2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列关于 ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AC＝BD，则 ABCD是矩形 B．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
C．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
2．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
3．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
7．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 　 　．
10．已知：如图，正方形ABCD和EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积是　 　．
11．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝　 　．
12．如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DE⊥MN，交AB于点E，若AM＝1，DM＝3，则DE的长为　 　．
13．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是　 　．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 　 　；连接CP，线段CP的最小值为 　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为　 　；
（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．
下列判断正确的是　 　．
①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．
18．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．
（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；
（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．
19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
20．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵ ABCD中，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；
∵ ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
∵ ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；
∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：A．
2．解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AC2＝4，
解得AC＝，
∵菱形AECF的面积为2，
∴AC EF＝2，
即×EF＝2，
解得EF＝，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
4．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，
∴BE＝＝．
故选：C．
6．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（2，b），
∴OA＝2，OM＝2，
∴OD＝AM＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，
故选：C．
7．解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝，
故选：A．
8．解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH＝BE＝PE＝HP，
∴AH＝CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD＝PF，
∴PD＝CE．
故③正确．
∵点P在BD上，
∴当AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2＝10，
∴DH＝＝＝1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH＝DG＝3，
∴HG＝DG﹣DH＝2，
∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，
故答案为：4．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴EC＝ED，∠DEC＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FEH＝90°，
∴∠OEC＝∠MED，
在△OEC和△MED中，
，
∴△OEC≌△MED（ASA）
∴两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积＝△DEC的面积＝×正方形ABCD的面积＝0.25，故答案为：0.25．
11．解：连接BD、BF，
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，
∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，
∴∠DBF＝90°，
由勾股定理得：DF＝＝5，
∵H为线段DF的中点，
∴BH＝DF＝．
故答案为：．
12．解：如图，连接AC，过点A作AF∥MN，交BC于F，
∵AM＝1，DM＝3，
∴AD＝4，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴AO＝CO，AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，
又∵∠AOM＝∠CON，AO＝CO，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AM＝CN＝1，
∵AD∥BC，AF∥MN，
∴四边形AMNF是平行四边形，
∴AM＝FN＝1，
∴BF＝2，
∵DE⊥MN，AF∥MN，
∴DE⊥AF，
∴∠AED+∠EAF＝90°，
又∵∠EAF+∠AFB＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
又∵∠EAD＝∠ABF＝90°，AD＝AB，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF＝2，
∴DE＝＝＝2，
故答案为2．
13．解：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形，
∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE＝DN＝x，
则EN＝＝，
∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝，
∴正方形EFMN的面积＝（）2＝8．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：90°，﹣1．
15．解：（1）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝＝＝10，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝CF＝BF＝DE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝6，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，
当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，
∴GO＝EO＝3，
∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，
当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，
∴G'O＝EO＝3，
∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，
综上所述：AG＝2或8；
（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，
故答案为①②③④．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）判断∠PED＝45°．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°．
17．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE与△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
设CE＝x，则AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，
即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的长为4或6．
18．解：（1）根据题意，作图如下：
证明：在AB上截取BM＝BF，如下图，
∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠CFQ，
∵BF＝BM，
∴CF＝AM，
又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°，
∴∠AMF＝∠FCQ，
在△AMF和△FCQ中，
，
∴△AMF≌△FCQ（ASA），
∴AF＝FQ；
（2）当BF＝时，四边形FCQN为平行四边形，
证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF，
∵BF＝，BC＝1，
∴FC＝，
由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，
∴CQ＝MF＝，
∵NQ∥BC，
∴∠FCQ+∠NQC＝180°，
∵∠FCQ＝135°，
∴∠NQC＝45°，
∵∠NCQ＝90°，
∴∠NQC＝45°＝∠NQC，
∴，，
∴NQ＝FC且NQ∥FC，
∴四边形FCQN为平行四边形．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，
∴四边形MANP是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN．
20．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．