第15章全等三角形全章同步练习学案及测试题（附答案）

第15章 全等三角形
15．1全等三角形
课前预习：
1．如图，两个三角形全等，若按对应顶点写在对应位置上，
（1）应写为 ；
（2）找出对应边和对应角，AB= ，BC= ，
CA= ，∠ABC= ，∠ACB= ，∠BAC=
．
2．如图所示，将绕其顶点顺时针旋转后得到．
（1）与的关系如何？
（2）求的度数；
（3）在中，若，，求AE的长和的度数．
随堂训练：
3．如图，点B在CD上，且，，，则与相等的角是 ．
4．如图，若，且，，则= ．
5．如果，的周长是32cm，DE=9 cm,EF=12cm,,那么AC的长为 cm．
6．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知≌，，，
则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
名师导航
核心知识：
知识点1：
能够完全重合的三角形叫全等三角形，即形状相同，大小相等的三角形是全等三角形．
知识点2：
全等三角形的对应关系：当两三角形重合时互相重合的点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．
知识点3：
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．
考点提示：
1．由三角形全等找对应边及对应角
2．通过全等三角形的对应边相等、对应角相等去求线段的长及角的大小．
拓展延升：
运用全等三角形的性质证明或计算角度或线段的长度时，常常结合三角形的内角和定理，有时列方程较为简便．
8．如图所示，，且AB=DC，指出这两个三角形的对应角和另外的对应边．
9．如图，点A、E、F、C在同一条直线上，且≌，AD与BC平行吗？为什么？
10．如图所示，若，AD=9cm， BC=5cm，A、B、C、D在一条直线上，求AB的长．
能力提升：
11.如图所示，已知，且，则 ．
12．如图，把沿BD翻折到的位置，使和重合，则
，其对应角有 ，
对应边有 ．
13．如图，≌，AB=AC，BE=CD，，，则的度数是（ ）．
典例赏析：
如图所示，≌，，，试求的度数．
解析：本题考查全等三角形的性质，找到∠BAC，∠DAE与∠CAD和∠EAB的关系，求出∠BAC的度数，进而求出∠ACB的度数．
解：因为≌，所以∠BAC=∠DAE，因为∠BAC+∠DAE=∠EAB-∠CAD=，所以
∠BAC=∠DAE
=．
在中，
规律：运用全等三角形的性质解答角或线段的有关问题时，常常要借助角或线段的和差以及三角形内角和定理，有时列方程求解较为简便．
A． B． C． D．
14．如图所示，，则此图中相等的线段有（利用图中现有的字母）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
15．如图，，点E为BC上的一点，EN为的平分线，求的度数．
16．如图，，点A、C、B在同一条直线上，且A与E是一对对应点，若，则绕C点顺时针旋转多少度才能与重合？

趣味数学：
魔术师的巧妙加工
美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：
世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13米的地毯，他想把它改成8米宽、21米的长的地毯．
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请你把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8米21米的地毯．
奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生，您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！，而，这怎么办的到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请你把这块地毯裁成这样的四块．”
然后奥马尔照他所说的裁成四块后，兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8米21米的地毯．
奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方米缩小到168平方米，那一平方米到哪里去了呢？”
将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠，正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积，同学们不妨自己用纸试一下．

15．1自测题
1．若且MN=8cm,NP=7cm，PM=6cm，则MQ的长为（ ）．
A．7cm B．8cm C．6cm D．5cm
