2.3简谐运动的回复力和能量 同步训练（word版含答案）

2.3简谐运动的回复力和能量
一、选择题（共15题）
1．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　）
A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B．时，弹簧振子的位移为
C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
2．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）
A．回复力是指物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．物体到达平衡位置，回复力一定为零
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
3．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
4．一质点做简谐运动的图象如图所示，则该质点(　　)
A．在0.015 s时，速度和加速度都为－x方向
B．在0.01 s 至0.03 s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小
C．在第八个0.01 s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大
D．在每1 s内，回复力的瞬时功率有50次为零
5．如图所示，是简谐运动的回复力随时间变化规律的图象，根据图象以下说法正确的是（　　）
A．0至t1时间内，质点向着远离平衡位置方向运动，速率越来越大
B．t1至t2时间内，质点的加速度方向与运动方向相反
C．t2至t3时间内，质点向着衡位置方向运动，速率越来越小
D．t3至t4时间内，质点的加速度方向与运动方向相同
6．关于质点的简谐运动，以下说法正确的是（　　）
A．简谐运动的平衡位置就是所受合力为零的位置
B．做简谐运动的质点先后通过同一点时，回复力、速度、加速度都是相同的
C．做简谐运动的质点，振动速度增加时，加速度一定减小
D．做简谐运动的质点，当振动位移为负值时，速度不一定为负值，但加速度一定为负值
7．如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于点．现使小球以点为平衡位置，在、两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中错误的是（ ）
A．小球从位置向位置运动过程中做减速运动
B．小球每次通过同一位置时的加速度一定相同
C．小球从位置向位置运动过程中，弹簧振子所具有的势能持续增加
D．小球在位置弹簧振子所具有的势能与在位置弹簧振子所具有的势能相等
8．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x=5sin5πtcm，则下列判断正确的是（ ）
A．该简谐运动的周期是0.2s B．头1s内质点运动的路程是100cm
C．0.4s到0.5s内质点的速度在逐渐减小 D．t=0.6s时刻质点的动能为0
9．如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是
A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同
B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变
C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大
D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是
10．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，己知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（　　）
A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度是乙的最大速度的2倍 D．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍
11．某弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．振动图像上的两点振动物体的速度大小相同
B．在和时，质点的加速度大小相等、方向相反
C．振动图像上两点的位移大小相同
D．质点在和时的动能相等
12．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系为，振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．第1s末到5s末回复力做功为零
B．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同
C．第3s末到第5s末，弹簧振子的速度方向相反
D．从第1s末到第3s末，振子通过的路程为A
13．某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．该简谐运动的表达式为y=2cos（0.5πt+0.5π）（cm）
B．1s～3s内，质点的速度方向与加速度方向始终相同
C．t=s时，质点的位移为1cm
D．t=1s和t=3s时，质点的速度大小相等方向相反
14．某简谐运动的位移一时间图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．简谐运动的振幅为2cm
B．简谐运动的周期为0.4s
C．位移一时间图象就是振动质点的运动轨迹
D．振动质点经过图象中A点时速度方向沿x轴负方向
E．在0.2s~0.3s内，振动质点的加速度越来越大
15．如图所示，一个质量为m的小钢球与一原长为的轻弹簧相连，在弹簧下端距离地面的高处由静止释放小钢球，观察发现小钢球恰好能回到原来位置。并且整个过程中小钢球离地面的最小距离为h，弹簧一直处于弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．从开始下落至最低点的过程中，小钢球机械能先不变后减小
B．弹簧的最大弹性势能为
C．小球的最大动能为
D．整个过程中小球的最大加速度一定大于重力加速度
二、填空题
16．某质点在竖直方向上做简谐运动，规定竖直向上为正方向，质点的振动图像如图所示，则质点在10 S时的速度方向为_________ (选填“竖直向上”或“竖直向下")，0.5～1.5 s时间内的位移为______cm，0～s内运动的路程为_________cm．
17．一质点做简谐运动，其图像如图所示，那么在0~4s内，_________________时刻速度为正向最大值，但加速度为零；______________________时刻速度为零，加速度为正向最大值；在P时刻质点速度方向为_________________________，加速度方向为_________________________．
18．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连.在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止.若弹簧的劲度系数为k，两物体振动的振幅为A，则作用在A上的摩擦力与离平衡位置x的关系为_________，其最大值为_______，已知A的质量为m，B的质量为M.
