章末检测(八) 函数应用
(时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(2，e) D．(3，4)
解析：选A f(1)＝ln 2－2＝ln＜ln 1＝0，
f(2)＝ln 3－1＝ln＞ln 1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1，2)．
2．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈ B．x0＝－
C．x0∈ D．x0＝1
解析：选C 由于f·f(2)<0，则x0∈.
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
解析：选B 由于f(a)f(b)<0，则f(a)<04．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
解析：选D 由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.
由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到如图的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数中最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
解析：选D 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．故选D.
6．函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝(x－2)2，则方程f(x)＝的所有实数根之和是( )
A．2 B．3
C．5 D．8
解析：选C 画出函数f(x)的图象，如图所示：
结合图象x<2时，两根之和是2，
x>2时，由(x－2)2＝，解得x＝3，
故方程f(x)＝的所有实数根之和是5，故选C.
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
解析：选B 由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
8．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B ∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈[0，1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
解析：选AD A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．
10．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
解析：选ABD 结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象(图略)易得C正确，A、B、D错误．
11．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为( )
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
解析：选ABC 看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．
12．如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
解析：选BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2，3)．
答案：(2，3)
14．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0因为x∈N*，所以x的最大值为16.
答案：16
15．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
∵x∈[－1，1]，∴2x∈，
∴－∈.
∴实数a的取值范围是.
答案：
16．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为________________；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时．(精确到0.1)
(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
答案：(1)y＝2 500×0.8x (2)7.2
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．
解：求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．
当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；
当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.
∴函数g(x)＝f(x)－的零点是和.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·，则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a＜0或a≤－2，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]．
19．(本小题满分12分)某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．
据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)，②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．
把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．
把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．
设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，
得
即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.
故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，
此时，xB＝8.8.
即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元．
20．(本小题满分12分)某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
(2)规定一天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
解：(1)因为a＝，则f(x)＝＋2≥2.
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，得x＋1＝25＝5，即x＝4.
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1.
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}，
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
则有
解得a≤，
又a∈(0，1)，故调节参数a应控制在内．
21．(本小题满分12分)某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)．
(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；
(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？
解：(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个．
所以g(x)＝＝，
h(x)＝＝.
则g(x)－h(x)＝－＝·.
因为0h(x)，
当137所以f(x)＝其中x∈N.
(2)因为当022．(本小题满分12分)某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁1号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)．
(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－60(元)．问：当列车发车时间间隔为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？
解：(1)当10≤t≤20时，s(t)＝500.
当2≤t<10时，s(t)＝500－k(10－t)2，
∵s(2)＝372，∴372＝500－k×(10－2)2，
解得k＝2.∴s(t)＝500－2(10－t)2.
∴s(t)＝
∴s(5)＝500－2×52＝450(人)．
(2)当10≤t≤20时，s(t)＝500.
∴Q＝－60＝－60≤－60＝74.4.可得Qmax＝74.4.
当2≤t<10时，s(t)＝500－2(10－t)2.
∴Q＝－60＝－16＋260，
∵函数y＝t＋在t∈[2，4)上为减函数，在t∈(4，10)上为增函数，
∴当t＝4时，Qmax＝132.
∴当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元.
PAGE
10章末检测(八) 函数应用
(时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(2，e) D．(3，4)
2．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈ B．x0＝－
C．x0∈ D．x0＝1
3．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到如图的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数中最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
6．函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝(x－2)2，则方程f(x)＝的所有实数根之和是( )
A．2 B．3
C．5 D．8
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
8．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
10．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
11．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为( )
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
12．如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
14．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(015．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
16．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为________________；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时．(精确到0.1)
(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
19．(本小题满分12分)某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
月投资A种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6
纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)
20．(本小题满分12分)某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
(2)规定一天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
21．(本小题满分12分)某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)．
(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；
(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？
22．(本小题满分12分)某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁1号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)．
(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－60(元)．问：当列车发车时间间隔为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？
PAGE
10