2．如图，已知，下列结论中正确的个数是（ ）．
①AC=DB；②AB=DC；③；④AE∥DF；⑤；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．如图，，则在此题中，线段相等的有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，且，则 ，理由是 ．
5．已知，且的周长为12cm，面积为，则的周长为 cm，面积为 ．
6．如图，在中，D、E分别是边AC、BC上的点，若，则∠C的度数为 ．
7．如图，，指出图中所有相等的角．
8．如图所示，，，，求的度数．
9．如图所示，，，求和的度数．
10．如图，已知在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将、分别对折，如果两条折痕恰好交于DC上一点E，且C和D均落在点F，你能发现哪些结论？
15．2全等三角形的判定
第一课时1
课前预习：
1．两边及其夹角相等的两个三角形 ．
2．如图，已知，AB=AD，AC=AE，则全等吗？为什么？
随堂训练：
3．如图，AD与CB相交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOB=
，根据 可得到，从而可以得到AD= ．
4．在和中，AB=DE，BC=EF，，
，则
时
5．如图，，要使，只需增加一个条件是 ，理由是
．
6．如图，OA=OC，OB=OD，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，已知AB=AD，若AC平分，问AC是否平分？为什么？
名师导航
核心知识
知识点1：全等三角形的判定方法1——“边角边”（简记为“SAS”）．
知识点2：边角边判定方法中相等的角必须是两边的夹角，要注意两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
考点提示：
1．通过添加条件，利用“边角边（SAS）”判定方法证明两三角形相似．
2．借助两三角形全等，证明对应线段、对应角相等．
拓展延升：
当要证明相等的线段或角没有处在两个相应三角形中时，一般通过添加辅助线，构造两个三角形，证明全等．
8．如图，AE=CF，，AD=CB，试说明．
9．如图，点A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC
求证：（1）；
（2）EF∥BC．
能力提升：
10．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，，要通过“SAS”来证明，只需增加的条件是
．
11．在下列条件中，能判断两个三角形全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，AC=BD，，求证：．
典例欣赏：
例：如图，已知AB、CD相交于点P，，AE=BF，试说明CE=FD．
解析：要说明CE=FD，只要证明即可，而要证明全等只需再证OE=OF 这一条件成立．
解：∵，
∴CO=DO，AO=BO．∵AE=BF，∴EO=FO．在，，
∴，
∴．
规律：证明线段或角相等，通过找出线段或角所在的三角形全等，是一种行之有效的方法，证明全等只需对照判别方法看全等还少什么条件，想方设法找出这一条件即可．
13．如图，在中，AB=5，AC=3，则BC上的中线AD的取值范围是多少？（提示：延长AD到E，使AD=DE，并边接BE）
14．如图，DA=AE，DA⊥AE，BA=AC，BA⊥AC，
求证：BE=DC；

15．和为直角三角形，A、C、D三点共线，AC=CB，CD=CE，连接BD、AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：；
（2）直线AE与BD互相垂直吗？试证明你的结论．
趣味数学：
“边角边”的判定方法，教科书是通过画图，然后要求学生通过叠合来说明的，实际上这也是一种说理，下面把叠合过程形式化说明如下：
已知：如图1所示，在和中，AB=DE，，BC=EF．
求证：．
证明：因为，所以可先把重合到上，如图2所示．
而AB=DE，BC=EF，所以DE和AB重合，EF和BC重合．
所以点D和点A重合，点F和点C重合，根据两点确定一条直线，必有DF和AC重合．
所以和完全重合，即．
学过等腰三角形后，我们还可以证明后面要学习的“边边边”定理和“斜边、直角边”定理．

第2课时
课前预习
1．两角及其夹边对应相等的两个三角形 ，三边对应相等的两个三角形 ．
2．（1）如图，已知AB=DE，，则的理由是 ；
（2）如图，已知AB=DE，则的理由是 ．
3．有些人家按了像栅栏样的斜拉铁门，呈平行四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用的原理是（ ）
A．三角形的稳定性????????B．三角形的不稳定性????
