人教版数学八年级下册第十六章二次根式
一、单选题
1．（2020八下·吴兴期末）下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、，故A成立；
B、，故B不成立；
C、，故C不成立；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D不成立.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减分别进行计算，然后逐一判断即可.
2．（2020八下·顺义期中）在函数y= 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． ≠0 B． ≠3 C． ＞3 D． ≤3
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若使函数y＝ 有意义，
∴3 x≥0，
即x≤3．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
3．（2020八下·越秀期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式；
C、 ，不是最简二次根式；
D、 ，不是最简二次根式；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
4．（2020八下·高新期中）下列二次根式： ， ， ， ， ， ，是最简二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，,为最简二次根式，
=，，-3=-3|x|，不是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的含义和性质进行判断即可得到答案。
5．（2020八下·衢州期中）已知长方形的面积为12，其中一边长为2 ，则另一边长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：
另一边长=12÷2=3.
故答案为：C.
【分析】已知矩形的面积和一边的长，根据矩形的面积公式求解即可.
6．（2020八下·江苏月考）若a+b=3，ab=1,则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=1
故a＞0，b＞0.
= = ，
∵a+b= 3 ，ab=1，
∴原式=3，
故答案为：A.
【分析】将 化简，再将a+b= 3 ，ab=1代入计算.
7．（2020八下·新疆月考）化简： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质： 化简并计算即可.
8．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
9．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由原式成立得x0，x-3>0，解之得x>3，故选D．
【分析】根据题意列出x的取值范围不等式，并正确求解即可求出正确答案．
10．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
二、填空题
11．（2020八下·云县月考）① ；② .
【答案】0.3；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：① |-0.3|=0.3；
② | |= .
故答案为：0.3； .
【分析】根据二次根式的化简计算即可.
12．（2020八下·甘井子月考）若 ，那么 的化简结果是 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵x＜2，
∴ =2﹣x.
故答案为：2﹣x.
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
13．（2020八下·南昌期中）若二次根式 与 能合并，则x可取的最小正整数是 ．
【答案】11
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】∵二次根式 与 能合并，
∴ ，解得 （舍去），
，解得 （舍去），
，解得 ．
即当 取最小正整数11时，二次根式 与 能合并．
故答案为：11
【分析】根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可
14．（2020八下·扬州期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则a＝ ，b＝ .
【答案】1；1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由同类二次根式的定义，得
解得：
故答案为：1；1.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，据此解答即可.
15．（2020八下·扬州期中）下列各式：① ；② ；③ ；④ . 其中正确的是 （填序号）.
【答案】③④
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：①中，当 ＜0，b＜0时，是不成立的,∴①式错误；
②中， 无意义，∴②式错误；
③中， ，∴③式正确；
④中，∵ ，∴ ，∴④式正确.
故答案为：③④.
【分析】根据二次根式的除法法则的逆用及二次根式有意义的条件、二次根式的性质即可一一判断得出答案.
16．（2020八下·扬州期中）化简 的结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】依题意可知m＜0，
∴ =
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
17．（2018八上·汪清期末）若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ．
【答案】3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ 、 有意义，
∴x+y=2①，
∴
∴3x+5y 3 m=0②且2x+3y m=0③，
把①代入②得，2y+3 m=0④，
把①代入③得，y+4 m=0⑤，
④-⑤得y＝1，
所以m＝5.
所以
故答案为：3.
【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
18．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）若 成立，则x满足
【答案】2≦x<3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，3－x>0，x-2≧0，所以2≦x<3
【分析】应用二次根式有意义的条件列出两个不等式，并正确求解是解题的常规思路
19．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）等式 中的括号应填入
【答案】－4xy
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
三、计算题
20．（2020八下·福州期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
；
（2）
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先做乘法，再化简，合并即可；（2）先运用完全平方公式计算，再计算即可．
21．（2020八下·巴彦淖尔期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1） ，
=4-3-1-4
=-4；
（2）
=
= .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，乘方计算法则，零次幂计算法则，负整数指数幂计算法则依次计算，再将结果相加减即可；（2）先分别化简各项，再将结果合并同类二次根式.
四、解答题
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册1.2.1二次根式的性质（课时1） 同步练习）已知y＜ + +3，化简|y﹣3|﹣ ．
【答案】解：根据题意得： ，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=-1．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】根据二次根式的意义列出关于x的不等式组，从而求得x的值，进而求得y的取值范围，再对所给的式子化简.
23．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）先化简，再求值：，其中a= ．
【答案】【解答】原式= ，当a=时，原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】会计算二次根式的加减法，并能够代入求值．
24．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）已知 + =0，求 的值.
【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
25．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
【答案】因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以 cm.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的.
五、综合题
26．（2020八上·常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
（1）填空： = ， = ；
（2）化简： （请写出计算过程）
【答案】（1）；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
27．（2020八下·扬州期中）观察下列等式：①
② ；
③ ；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，
①化简：
②仿照上例等式，写出第n个式子
（2）计算： .
【答案】（1）解：① ；
②第n个式子为
（2）解：
=
=
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）观察发现每个式子都是分母为连续的两个正整数的算术平方根的和的倒数，其有理化化简的结果，而且结果为分母的有理化因式（能和分母构成平方差形式的式子）；（2）针对每个分式形式有理化化简再合并计算即可.
