2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.1菱形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.1菱形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 434.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-02 22:44:12 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm D．10cm
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
4．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．（2，2）
5．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，CE∥BD，则△BDE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝ 度．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 ．
17．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连接DF，则DF的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝4，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠BEF＝150°，求Rt△ABC的面积．
20．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
21．在菱形ABCD中，∠C＝60°，E为CD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若E为CD的中点且BE＝3，求菱形ABCD的面积．
（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．
22．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
23．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．
（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．
24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： ．
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
2．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝10cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝10（cm）；
故选：D．
3．解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
4．解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴DD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
5．解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
6．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
7．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．
8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，
∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．
故选：C．
9．解：过点C作CF⊥BD于点F，
，
∵CE∥BD，
∴点E到BD的距离等于点C到BD的距离，
∴△BDE边BD的高＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝CD＝2，∠DBC＝，2BF＝BD，
∴CF＝，BF＝，
∴BD＝2，
∴△BDE的面积＝，
故选：D．
10．解：如图，
延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
12．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；
故答案为：25．
13．解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO＝∠AED＝50°，
CD＝CB，∠BCO＝∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝50°．
故答案为50．
14．解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OC＝AC BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
15．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
16．解：如图，
∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，
∴CH＝1，
∴AH＝，
∵∠ABO＝∠DCH＝30°，
∴DH＝AO＝，
∴OD＝﹣﹣＝，
∴点D的坐标是（，0）．
故答案为：（，0）．
17．解：
延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴GF∥BE，EF∥AM，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，
在Rt△DNF中，DF＝＝，
故答案为：．
18．解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图，AP＝t，BQ＝tcm，（0≤t＜6）
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（6﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（6﹣t）cm，
∴BD＝（6﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（6﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（6﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（6﹣t）2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，
∴t1＝2，t2＝6（舍去），
∴t的值为2．
解法二：由题意PE＝＝t，
∵四边形QPCP′为菱形，PD⊥CD，
∴QD＝CD＝t，
∴BD＝BQ+QD＝2t，
∵PD＝EC＝6﹣t，△PBD为等腰直角三角形，
∴BD＝PD，即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵四边形ABEF为菱形，
∴AB＝BE＝4，
又∵∠BEF＝150°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△BHE中，EH＝2，
∵AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE＝CG＝2，
∴Rt△ABC的面积为×4×2＝4．
20．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，
∵∠E＝∠F，
∴∠BAG＝∠DAH，
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（ASA）．
21．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵DE＝EC，
∴BE⊥CD，
∴EC＝，
∴CD＝2EC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD BE＝6．
（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．
∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF，
∴∠DBE＝∠CDF，
∴∠BMF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，
∴∠DMB＝120°，
∵∠DAB+∠DMB＝180°，
∴∠ADM+∠ABM＝180°，
∵∠ABN+∠ABM＝180°，
∴∠ABN＝∠ADM，
∵AB＝AD，BN＝DM，
∴△ABN≌△ADM，
∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMB＝∠AMD＝60°，
∵MH＝MD，
∴△DMH是等边三角形，
∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，
∴∠ADH＝∠BDM，
∵AD＝DB，DH＝DM．
∴△ADH≌△BDM，
∴AH＝BM，
∵AM＝AH+HM，
∴AN＝AM＝DM+BM．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
23．（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，
在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，
∴4m2+3m2＝63，
∴m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴BC＝6，EC＝3，
∴S菱形ABCD＝BC CE＝18．
（2）作CK∥AH交BE于点K．
∵△AFH是等边三角形，
∴∠AHF＝∠AFH＝60°，
∵AH∥CK，
∴∠AHF＝∠CKE＝60°，
∴∠AFB＝∠BKC＝120°，
∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，
∴∠ABF＝∠BCK，
∵AB＝BC，
∴△ABF≌△BCK（AAS），
∴BK＝AF，
∵∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAF＝∠CAH，
∵BA＝AC，AF＝AH，
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴BF＝CH，
∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，
∴BK＝FK＝FH，
∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，
∴AG＝CG．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