C．?四边形的稳定性????????D．四边形的不稳定性
随堂训练：
4．如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
5．如图，为了测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先从B处出发与AB成的方向，向前走20米到C处立一标杆，然后方向不变继续向前走20米到达D处，在D处转，沿DE方向再走17米到达E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一直线上，那么可测得A、B间的距离为
米．
6．如图，AB=DE，AC=EF，若，还需要补充的条件是（ ）
A．DC=BF B．
C． D．不需要补充
名师导航
核心知识
知识点1：全等三角形的判定方法2——“角边角”（简记为“ASA”）；
知识点2：全等三角形的判定方法3——“边边边”（简记为“SSS”）；
知识点3：三角形的稳定性．
考点提示：
1．利用判定方法2、3判别两三角形全等；
2．利用三角形的稳定性解释生活中的一些现象．
拓展延升：
“倍长中线”是构造全等三角形的常用方法，把三角形的中线延长一倍，可构成两个全等的三角形或平行四边形．
7．如图，已知AB=CB，AD=CD，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．BD平分
8．已知在中，已知
要根据“ASA”，判定，还应添加下列条件中的（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF
10．如图，如果，那么AB与CD相等吗？为什么？
11．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=BN，CM=DN，AC=DB，问AM与BN有怎样的位置关系？
典例欣赏：
例1：如图所示，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD相交于点O，已知AB=AC，，求证：BD=CE．
解析：BD、CE分别是和的边，由已知不能直接证得，但已知AB=AC，如能证得AD=AE，就可以得到BD=CE，故可先证．
证明：在和中
∵
AC=AB

∴（ASA）．
∴AD=AE．
又∵AB=AC，
∴，即BD=CE．
规律：证明线段或角相等，一般的方法是证明它们所在的三角形全等，但有时直接证明的条件不充分，这就要认真分析已知条件，结合图形的特征，证明与之有关的线段或角相等．
12．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行，请说明理由
能力提升：
13．如图所示，中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，AD与BC的位置关系是 ．
14．如图有一块较大的三角形玻璃被摔成了3块，需要去玻璃店重新配制一块，现若不通过量尽寸，那么应该带哪块玻璃去 （ ）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．任意一块
15．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD．
例2：如图所示，已知AC=BD，AB=DC，求证．
解析：要证，就要先看与所在的两个三角形是否全等，有已知条件可看出用不到AC=BD这个条件，也就是说不能证明与全等，故需作辅助线，边接AD，证明．
证明：边接AD，在与中
AB=DC
DB=AC
AD=DA
∴（SSS）．
∴．
规律：这道题给出的条件有一定的迷惑性，不仔细观察就容易把条件弄错，只有做出辅助线才可以用题中的条件证明三角形全等．
16．补充条件，使结论成立．
如图，已知，AG平分，DH平分，求证：AG=DH．
证明：∵（已知）
∴ = （ ）

∠ =∠ （ ）
又∵
∴ ∠ =∠ （ ）
在中
（ ）
（ ）
（ ）
∴ （ ）
∴AG=DH （ ）
17．如图，已知AB=CD，AD=CB，O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD、CB于点M、N，求证：．
18．如图所示，已知M、A、N在同一直线上，为等腰直角三角形（即BA=CA），且，BM⊥MN，CN⊥MN，BM=AN，求证：MN=CN+BM．
趣味数学：
步量河宽
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？
一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。
按照故事中那位战士的做法，无论面向碉堡还是背向碉堡，只要身体与地面保持相同的夹角，而且身体姿势不变，那么由身体、视线、地平线构成的两个三角形一定全等，理由是“ASA”。
如下图所示：战士在河边，视线落在河另一边B处，然后他转过身体，保持姿势不变，即他的身体与地面所成的角度、视线与地面所成的角度不变，又知道他的身高是定值，所以容易得到△ABC≌△，于是，要测量河宽BC，只需要测得的长度即可。
我们在赞叹这种方法的巧妙和简单易行之余，不由得对故事中那位足智多谋的战士产生由衷的敬佩，故事是可以编撰的，但这个故事却真有其人其事，那么，这位战士究竟是谁呢？他的名字叫于振善。
抗日战争中，我八路军在转移中被一条大河挡住了去路，河深水急，无法涉水，时间紧迫，必须迅速测出河宽，以便寻找材料架桥，木工出身的战士于振善仅用头上戴的一顶军帽进行步量 ，用一分钟的时间便测出了河宽，工兵们很快架起了浮桥，不对顺利转移了。事后，战友们称赞地说：一顶军帽真有用，测河宽只用一分钟时间，顺利转移歼敌，巧用智慧立战功。
第3课时
课前预习：
1．两个角及一角的对边对应相等的两个三角形
2．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
随堂训练：
3．已知，如图，，AB=DE，要说明，若以“AAS”为依据，则应添加的条件为 ．
4．如图，，，AE=AF，给出的下列结论：①；②BE=CF；③；④CD=DN，其中正确的结论是 ．
5．下列判断正确的是（ ）
