24.3 正多边形和圆
【教学任务分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.
2.能运用正多边形的知识解决与圆的有关计算问题.
过程
方法
1.在探索正多边形与圆的关系的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性.
2.发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.
情感
态度
经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的.
重点
探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算.
难点
探索正多边形与圆的关系.
【教学环节安排】
环节
教 学 问 题 设 计
教学活动设计
问题最佳
解决方案
情
境
引
入
【问题1】 观察下列美丽图案，回答问题：
（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常看到的用正多边形得到的图案，你能从这些图案中找出正多边形来吗？
（2）什么叫正多边形?
（3）从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点?
（4）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样才能作出一个正多边形来？
教师展示图片，提出问题（1），学生观察图案，思考并指出找到的正多边形.
在问题（1）中，教师重点关注:
（1）学生能否从这些图案中找到正多边形
（2）学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系；
教师提出问题（2）、（3），学生回忆、思考，指2-3生回答.
教师提出问题（4），引导学生观察、思考.
学生讨论、交流、发表各自见解.
在问题（2）中，教师重点关注学生能否会联想到等分圆周作出正多边形来.
自
主
探
究
合
作
交
流
【问题2】
将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论.
【分析】
（1）将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边.进而证明五边形的各边相等；
（2）观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；
（3）每一个圆周角所对弧都是等分的三段弧；
（4）利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形.
【问题3】
如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
【问题 4】 归纳总结：
学生看书（课本图24.3—3）理解概念：
(1)中心（2）半径 （3）中心角 （4）边心距
教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形.
教师适当点拨、分析，帮助学生找到有用的信息.
教师引导学生从正多边形的定义入手证明（即证明多边形各边都相等，各角都相等），引导学生观察、分析.
根据教师的分析，学生分小组合作、交流，尝试完成证明过程.
教师提出问题3，学生思考，小组内讨论、交流，仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.
问题3的设计是将结论由特殊推广到一般.这也是研究问题的一般方法.
问题4由学生自己看书理解概念.
教师板书，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.
尝
试
应
用
例1 有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m）
例2 完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
【分析】（1）要求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；
（2）将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究；
（3）如图构造等腰△OBP和直角△OPC,从而可以利用勾股定理进行计算.
教师出示例2，根据例1的解题思路，让学生独立完成.达到举一反三的目的.
教师巡视，个别辅导.
学生完成后，由3名学生口答.
成果
展示
思考：（1）正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
（2）正n边形的半径为R，边心距，边长分别是多少？
学习小组内互相交流、讨论.
把本节课的知识上升到更高的层次.
补
偿
提
高
1.正八边形的中心角是 度，外角是 度.
2.圆内接正方形的半径与边长的比值是 .
3.正多边形的中心角与外角的大小关系是 .
4.已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形边长为__________．
5.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
6.等边三角形的面积是，求等边三角形外接圆的面积.
教师出示题目.
学生独立完成.
学生口述答案.
师生共同纠错.
作
业
设
计
必做题：
课本第107页习题24.3第3、5、6题.
选做题：
1.课本第108页习题24.3第7、8题.
2.圆的半径为R，圆内接正三角形的边长为a，圆内接正方形的边长为b，则a、b有何确定的等量关系.
学生独立完成，教师批改、总结.
教师布置作业并提出要求.
学生课下完成.
有能力的同学课下完成选做题.
教后
反思
24.3 正多边形和圆 （检测性作业）
一、基础·巩固·达标
1．正五边形共有________条对称轴，正六边形共有________条对称轴.
2.中心角是45°的正多边形的边数是___________.
3.若正 n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_________条对称轴.?
4.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）?
A. 扩大了一倍? B. 扩大了两倍? C. 扩大了四倍? D.?没有变化?
5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）?
A. 3∶2∶1? B.4∶3∶2? C. 4∶2∶1 D. 6∶4∶3?
6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()?
A.62 ? B.34 ? C. 63 ? D.43?
7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（）?? A.S3＞S4＞S6 B.S6＞S4＞S3 ? C.S6＞S3＞S4 D.S4＞S6＞S3
8.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）?
A.? B. ? C. ? D.?
9.已知⊙O和⊙O上的一点A（如图24-3-2）.?
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；?
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.?
图24-3-2
二、综合·应用·创新
10．某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.?
*11．如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？?
图24-3-3
**12．如图24-3-4，两相交圆的公共弦AB，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2?中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.?
图24-3-4
三、回顾·热身·展望
**13．如图24 -3-6①、②、③、○n、…、M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.?
图24-3-6
**15.将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图24-3-7），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.?
?
图24-3-7
课件17张PPT。正多边形和圆ABCDE正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
2019年2月3日www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。正多边形的性质及对称性1、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正方形 呢?为什么？ 正多边形与圆到底有什么样的关系呢?
以正五边形为例,你能证明吗? 弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等） 这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.·OE思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指出它的
圆心与半径.
内切圆的半径与边心距有什么关系? 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.2019年2月3日www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边
的距离.2019年2月3日www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供.O中心角ABG边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：三、正多边形的有关计算例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米)..OBCrRP画正多边形的方法1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆(1)正四、正八边形的尺规作图（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图抢答题：1、O是正
圆与 圆的圆心。△ABC的中心，它是△ABC的2、OB叫正△ABC的 ，它是正△ABC的
圆的半径。 3、OD叫作正△ABC的 ，它是正△ABC的 圆的半径。D外接内切半径外接边心距内切4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 ，
它是正五边形ABCDE的 圆的半径。7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角，
它的度数是边心距内切中心72度8、图中正六边形ABCDEF的中心角是
它的度数是9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？ BA∠AOB60度2019年2月3日www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
你能举例说明吗？
2、怎样判定一个多边形是正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
根据正多边形与圆关系的
第一个定理2019年2月3日www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形
各边中点所得的多
边形是正六边形。ABCDEF××24.3正多边形和圆（随堂性作业）
一、填空题
1、正八边形的中心角是 度;它的外角是 度.
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．正多边形的边心距与边长之比为 :2,则此多边形的边数是 .
4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________．
二、选做题
6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )
A、
三、解答题
1、证明题。
求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。
2.求证：正五边形的对角线相等。
【当堂达标自测题】
一、填空题
1.已知正六边形边长为a，则它的外接圆面积为_______．
2. 若正三边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于 .
3. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________.
二、选择题
1.正三角形的边心距、半径和高的比是：（ ）
A. B.
C. D.
2.如图24.3—1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
3.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ）.
A．4 B．6 C．8 D．12
三、解答题
1.已知正六边形ABCDEF，如图24.3—2所示，其外接圆的半径是12，求正六边形的周长和面积．
2.已知：如图24.3—3，正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12.
（1）求弦MN的长；
（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数.
