人教版九年级数学下册第二十七章 相似 试卷（word版、含解析）

人教版九年级数学下册第二十七章-相似难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若2a＝3b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2、如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
3、下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18
4、如图，中，D、E分别为AB、AC的中点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，连接AE，BD交于点F，则下列结论中正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
6、如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，：的值为（ ）
A． B． C． D．
7、下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个直角三角形 D．两个正方形
8、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（　　）cm
A．26+26 B．26﹣26 C．13+13 D．13﹣13
9、如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播．现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像．如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，线段OA的长为4cm，那么线段OA′的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
10、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（　　）
A． B．1.5 C． D．1
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，AB＝5，则BD的长度为 _____．
2、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．
3、如图，在中，若，，，则的长为__________．
4、我国古代数学著作 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小, 各中开门. 出北门三十步有木, 出 西门七百五十步有木. 问邑方几何 ”示意图如图, 正方形 中, 分别是 和 的 中点, 若 , 且 过点 , 那么正方形 的边长为______．
5、在 ABCD中，E是AD上一点，，连接BE、AC相交于F，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 __________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长
2、如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如果，求证：．
3、如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．
（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC AP．
4、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，OC＝2OD．若S△AOC＝36，求S△BOD．
5、如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
---------参考答案-----------
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
等式两边都除以即可．
【详解】
解：两边都除以得，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质．
2、B
【解析】
【分析】
如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解决问题．
【详解】
解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ//BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝6，
∴x＝，
∴AP＝5x＝6．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
3、D
【解析】
【分析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此进行判断即可．
【详解】
解：A、2×8≠5×6，故本选项错误；
B、1×4≠2×3，故本选项错误；
C、3×9≠6×7，故本选项错误；
D、3×18=6×9，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
4、D
【解析】
【分析】
证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．
【详解】
解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
5、D
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△BFA，
∴
∴，故A选项错误；
∴故B选项错误；
∵△DEF∽△BAF，
∴
∴，
∴故C选项错误；
∵
∴
∴
∵D为AC的中点，
∴AD=CD
∴
∴，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
设正方形ABCD的边长为a，关键黄金分割点的性质得到和，用a表示出、和的面积，再求比例．
【详解】
解：设正方形ABCD的边长为a，
∵点E是AB上的黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
7、D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】
解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个正方形，符合角分别对应相等，边分别对应成比例，符合相似性定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似图形的概念，掌握“角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似”是解本题的关键.
8、D
【解析】
【分析】
根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长，由此求解即可．
【详解】
解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，
∴宽：长，
∵长是26cm，
∴宽，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．
9、D
【解析】
【分析】
由AB// A’B’，可得△AOB∽△A’OB’进而根据相似三角形的性质列出比例代入数据求解即可
【详解】
∵AB// A’B’，
△AOB∽△A’OB’，
∴ ，
即 ，
∴cm，
故选D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键
10、D
【解析】
【分析】
过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM＝CD＝2，OM＝BC＝3，通过△CFE∽△MOE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【详解】
解：过O作OM∥BC交CD于M，
在 ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴CM＝CD＝2，OM＝BC＝3，
∵OM∥CF，
∴△CFE∽△MOE，
∴＝，
即，
∴CF＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC=3，然后证明△ABC∽△BDC，得到，即，由此求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， ，
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
2、（0，-）或（1，-）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
点D在y轴上，根据△AOB∽△DOA，可得，即；当点D在过点A平行y轴的直线上，根据△AOB∽△D1AO，，即；当点D2在AD上，作D2E⊥x轴于E，OD2⊥AD于D2，在Rt△AOB中，AB=，根据△OD2A∽△AOB，，即，可证△D2EA∽△DOA，即，求出AE=，D2E=，当点D3在0D1上，作D3F⊥x轴于F，AD3⊥OD1于D3，根据△OD3A∽△BOA，，即，，可证△D3FO∽△D1AO，即，求出OE=，D3F=即可．
【详解】
解：点D在y轴上，△AOB∽△DOA，
∴，即，
解得OD=，
点D（0，-）；
当点D在过点A平行y轴的直线上，△AOB∽△D1AO，
∴，即，
解得D1A=，
点D1（1，-）；
当点D2在AD上，作D2E⊥x轴于E，OD2⊥AD于D2，
在Rt△AOB中，AB=，
∵△OD2A∽△AOB，
∴，即，
∴，
在Rt△OAD中，AD=，
∵D2E⊥x轴于E，，OD⊥x轴，
∴D2E∥OD，
∴∠AD2E=∠ADO，∠D2EA=∠DOA=90°，
∴△D2EA∽△DOA，
∴即，
∴AE=，D2E=，
∴OE=OA-AE=1-=，
∴D2（，）
当点D3在OD1上，作D3F⊥x轴于F，AD3⊥OD1于D3，
∵△OD3A∽△BOA，
∴，即，
∴，
在Rt△OAD1中，0D1=，
∵D3F⊥x轴于F，OD⊥x轴，
∴D3F∥OD，
∴∠OD3F=∠QD1A，∠D3FO=∠D1AO=90°，
∴△D3FO∽△D1AO，
∴即，
∴OE=，D3F=，
∴D3（，）；
△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为（0，-）或（1，-）或（，）或（，）．
故答案为（0，-）或（1，-）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．
3、
【解析】
【分析】
根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行线证出三角形相似是关键．
4、300
【解析】
【分析】
设，根据题意证明，从而得到对应边的比相等，列出方程即可求得，进而求得正方形的边长
【详解】
解：正方形 中，分别是和的中点
，
，
设AF=AG=x，
即
解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5、②③④
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据，即可求得，，进而判断①②③，根据三角形的面积和平行四边形的面积可得，分别用表示出与 ，进而求得其比值
【详解】
解：四边形是平行四边形
，
则①不正确，②③正确；
过点作
设平行四边形，边上的高为，
故④正确
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
1、
【解析】
【分析】
先证明，由相似三角形的性质即可求出AE．
【详解】
∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，
∴∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
，
AE＝．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；
（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；
（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．
【详解】
解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵
∴，即，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．
3、（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，易证得△AOE≌△COF，即可得EO＝FO，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由EF⊥AC，可得四边形AFCE是菱形；
（2）由∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，可证得△AOE∽△AEP，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE2＝AC AP．
【详解】
证明：（1）四边形AFCE是菱形．
理由：由已知可知：AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
∴AE2＝AO AP，
又AC＝2AO，
∴2AE2＝AC AP．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．
4、9
【解析】
【分析】
根据AC∥BD，可证△AOC∽△BOD，则，由此求解即可．
【详解】
解：∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OC＝2OD，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
5、（1），；（2）t＝3或
【解析】
【分析】
（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】
解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．