A．有两边和其中一边对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一个角是的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等的两个三角形全等
D．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
6．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D． 求证：△ABC≌△DEF．
名师导航：
核心知识
知识点1：全等三角形的判定方法4——“角角边”（简记为“AAS”）．
知识点2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两条边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．
考点提示：
1．利用全等三角形的判定方法4——“AAS”证胆三角形全等．
2．证明一条线段等于两线段的和．
拓展延升：
证明线段的和差问题，可采用“截长法”或“补短法”，“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一条短线段，然后证明剩下的线段等于另一条短线段，“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于短线段，再证明延长后的线段总长等于长线段．
8．如图，在等边中，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，问与全等吗？为什么？你还能得到哪些三角形全等？
能力提升
9．在Rt△ABC中，∠C=900，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD=3:2，则点D到线段AB的距离为 ．
10．下列各组条件中，不能判定和全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问吗？为什么？
12．小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点O，为了使图形美观，小刚希望AO恰好平分，他的这个愿望能实现吗？请你帮他说明理由．
典例欣赏：
例：如图所示，
，AG、BH是的高，试说明AG=DH．
解析：要证AG=DH，只需证AG与DH所在的两个三角形全等，由已知，相当于已知它们的对应边相等，对应角相等．
解：∵，
∴AB=DE，．
∵AG、BH是
的高，
∴
∴．
∴AG=DH．
规律：证明两条线段相等，要先从题中找到已知条件，和可证出的条件，然后利用三角形全等的判定来寻找缺少的条件．
13．如图，AC=BC，，AD平分，求证：AC+CD=AB．
14．（1）如图，AB∥DC，AD∥BC，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：BE=DF；
（2）把第（1）题中的条件“BE⊥AC，DF⊥AC”变换成“BE∥DF，分别交AC于E、F”，此时结论“BE=DF”还成立吗？请说明理由．
趣味数学：
从“拿破仑测莱茵河宽度”说起
两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等．全等三角形不仅是解与线段、角相关问题的基本方法，而且也是解决实际问题(如测量、图案设计)的有力工具．
1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战．当时，德俄联军在北岸布阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河．
法军要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度，但两岸对战，不能坐船去测量河的宽度．拿破仑为此大伤脑筋，站在南岸远望德俄联军阵地，忽然他发现对面北岸的边线，在他视线中恰巧紧挨自己头上的那顶军帽的帽沿前边．
于是，他想到了一个测量河宽的方法．
拿破仑在南岸站好，北岸河线与他的帽舌边一致时，一步一步向后退，当退到视线里南岸的边线正好紧挨着他的帽舌边时，便命令士兵把从他站立的地方到河南岸的距离丈量一下．
这段距离等于河的宽度．
拿破仑的测河宽的方法其实质是利用全等三角形，如图，BC=ED，∠B=∠E，∠ACB=∠D，得△ABC≌△CED，所以AC=CD．
利用全等三角形测河宽，有一个缺陷就是要有开阔的地方来丈量CD的长．如果有测角仪器，利用三角函数的有关知识，在河岸边就可进行，这个知识以后会学到．
第4课时
课前预习：
1．一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形 ．
2．判定两个直角三有形全等的方法有：
．
随堂训练：
3．在中，（1）AB=DE，（2）BC=EF，（3）AC=DF，（4），（5），（6），从这六个条件中选取三个条件，能判定全等的方法有 种．
4．在下列条件中，不能判定两直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边分别对应相等
B．斜边和一个锐角分别对应相等
C．两个锐角分别对应相等
D．斜边和一条直角边分别对应相等
5．如图，已知AB=CD，AE⊥CD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求证：AB∥CD．
7．如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD．
8．如图所示，两根长度为10米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
小红是这样想的：
在和中，因为AB=AC，AO=AO，所以， ①
名师导航：
核心知识
知识点1：直角三角形全等的判定方法——“斜边直角边”（简记为“HL”）．
知识点2：直角三角形全等的判定方法除“HL”外，还可用“SAS”“ASA”“SSS”“AAS”．
考点提示：
1．利用直角三角形全等的判定方法证明两直角三角形全等．
2．灵活选用方法证明两直角三角形全等．
