的面积为
，
因为，所以，可得，
所以，即，
所以的面积的取值范围是.
19．(1)；(2).
【解析】【分析】(1)利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.
(2)由(1)求得的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前项和.
【详解】(1)由题意可知，，.
联立，解得或
又，所以，，，
.
故数列的通项公式为.
(2)由(1)可知， ，
所以.
20．(1)9
(2)答案见解析
【解析】【分析】（1）由的图象过点，可得，则，化简后利用基本不等可求得答案，
（2）由题意将不等式化简为，然后分，和三种情况求解即可
(1)函数，由，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，因为，，，
解得，时等号成立，此时取得最小值9．
(2)由，得，即，即．
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
21．(1)
(2)
【解析】【分析】（1）根据距离焦点的最远和最近距离列出的方程，解出的值，求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）因直线斜率可以不存在但不能为零，故可设直线方程为，代入椭圆方程，并化简，将看成两个同底的小三角形和，在面积和的计算中代入韦达定理的表达式，并化简，最终借助“对勾函数”的单调性求最值.
(1)由题知：，则，所以，
故所求椭圆的标准方程为：；
(2)由题知，直线斜率不为零，设，
代入椭圆方程，并化简得：，
设，则 ，
，令，
，因为函数在单调递增，
所以当，即时，故的面积的最大值为.
22．（1）极小值点是，无极大值点；（2）．
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可.
【详解】解析：（1）定义域，
令，得，
列表如下：
－ ＋
递减 极小值 递增
所以，的极小值点是，无极大值点；
（2），
在上单调递减，在上恒成立
在恒成立，，
令，，在上恒成立
在上单调递减，
实数的取值范围是．林州市2021-2022学年高二下学期2月开学考
数学（文）试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题P：，则为
A． B．
C． D．
2．已知命题若则；命题在中，若则,下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，．若，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列，满足，，且，，则（ ）
A．31 B．36 C．42 D．48
5．等差数列的前项和分别为，若，则的值为
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
9．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且满足，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则该抛物线的标准方程是___________.
14．椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____．
15．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
16．若函数使得成立，则实数的最小值是_____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知内角的对边分别为，且满足
（1）求角C；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．（12分）已知数列为等差数列，公差，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
20．（12分）设函数的图象过点．
(1)若，，求的最小值；
(2)解关于x的不等式．
21．（12分）已知椭圆上的动点到左焦点的最远距离是3，最近距离是1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值.
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.
