24.1.4 圆周角（随堂性作业）
1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.都不对
2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
图24-1-4-1 图24-1-4-2
3.下列说法正确的是( )
A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.
5.如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )
A.30° B.60° C.15° D.20°
图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5
6.如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
7.如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.
8.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.
9.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论.
图24-1-4-6
10.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.
图24-1-4-7
课件30张PPT。24.1.4 圆周角顶点在圆心的角叫圆心角．回顾旧知 ABC ABC ABC 如果角的顶点不在圆心上，是什么角？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角． 圆周角 抢答圆中有多少个圆周角？顶点A：∠BAC、 ∠BAE、 ∠CAE顶点B：∠ABD、 ∠ABE、 ∠DBE顶点C：∠ACD顶点D：顶点E：∠BDC∠AEBoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC 下列圆中的是圆周角吗? 抢答√×√×√×××× 当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC．
这三个角有何特点?它们的大小有什么关系?观 察·CEBAD 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．·圆周角定理① 甲站在圆心O 位置，乙站在位置C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
如果丙、丁分别站在位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？观 察这几个角之间有什么关系？类比圆心角推导圆周角的性质在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆心角 相等．圆周角结论是否成立？回顾举一反三你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角? 根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？ 将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．·COAB即 ∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A＋∠C∴∠BOC=2∠A（1）折痕在圆周角的一条边上．圆周角与圆心角的关系（2）折痕在圆周角的内部．作直径AD，
利用（1）的结果，有·COABD 将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．圆周角与圆心角的关系（3）折痕在圆周角的外部．·COABD作直径AD，
利用（1）的结果，有 将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．圆周角与圆心角的关系·ABC1OC2C3 圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．圆周角定理②圆周角定理的推论┓┓┓ ⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，·ABCDO解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD．106））8·ABCO求证： △ABC 为直角三角形．证明：CO= AB，以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO．∴点C在⊙O上．又∵AB为直径，∴∠ACB= ×180°= 90°．∴ △ABC 为直角三角形． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________． 因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，所以它所对的弧也相等．·CBOAFGE（（相等一定 在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．课堂小结顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角． 1． 圆周角2． 圆周角定理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．3． 圆周角定理的推论·ABC1OC2C3┓┓┓∴ ∠ ADC=∠BAD∴AB∥CD．随堂练习证明：连接AD．2． 已知：⊙O中弦AB的等于半径，
求：弦AB所对的圆心角和圆周角的度数． 答：圆心角为60度．圆周角为 30 度，或 150 度．CD 3． AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 答：BD=CD
证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD 5． 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_______． 4． 在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______．20°25° 6． AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°．
求∠BOC的度数．∠BOC =140° 35°70° 7． 点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1 = ∠4∠5 = ∠8∠2 = ∠7∠3 = ∠6由同弧来找相等的圆周角． 8． 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？DOOO·方法一方法二方法三方法四AB9． 已知：∠A是圆O的圆周角，∠A=40°．
求：∠OBC的度数． 10． 已知：AB是⊙O的直径AB=10cm，
AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D ．
求： BC， AD ，BD 的长．106 11． AB是⊙O的直径， C 、D是圆上的两点，若∠ABD=40°，求∠BCD．40°12． 在⊙O中，∠CBD=30° ，∠BDC=20°，求∠A.13． 在⊙O中，∠CBD=30° ，∠BDC=20°，求∠A.24.1.4圆周角
教
学
目
标
知识
技能
1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．
2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．
3.体会分类思想.
过程
方法
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．
情感
态度
激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
教学重点
圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．
教学难点
运用数学分类思想证明圆周角的定理．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探究新知
（一）、圆周角定义
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？
得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
分析定义：圆周角需要满足两个条件；
圆周角与圆心角的区别
（二）、圆周角定理及其推论
1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：
一条弧所对的圆周角有多少个？
②同弧所对的圆周角的度数有何关系？
③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？
2.分情况进行几何证明
①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=∠AOC吗？
②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=∠AOC吗？
③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图⑶，∠ABC=∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.
得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？
总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.
半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？
推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（三）圆内接多边形与多边形的内接圆
1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义
如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）
2.圆内接四边形性质
这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？
（四）定理应用
1.课本例2
2. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？请证明.
三、课堂训练
完成随堂作业
四、小结归纳
1．圆周角的概念及定理和推论
2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质
3. 应用本节定理解决相关问题．
教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫
学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义
学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义
教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到：
1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出按照圆周角在圆中的位置特点分情况进行探究的方案.
学生尝试叙述，达到共识
学生尝试证明
学生根据同弧与等弧的概念思考教师提出的问题，师生归纳出定理
让学生明白该定理的前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.
教师试让学生将上节课定理与归纳的定理进行综合，思考，便于综合运用圆的性质定理..
教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论
学生按照教师布置阅读课本85—86页，理解圆内接多边形与多边形的内接圆
学生运用圆周角定理尝试证明
学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.
教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.
让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总
从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点
深化理解定义
激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.
培养学生全面分析问题的能力，尝试运用分类讨论思想方法，培养学生发散思维能力.
为继续探究其推论奠定基础.
感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握定理，
让学生感受相关知识的内在联系，形成知识系统.
使学生运用定理解决特殊性问题，从而得到推论
培养学生的阅读能力，自学能力.
学生初步运用圆周角定理进行证明，同时发现圆内接四边形性质
培养学生解决问题的意识和能力
运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧
让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力
归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯
巩固深化提高
24.1.4圆周角（检测性作业）
一、选择题
1、如图，点都在上，若，则的度数为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ）
A、80° B、50° C、40° D、20°
3、如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A、45° B、60° C、75° D、90°
二、填空题
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,则∠A=——.
2． 在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_______
3． 在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______．
4、如图，是的直径，点是圆上两点，，则_______.
5、如图，内接于是的直径，，则______.
6、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
三、解答题
*1、A，B是圆O上的两点，，C是圆O上不与A、B重合的任一点，求的度数是多少？
2、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，求圆心O到弦AD的距离．
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
4、如图,?ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长.
●体验中考
*1、(2009，宁夏)如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．
**2、（2009，荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