1 / 1人教版数学八年级下册第十六章二次根式
一、单选题
1．（2020八下·吴兴期末）下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·顺义期中）在函数y= 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． ≠0 B． ≠3 C． ＞3 D． ≤3
3．（2020八下·越秀期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·高新期中）下列二次根式： ， ， ， ， ， ，是最简二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020八下·衢州期中）已知长方形的面积为12，其中一边长为2 ，则另一边长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．2
6．（2020八下·江苏月考）若a+b=3，ab=1,则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八下·新疆月考）化简： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
9．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
10．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
二、填空题
11．（2020八下·云县月考）① ；② .
12．（2020八下·甘井子月考）若 ，那么 的化简结果是 .
13．（2020八下·南昌期中）若二次根式 与 能合并，则x可取的最小正整数是 ．
14．（2020八下·扬州期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则a＝ ，b＝ .
15．（2020八下·扬州期中）下列各式：① ；② ；③ ；④ . 其中正确的是 （填序号）.
16．（2020八下·扬州期中）化简 的结果为
17．（2018八上·汪清期末）若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ．
18．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）若 成立，则x满足
19．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）等式 中的括号应填入
三、计算题
20．（2020八下·福州期中）计算
（1）
（2）
21．（2020八下·巴彦淖尔期中）计算
（1）
（2）
四、解答题
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册1.2.1二次根式的性质（课时1） 同步练习）已知y＜ + +3，化简|y﹣3|﹣ ．
23．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）先化简，再求值：，其中a= ．
24．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）已知 + =0，求 的值.
25．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
五、综合题
26．（2020八上·常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
（1）填空： = ， = ；
（2）化简： （请写出计算过程）
27．（2020八下·扬州期中）观察下列等式：①
② ；
③ ；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，
①化简：
②仿照上例等式，写出第n个式子
（2）计算： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、，故A成立；
B、，故B不成立；
C、，故C不成立；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D不成立.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减分别进行计算，然后逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若使函数y＝ 有意义，
∴3 x≥0，
即x≤3．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 是最简二次根式；
B、 ，不是最简二次根式；
C、 ，不是最简二次根式；
D、 ，不是最简二次根式；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，,为最简二次根式，
=，，-3=-3|x|，不是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的含义和性质进行判断即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：
另一边长=12÷2=3.
故答案为：C.
【分析】已知矩形的面积和一边的长，根据矩形的面积公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=1
故a＞0，b＞0.
= = ，
∵a+b= 3 ，ab=1，
∴原式=3，
故答案为：A.
【分析】将 化简，再将a+b= 3 ，ab=1代入计算.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质： 化简并计算即可.
8．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
9．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由原式成立得x0，x-3>0，解之得x>3，故选D．
【分析】根据题意列出x的取值范围不等式，并正确求解即可求出正确答案．
10．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
11．【答案】0.3；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：① |-0.3|=0.3；
② | |= .
故答案为：0.3； .
【分析】根据二次根式的化简计算即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵x＜2，
∴ =2﹣x.
故答案为：2﹣x.
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
13．【答案】11
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】∵二次根式 与 能合并，
∴ ，解得 （舍去），
，解得 （舍去），
，解得 ．
即当 取最小正整数11时，二次根式 与 能合并．
故答案为：11
【分析】根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可
14．【答案】1；1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由同类二次根式的定义，得
解得：
故答案为：1；1.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，据此解答即可.
15．【答案】③④
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：①中，当 ＜0，b＜0时，是不成立的,∴①式错误；
②中， 无意义，∴②式错误；
③中， ，∴③式正确；
④中，∵ ，∴ ，∴④式正确.
故答案为：③④.
【分析】根据二次根式的除法法则的逆用及二次根式有意义的条件、二次根式的性质即可一一判断得出答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】依题意可知m＜0，
∴ =
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
17．【答案】3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ 、 有意义，
∴x+y=2①，
∴
∴3x+5y 3 m=0②且2x+3y m=0③，
把①代入②得，2y+3 m=0④，
把①代入③得，y+4 m=0⑤，
④-⑤得y＝1，
所以m＝5.
所以
故答案为：3.
【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
18．【答案】2≦x<3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，3－x>0，x-2≧0，所以2≦x<3
【分析】应用二次根式有意义的条件列出两个不等式，并正确求解是解题的常规思路
19．【答案】－4xy
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
20．【答案】（1）
；
（2）
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先做乘法，再化简，合并即可；（2）先运用完全平方公式计算，再计算即可．
21．【答案】（1） ，
=4-3-1-4
=-4；
（2）
=
= .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，乘方计算法则，零次幂计算法则，负整数指数幂计算法则依次计算，再将结果相加减即可；（2）先分别化简各项，再将结果合并同类二次根式.
22．【答案】解：根据题意得： ，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=-1．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【分析】根据二次根式的意义列出关于x的不等式组，从而求得x的值，进而求得y的取值范围，再对所给的式子化简.
23．【答案】【解答】原式= ，当a=时，原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】会计算二次根式的加减法，并能够代入求值．
24．【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
25．【答案】因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以 cm.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的.
26．【答案】（1）；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
27．【答案】（1）解：① ；
②第n个式子为
（2）解：
=
=
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）观察发现每个式子都是分母为连续的两个正整数的算术平方根的和的倒数，其有理化化简的结果，而且结果为分母的有理化因式（能和分母构成平方差形式的式子）；（2）针对每个分式形式有理化化简再合并计算即可.
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