拓展延升
“SSA”不能用来证明两三角全等，但是当知道两三角形都是直角三角形时，“SSA”变成了“HL”，当两三角形都是锐角三角形、或钝角三角形时，可以用“SSA”来证明，但必须构造直角三角形来间接证明．
所以OB=OC． ②
试说明小红的想法是否正确，若正确，请说明一下她①②步的理由；若不正确，也说说你的理由．
9．如图，已知，,
与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．
能力提升：
10．具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是（ ）
A．一边和这边上的高对应相等
B．两边和第三边上的中线对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等
D．直角三角形的斜边对应相等
11．如图，在中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF，试说明AD是的平分线．
典例欣赏
如图所示，已知AC=BD，AD⊥AC，BD⊥BC，求证AD=BC．
解析：要证AD=BC，只要证出，但是由题设给定的条件难以证明，要考虑添加辅助线，构建全等三角形，可想到连接CD，这样可以证明，从而AD=BC．
证明：连接CD．
在中
∵AC=BD，DC=CD，∴．
∴AD=BC．
规律：当图中有现成的可能的全等三角形，但由于证明的不便，可以考虑添加辅助线入手来构造全等三角形．同时有直角三角形时，应首先考虑用直角三角形的判定定理．
12．如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足是F，P是AD上任意一点，请说明PB与PC的数量关系．
13．如图，AD∥BC，AB⊥BC，DE平分，且E是AB的中点，问：AD、BC与CD之间有何种数量关系？试证明你的结论．

14．如图（1），D是BC的中点，AD⊥BC，E是BC上除B、D、C外任意一点，根据“SAS”，可证明，∴AB=AC，．，在中，AB=AC，AE=AE，，不能证明，∵这是“SSA”的情形，是钝角三角形，是锐角三角形，它们不可能全等．如果两个三角形都是直角三角形，“SSA”就变成了“HL”，就可以用证明两个三角形全等．同样，如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，并且它们满足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必须通过构造直角三角形来来间接证明．问题：已知，如图（2），AD=AC，．
（1）根据现有条件直接证明，可以吗？为什么？
（2）求证：．
趣味数学：
尺规作图
所谓尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图．
最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯，他因政治上的纠葛被关进监狱，并被处死刑．传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其他有关问题来打发令人苦恼的无所事事的生活．他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画图，用随便找来的破木棍、竹片之类的物品作直尺，当然这些“尺”上就不可能有刻度．另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用这些“尺规”解决问题．后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）．由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传．
15．2自测题
1．两个三角形有以下元素对应相等，其中不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．两角和一角的对边 B．两边及夹角
C．三个角 D．三条边
2．在和中，，，若要证明，还要从下列条件中补选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件
不能是（ )
A．∠B ＝∠C B．AD = AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC = BE
4．如图，AB、CD相交于O，AB=CD，试添加一个条件，使得，你认为下列条件中成立的是（ ）
A．OA=OC B．AD=CB C． D．以上都不行
5．如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_ _（只填一个）．
6．如图，沿AM折叠，使D点落在BC上，如果AD=7cm，DM=5cm，，则AN= cm，= ．
7．已知，且的面积等于12，如果BC=4，那么BC边上的高为 ．
8．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=BC，BE=CD，求证：AE⊥BD．
10．如图所示，AC=EC，，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB延长线于F，求证：DF=CF-AF．
第15章全等三角形测试题
一、选择题
1．下列命题中，错误的是 （ ）
A．全等三角形对应边上的中线相等 B．面积相等的两个三角形是全等三角形
　C．全等三角形对应边上的高相等 D．全等三角形对应角平分线相等
2．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
3．如图，，，下列结论错误的是 （　 　）
A．△ABE≌△ACD　　B．△ABD≌△ACE　　C．∠DAE=40°　　D．∠C=30°
4．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是 （　　 ）
A．形状相同　　　 B．周长相等　　 　C．面积相等　　　D．全等