19．一个质点的简谐运动图像如图所示.从图中可以看出，振动的振幅是________m，周期为______s，频率为_________.
三、综合题
20．简谐运动是我们研究过的一种典型运动方式．
（1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动．如图所示，将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长．现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动．请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动．
（2）以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动．但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为，v2=v02-ax，其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数．请你证明，如图中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关．已知弹簧的弹性势能可以表达为kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．
（3）一质点沿顺时针方向以速度v0做半径为R的匀速圆周运动，如图所示．请结合第（2）问中的信息，分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征．
21．如图所示的弹簧振子在光滑平面上振动，质量为M的滑块B上放有质量为m的砝码A，当系统振动时，滑块A、B始终保持相对静止，已知弹簧劲度系数为k，求：
(1)使砝码A随滑块一起振动的回复力是什么？
(2)回复力与位移成正比的比例系数等于什么？
22．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。
（1）求时质点的位移；
（2）在到的振动过程中，质点的位移、速度、动能如何变化？
（3）在到时间内，质点的路程、位移各多大？
23．一轻质弹簧直立在水平地面上，其劲度系数为k=400N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA=mB=1kg，g取10m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5cm，后由静止释放A，A和B一起沿竖直方向做简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：
（1）盒子A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】
A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误；
B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误；
C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；
D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
故选D。
2．B
【详解】
AB．回复力是做简谐运动的物体所受的指向平衡位置的合力，不一定是合外力，平衡位置是回复力等于零的位置，而物体所受的合外力不一定为零，故A错误B正确；
CD．回复力的方向总是指向平衡位置，回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，故CD错误。
故选B。
3．C
【详解】
振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，恢复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，恢复力最大，加速度最大，故B错误；由于恢复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误．所以C正确，ABD错误．
4．B
【详解】
在0.015s时，位移为负值，由a=-kx/m知加速度为正值，即加速度方向为+x方向，速度沿-x方向．故A错误．在0.01至0.03s内，质点由平衡位置运动到负向最大位移处，再回到平衡位置，速度先反方向后同方向，速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小．故B正确．在第八个0.01s内，相当于第一个周期内第四个0.01s内，速度与位移方向都沿+x方向，方向相同，速度在不断减小，位移不断增大．故C错误．周期T=0.04s，时间t=1s=25T，质点在平衡位置时回复力为零，回复力的瞬时功率为零，在最大位移处速度为零，其瞬时功率也为零，一个周期内有四个时刻回复力的瞬时功率为零，所以在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零．故D错误．故选B．
5．D
【详解】