（3）解：结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm D．10cm
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
4．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．（2，2）
5．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，CE∥BD，则△BDE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 ．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝ 度．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 ．
17．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连接DF，则DF的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝4，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠BEF＝150°，求Rt△ABC的面积．
20．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
21．在菱形ABCD中，∠C＝60°，E为CD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若E为CD的中点且BE＝3，求菱形ABCD的面积．
（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．
22．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
23．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．
（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．
24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： ．
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
2．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝10cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝10（cm）；
故选：D．
3．解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
4．解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴DD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
5．解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
6．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
7．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，
∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×6×PE+×6×PF＝12，
∴PE+PF＝4，
故选：A．
8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，
∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．
故选：C．
9．解：过点C作CF⊥BD于点F，
，
∵CE∥BD，
∴点E到BD的距离等于点C到BD的距离，
∴△BDE边BD的高＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝CD＝2，∠DBC＝，2BF＝BD，
∴CF＝，BF＝，
∴BD＝2，
∴△BDE的面积＝，
故选：D．
10．解：如图，
延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
12．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；
故答案为：25．
13．解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO＝∠AED＝50°，
CD＝CB，∠BCO＝∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝50°．
故答案为50．
14．解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OC＝AC BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
15．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
16．解：如图，
∵△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，
∴CH＝1，
∴AH＝，
∵∠ABO＝∠DCH＝30°，
∴DH＝AO＝，
∴OD＝﹣﹣＝，
∴点D的坐标是（，0）．
故答案为：（，0）．
17．解：
延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴GF∥BE，EF∥AM，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，
在Rt△DNF中，DF＝＝，
故答案为：．
18．解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图，AP＝t，BQ＝tcm，（0≤t＜6）
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（6﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（6﹣t）cm，
∴BD＝（6﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（6﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（6﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（6﹣t）2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2，
∴t1＝2，t2＝6（舍去），
∴t的值为2．
解法二：由题意PE＝＝t，
∵四边形QPCP′为菱形，PD⊥CD，
∴QD＝CD＝t，
∴BD＝BQ+QD＝2t，
∵PD＝EC＝6﹣t，△PBD为等腰直角三角形，
∴BD＝PD，即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵四边形ABEF为菱形，
∴AB＝BE＝4，
又∵∠BEF＝150°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△BHE中，EH＝2，
∵AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE＝CG＝2，
∴Rt△ABC的面积为×4×2＝4．
20．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，
∵∠E＝∠F，
∴∠BAG＝∠DAH，
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（ASA）．
21．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵DE＝EC，
∴BE⊥CD，
∴EC＝，
∴CD＝2EC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD BE＝6．
（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．
∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF，
∴∠DBE＝∠CDF，
∴∠BMF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，
∴∠DMB＝120°，
∵∠DAB+∠DMB＝180°，
∴∠ADM+∠ABM＝180°，
∵∠ABN+∠ABM＝180°，
∴∠ABN＝∠ADM，
∵AB＝AD，BN＝DM，
∴△ABN≌△ADM，
∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMB＝∠AMD＝60°，
∵MH＝MD，
∴△DMH是等边三角形，
∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，
∴∠ADH＝∠BDM，
∵AD＝DB，DH＝DM．
∴△ADH≌△BDM，
∴AH＝BM，
∵AM＝AH+HM，
∴AN＝AM＝DM+BM．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
23．（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，
在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，
∴4m2+3m2＝63，
∴m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴BC＝6，EC＝3，
∴S菱形ABCD＝BC CE＝18．
（2）作CK∥AH交BE于点K．
∵△AFH是等边三角形，
∴∠AHF＝∠AFH＝60°，
∵AH∥CK，
∴∠AHF＝∠CKE＝60°，
∴∠AFB＝∠BKC＝120°，
∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，
∴∠ABF＝∠BCK，
∵AB＝BC，
∴△ABF≌△BCK（AAS），
∴BK＝AF，
∵∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAF＝∠CAH，
∵BA＝AC，AF＝AH，
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴BF＝CH，
∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，
∴BK＝FK＝FH，
∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，
∴AG＝CG．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
（3）解：结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．