5．如图，点P是∠BAC内一点，且P到AB、AC的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是 （ ）
A． HL B．AAS C．SSS D． ASA
6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形 （　　 ）
A．2对　　 　B．3对　　 　C．4对　　 　D．5对
7．△ABC中，∠B=∠C，若△ABC全等的一个三角形中有一个角为95°，那么95°角在
△ABC中的对应角是 （ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
8．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么
∠DAE等于 （ ）
A． 150 B 300 C．450 D．600
9．如图所示，△ABC的三边AB、AC、BC长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△ACO︰S△BCO等于 （ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5
10．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为 （ ）
A．100°　　 　B． 80°　　 　C．60°　　 D．45°
二、填空题
11．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．
12．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．
13．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是______．
14．如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为 cm．
15．地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗？答：______．
16．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是___ ___．
三、解答题
17．如图，D是△ABC的边AB上一点， DF交AC于点E， DE=FE，FC∥AB，
求证：AD=CF．
18．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；②BC=EF；③∠ACB=∠DFE．
19．如图，中，∠B＝∠C，D，E，F分别在，，上，且， 。
求证：．
证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE（ ），
又∵∠DEF＝∠B（已知），
∴∠______＝∠______（等式性质）．
在△EBD与△FCE中，
∠______＝∠______（已证），
______＝______（已知），
∠B＝∠C（已知），
∴(　　)．
∴ED＝EF(　　)．
20．如图，公园有一条“”字形道路，其中∥，在处各有一个小石凳，且，为的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
21如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF；
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

22．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）；
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出规律，并证明这个规律．
参考答案：
15．1全等三角形
课前预习：
1．（1） （2）CD DA AC
2．（1） （2） （3）AE=3
随堂训练：
3． 4． 5．11 6．A 7．C 8．，，，AC与DB，BC与CB 9．AD与BC平行 ∵，∴．∴AD∥BC． 10．∵，∴AC=DB．∴AB=CD．∴cm． 11． 12．≌ ，， AB与CB，AD与CD，BD与BD 13．B 14．D 15．∵，∴．又∵EM平分，∴．∴． 16．绕C点顺时针旋转才能与重合．∵，∴．∵A、C、B在同一条直线上，∴．
15．1自测题
1．7 2．C 3．D 4． 全等三角形对应角相等 5．12 6 6． 7．，，，
8．∵，∴．∵，∴．
9．∵，∴．
∵，∴，．
∵，∴．
10．AD=AF，BC=BF，DE=EF=EC，，，．
15．2全等三角形的判定
第1课时
课前预习：
1．全等 2． ∵，∴．又∵AB=AD，AC=AE，∴． 3． CB 4． 5．AC=DB 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 6．C 7．∵AC平分，∴．∵AB=AD，AC=AC，∴．∴．即AC平分． 8．解：∵AE=CF，∴AF=CE．∵，AD=CB，∴． 9．证明（1）∵AE∥BC，∴．∵AD=BF，∴AF=BD．又∵AE=BC，．（2）∴．∴EF∥BC． 10．CE=DF 11．D 12．∵AC=BD，，AB=BA，∴．∴．∴．即．
13．延长AD至点E，使AD=DE．
∵AD=DE，，AD=ED，∴．∴AC=BE=3．∵，∴．
14．∵DA⊥AE，BA⊥AC，∴．
∴．又∵DA=AE，BA=AC，∴．∴BE=DC．
15．证明（1）∵AC=BC，，CE=CD，∴．
（2）AE⊥BD ∵，∴．∵，∴．∴AF⊥BD．即AE与BD垂直．
第2课时
课前预习：
1．全等 全等 2．（1）两角与夹边对应相等的两个三角形全等（2）三边对应相等的两个三角形全等 3．A
随堂训练：
4．AB=FD或AD=FB或 5．17 6．A 7．B 8．B
9．证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF．∵AC∥DF， ∴∠ABC=∠DEF．
∵BF=CE，∴BC=EF．∴△ABC≌△DEF．∴AC=DF．
