2021-2022学年人教版（五四版）九年级下册数学第34章锐角三角函数单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年人教五四新版九年级下册数学《第34章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正切值（　　）
A．也扩大2倍 B．也缩小2倍 C．不变 D．扩大1倍
4．已知sinα+cosα＝m，sinα cosα＝n，则m、n的关系是（　　）
A．m＝n B．m＝2n+1 C．m2＝2n+1 D．m2＝1﹣2n
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．若∠B，∠A均为锐角，且sinA＝，cosB＝，则（　　）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝30° D．∠A＝30°，∠B＝60°
7．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanB＝　 　，sinA＝　 　．
12．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝　 　．
14．水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为　 　．
15．若∠A是锐角，cosA＞，则∠A应满足　 　．
16．sin260°+cos260°﹣tan45°＝　 　．
17．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　 　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　 　0．（可用计算器计算）
18．在△ABC中，AB＝，tanB＝，AC＝2，则BC的长为　 　．
19．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是　 　．
20．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝，tan∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．计算：cos230°+sin245°﹣tan60° tan30°
23．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tanB的值．
24．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．
25．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
26．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．
27．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AD＝BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，sin∠F＝，求DE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵∠A＝Rt∠，AB＝3，BC＝4，
则cosB＝＝．
故选：A．
2．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴sinB＝＝．
故选：D．
3．解：设Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则tanA＝；
将Rt△ABC各边的长度同时都扩大2倍，得到Rt△A′B′C′，则A′B′＝2c，B′C′＝2a，A′C′＝2b，
∴tanA′＝＝；
∴tanA′＝tanA．
故选：C．
4．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinα cosα，
又∵sin2α+cos2α＝1，sinα+cosα＝m，sinα cosα＝n，
∴m2＝2n+1．
故选：C．
5．解：由sinA＝，可设∠A的对边是k，斜边是4k．
根据勾股定理，求得∠A的邻边是k．
故tanB＝．
故选：C．
6．解：∵∠B，∠A均为锐角，且sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°．
故选：D．
7．解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
8．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：B．
9．解：sinA＝＝0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
10．解：过A作AD⊥BC于D，
在直角△ABD中，BD＝2，AD＝4，
则AB＝＝＝2，
则cosB＝＝＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝．
∴tanB＝＝2，
sinA＝＝．
12．解：由sinA＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴cosA＝＝．
13．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故答案为：．
14．解：其展开图如图所示．
∵AC∥BF，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABF＝90°，
∵∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABE＝α，
∵水管直径为2，
∴水管的周长为2π，
∴cos∠α＝．
故答案为：
15．解：∵cos30°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜30°．
16．解：原式＝（）2+（）2﹣1
＝0．
故答案为：0．
17．解：（Ⅰ）sin60° cos30°﹣＝ ﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
18．解：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
设AD＝4x，则BD＝5x，
∵AB＝，AD2+BD2＝AB2，
∴16x2+25x2＝（）2，
解得：x＝1（取正值），
∴AD＝4，BD＝5，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝2，
∴BC＝BD+CD＝5+2＝7，
如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
同理可得，BC＝BD﹣CD＝5﹣2＝3，
故答案为：3或7．
19．解：法一：连接AB，
根据勾股定理可以得到OA＝OB＝，AB＝
根据余弦定理可以得到：OA2+OB2﹣2OA OB cos∠AOB＝AB2
即：10+10﹣20cos∠AOB＝8，解得cos∠AOB＝．
∴∠AOB的正切值．
法二：用面积法先求OB上的高，则可知sin∠AOB＝4/5
再由sin2∠AOB+cos2∠AOB＝1得出cos∠AOB＝3/5
则tan∠AOB＝4/3
20．解：作CD⊥AB的延长线于D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
∵BC＝2，
∴DC＝BC sin60°＝2 ＝3，
∵tan∠A＝，
∴AD＝6，
∴AC＝＝3，
∴AO＝，
∵OP＝，
∴AP＝2或．
故答案为2或．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：原式＝（）2+（）2﹣
＝+﹣1
＝．
23．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，
∴BC＝＝12，
∴sinA＝＝＝，
tanB＝＝＝．
24．解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα＝，OC＝6
∴PC＝8．
则OP＝10．
则sinα＝．
25．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
26．（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
∵AB＝AO
∴∠ABO＝∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO
∴AB＝AO＝BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO＝∠ABO＝60°
∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
又∠D+∠ABD＝∠BAO＝60°
∴∠ABD＝30°
∴∠OBD＝∠ABD+∠ABO＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB＝AD＝AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC＝90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝
∴
又∵S△BEF＝8
∴S△ACF＝18．
27．（1）证明：如图，连接CD，（1分）
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．（3分）
（2）证明：连接OD，（4分）
∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCO．
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO．
∴∠CDO＝∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDO+∠CDE＝90°．（5分）
即∠ODF＝90°．
∴DF是⊙O的切线．（6分）
（3）解：在Rt△DOF中，
∵sin∠F＝，
∴OF＝5．（7分）
∵OC＝3，
∴CF＝5﹣3＝2．
由（2）得∠DEA＝∠ODF＝90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴．（10分）
即．
∴DE＝．（11分）