试题分析：由图知，0至t1时间内，回复力变大，位移增加，故物体远离平衡位置，速度减小，所以选项A错误；t1至t2时间内，回复力减小，故位移减小，物体向平衡位置加速运动，加速度与运动方向相同，所以选项B错误；t2至t3时间内，回复力增大，所以位移增加，物体远离平衡位置，速度减小，所以选项C错误；t3至t4时间内，回复力减小，所以位移减小，物体向平衡位置做加速运动，加速度与运动方向相同，所以选项D正确；
6．C
【详解】
A．回复力为零的位置是简谐运动的平衡位置，故A错误；
B．做简谐运动的质点先后通过同一点时，回复力、加速度都相同，速度大小相等，但方向可能相反，则经过同一点是速度可能不同，故B错误；
C．做简谐运动的质点，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，振子的振动速度增加，加速度减小，故C正确；
D．回复力的方向与位移方向相反，做简谐运动的质点，当振动位移为负值时，回复力是正的，加速度一定为正值，故D错误；
故选C。
7．D
【详解】
小球在点弹簧弹性势能是，所以小球的动能最大，小球从位位置向位置运动过程中受到弹簧的向左的拉力，与小球速度的方向相反，所以小球做减速运动．故A正确；小球每次通过同一位置时的回复力，都是相等的，所以加速度一定相同，故B正确；小球从位置向位置运动过程中，速度增大，所以动能逐渐增大，弹簧振子所具有的势能逐渐减小，从位置向位置运动过程中，速度减小，所以动能逐渐减小，弹簧振子所具有的势能逐渐增大，故C错误；小球在运动的过程中，动能与弹性势能相互转化．由于小球在点与在点的速度都是，所以小球在位置弹簧振子所具有的势能与在位置弹簧振子所具有的势能相等，故D正确；
8．C
【详解】
A．根据质点的位移随时间变化的关系可知，该简谐运动的周期
故A错误；
B．根据质点的位移随时间变化的关系可知，零时刻质点位于平衡位置，振幅为A=5cm，1s内质点完成2.5个全振动，每个周期质点运动的路程等于4倍振幅，1s内质点运动的路程等于10A=50cm，故B错误；
C．0.4s到0.5s内质点开始从平衡位置向最大位移处运动，质点的速度在逐渐减小，故C正确；
D．t=0.6s时刻质点位移平衡位置，动能最大，故D错误。
故选C。
9．D
【详解】
A．在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不同，故A错误；
B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一定，则总能量不变，则小球的振幅要改变，选项B错误；
C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由
可得回复力的功率先增加后减小，故C错误；
D．若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于0，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力
压缩量为
小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为
所以铁球的振幅为
故D正确。
故选D。
10．D
【详解】
AB．细线断开前，两根弹簧伸长的长度相同，离开平衡位置的最大距离相同，即两物块的振幅一定相同，故AB错误；
C．细线断开的瞬间，两根弹簧的弹性势能相同，到达平衡位置时，甲、乙的动能最大且相同，由于甲的质量是乙的质量的4倍，根据
可知，甲的最大速度一定是乙的最大速度的，故C错误；
D．根据
可知，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，故D正确。
故选D。
11．D
【详解】
AC．简谐振动的x-t图像中，振动图像上两点的位移相同，由于图像的斜率表示速度，则振动图像上的两点振动物体的速度大小相等，方向相反，所以AC正确，不符合题意；
B．根据
可知，在和时，质点的位移等大，反向，所以质点的加速度大小相等、方向相反，则B正确，不符合题意；
D．质点在时在平衡位置，动能最大，时在最大位移处，动能最小，所以D错误，符合题意；
故选D。
12．A
【详解】
A．位移x随时间t变化的关系为
第1s末的位移大小与第5s末的位移大小相等，方向相反，这两个时刻振子所在的位置相对于平衡位置对称，速度大小相等，根据动能定理可知，第1s末到5s末回复力做功为零，故A正确；
B．弹簧在第1s末与第5s末的位移等大方向，弹簧形变量相同，如果第1s末弹簧是压缩状态，第5s末就是伸长状态，所以长度不同，故B错误；
C．第3s末到第5s末，弹簧振子始终向负方向振动，所以速度方向相同，故C错误；
D．由图像可知，在第1s末振子到平衡位置的距离是
从第1s末到第3s末，振子通过的路程为
故D错误。
故选A。
13．CD
【详解】
A．振幅为2cm，周期为4s，则角速度为
故简谐振动的表达式为
在图中选取一点带入表达式中求出
故简谐振动的表达式为
故A错误；
B．1s到2s时间内，质点做减速运动，故速度与加速度反向，故B错误；
C．将t=s带入表达式可得
故C正确；
D．y-t图像中斜率表示速度，1s和3s时刻速度大小相等，方向相反，故D正确。
故选CD。
14．ABE
【详解】
A．由图象可得，简谐运动的振幅为；故A正确；
B．由图象可得，简谐振动的周期为；故B正确；