10．AB=CD ∵，∴．即．又∵BC=CB，∴．∴AC=CD．
11．AM平行于BN ∵AM=BN，CM=DN，AC=DB，∴．∴．∴AM∥BN．
12．解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件．（2）方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ．
能力提升：
13．垂直 14．C
15．证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC．∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴AE=BD．
16．AB DE 全等三角形对应边相等 BAC EDF 全等三角形对应角相等
BAG EDF 等量代换 已证 AB=DE 已证
已证 ASA 全等三角形对应边相等
第3课时
课前预习：
1．全等 2．∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC ＝∠DFB＝90°
又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD， 且∠EDC ＝∠FDB（对顶角相等）
∴所以△BFD≌△CDE（AAS），∴BF=CE．
随堂训练：
3． 4．①②③ 5．D 6．D
7．证明：∵ AB∥DE． ∴ ∠B＝∠DEF．在△ABC和△DEF中，
∴ △ABC≌△DEF．
8． ∵是等边三角形，∴．∵CE⊥AB，BD⊥AD，∴．又∵BC=CB，∴．
还能得到．
能力提高：
9．4 10．B 11．∵AD、BE是的高，∴．
∵，∴．又∵AD=BD，
∴（AAS）．
12．∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴．∵，AC=AB，∴．∴AD=AE，BD=CE．∴．∴DO=EO．，．即AO平分．
13．延长AC至点E，使CE=CD，连接DE．
∵，∴．
又∵，∴．∴．∵AD平分，∴．∴．∴AB=AE．又AE=AC+CE=AC+CD，∴AC+CD=AB．
14．（1）AB∥DC，AD∥BC，∴．又∵AC=CA，∴．∴AD=BC．又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴．∴．∴BE=DF．（2）．成立，由BE∥DF仍可得，同（1）可得BE=DF．
第4课时
课前训练：
1．全等 2．SAS ASA SSS AAS HL 3．13 4．C 5．C 6．在中，AB=CD，DE=BF，∴（HL）．∴．AB∥CD．
7．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴．又∵AC=BD，AB=BA，∴．∴BC=AD．
8．正确 ①的理由是HL ②全等三角形对应边相等
9．（1）,．
证明：（2）连接 ∵，
∴
又∵．∴
∴．又∵，∴．即
10．B 11．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴．∵BE=CF，BD=CD，∴．∴DE=DF．又∵AD=AD，∴．∴．即AD是的平分线．
12．PB=PC ∵AF⊥BC，∴．∵AB=AC，AF=AF，∴．∴BF=CF．∵PF=PF，∴．∴PB=PC．
13．CD=AB+BC 过E点作EF⊥CD交CD于F点，连接CE．
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴BA⊥AD．在中
，DE=DE，∴．∴AD=FD．与中，BE=EF，EC=EC，∴．∴BC=CF．∵CD=DF+CF，∴CD=AB+BC．
14．（1）不可以，因为只符合SSA，不能判定两三角形全等．（2）提示：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于E点，过A点作AF⊥BD，交BD延长线于点F，易证，∴AE=AF，又∵AE=AF，AE⊥BC，AF⊥BD，∴．
15．2测试题
1．C 2．B 3．D 4．A 5．AC =BD或∠CBA＝∠DAB
6．7 7．6 8．证明：∵AB=DC，∴AC=DB．∵EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°．在△EAC与△FDB中
∴△EAC≌△FDB． ∴∠ACE=∠DBF．
9．证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴．∵BE=CD，AB=BC，∴．∴．又∵，∴即AE⊥BD．
10．∵AE⊥CB，ED⊥CB，∴．∵，，∴．∵AC=EC，∴．∴AF=CD．∵DF=CF-CD，∴DF=CF-CD．
第15章，全等三角形测试卷
1．B 2．C． 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．B 11．4 12．HL 13．5 14．15 16．．
17．∵FC∥AB，∴．∵，DE=FE，∴．∴AD=CF．
18解：由上面两条件不能证明AB//ED.有两种添加方法．
第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED
证明：∵FB=CE，∴BC=EF，又AC=EF，AB=ED，∴ABCDEF．∴∠ABC=∠DEF
∴AB//ED．第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
证明：∵FB=CE，∴BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，∴ABCDEF．
∴∠ABC=∠DEF． ∴AB//ED．
19．三角形的个角等于与它不相邻的两个内角的和 BDE CEF BDE CEF BD CE ASA 全等三角形对应边相等
20．连ME、MF ∵AB∥CD，∴．∵BE=CF，BM=CM，∴（SAS）．∴．∴三个小凳在同一条直线上．
21．（1）可证得BF=DE，再证（AAS），∴MB=MD，ME=MF．（2）成立，证明方法同（1）．
22．（1） ；（2）；（3）
证明∵，
∴．