C．该图象表示质点的位移随时间变化的规律；不是质点的运动轨迹；故C错误；
D．由图象可知振动质点经过图象中点时向轴正向运动，即点速度方向沿轴正方向；故D错误；
E．在0.2s运动至0.3s的过程，振动质点原理平衡位置，故振动质点的加速度越来越大，E正确。
故选ABE。
15．ABD
【详解】
A．根据功能关系，小钢球机械能变化量等于除重力外其他力所做的功。从开始下落至弹簧下端接触地面，小钢球只受重力作用，机械能不变；从弹簧下端接触地面到弹簧被压缩到最短，小钢球除受重力外，还受向上的弹簧弹力作用，弹力做负功，使小钢球机械能减小，转化为弹簧的弹性势能，故A正确；
B．当弹簧被压缩到最短时，弹性势能最大，根据系统能量守恒，从释放小钢球到弹簧最短，小钢球损失的机械能（3mgh）等于弹簧弹性势能的增量，所以弹簧的最大弹性势能为，故B正确；
C．小球重力势能损失为时，是弹簧下端刚接触地面的时刻，由机械能守恒知此时小球的动能等于，但并不是最大值：弹簧接触地面后，小球向下做先加速（向上弹力小于重力，合力向下与速度同向，所以加速）后减速（向上弹力大于重力，合力向上与速度反向，所以减速）的运动，故C错误；
D．本题中小钢球与弹簧的运动可等效为竖直方向的弹簧振子，如下图，初始时刻相当于弹簧处于伸长状态，小钢球向下的加速度大于g，由简谐运动的对称性，小钢球在最低点的加速度向上，也大于g，故D正确。
故选ABD。
16． 竖直向上 -80
【详解】
由图可知，该质点振动的周期为2s，由简谐运动的周期性可知，10s时的运动情况与t=0时相同，速度方向为x轴正方向，即竖直向上；该质点的振动方程为，t1=0.5s时，x1=40cm；t2=1.5s时，x1=-40cm；0.5-1.5s时间内质点的位移为x=x2-x1=-80cm；时， 质点在0- 内运动的路程为: s=8A-=(320-20 )cm
17． 3s 2s -x -x
【详解】
在0~4s内，3s时物体运动到平衡位置处，加速度为零，速度为正向最大．
2s时，速度为零，加速度为正向最大值．
根据简谐振动图象，P的下一时刻位置在P的下方，所以P时刻质点速度方向为-x
加速度方向和回复力方向相同，指向平衡位置，所以加速度方向指向-x
18．
【详解】
设弹簧的形变量为x，弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，根据牛顿第二定律得到整体的加速度为
，
对A:
，
可见，作用在A上的静摩擦力大小f与弹簧的形变量x成正比，作用在A上的摩擦力在振幅最大时最大，
；
19． 0.1 0.4 2.5
【详解】
振幅是质点离开平衡位置的最大距离，故从图象看出，振幅为0.1m；
频率为每秒钟完成周期性变化的次数，从图象看出，完成一次全振动时间为0.4s，故频率为2.5Hz；
20．（1）证明见解析．（2）a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．（3）证明见解析．
【详解】
（1）若小球向右偏离的位移为x，选取向右为正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=（k1+k2）x，由于k1和k2都是常数，所以小球受到的合外力与位移成正比，小球做简谐振动．
（2）小球运动的过程中的机械能包括小球的动能与弹簧的弹性势能，小球运动的过程中系统的机械能守恒，设小球偏离O点的最大位移为A，则通过平衡位置时：
若小球向右偏离的位移为x时的速度为v，则：
即：v2=v02-（k1+k2）x2=v02-ax2
可知其中a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．
（3）当质点水平方向的位移为x时，质点速度与x轴之间的夹角设为θ，将质点的速度沿x轴方向与y轴方向分解如图，则：
vy=v0cosθ
而：cosθ=
根据合速度与分速度的关系可知：v02=vx2+vy2
整理可得：vx2=v02-v02=v02-ax2
21．（1）M对m的静摩擦力；（2）
【详解】
（1）使砝码随着滑块一起振动，砝码所受静摩擦力是产生砝码与滑块一起变加速运动的加速度，故M对m的静摩擦力是回复力。
（2）由牛顿第二定律有
整体法求共同加速度a，则有
则
根据回复力公式
即比例系数
22．（1）；（2）变大，变小，变小；（3），
【详解】
（1）由题图可知，，振动方程为
带入数据得
（2）由题图可知在到的振动过程中，质点的位移变大，速度变小，动能变小。
（3）在到时间内经历个周期，质点的路程为
质点的位移为。
23．（1）10cm；（2）；（3）10N，30N
【详解】
（1）A、B在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则
解得
开始释放时A处在最大位移处，故振幅
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰好等于A、B在平衡位置时弹簧的压缩量，故两时刻弹簧的弹性势能相等，设B的最大速率为v，物体B从开始运动至到达平衡位置时，由动能定理得
可得
（3）在最高点，A、B受到的重力和弹力方向相同，由牛顿第二定律得
解得
a1=20m/s2，方向向下
A对B的作用力方向向下，且
得
在最低点，由简谐运动的对称性得
a2=20m/s2，方向向上
A对B的作用力方向向上，且
得
答案第1页，共2页