2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　）
A． B．4 C．4.5 D．5
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为（　　）
A．6 B．5 C．2 D．3
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）
A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
10．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝　 　度．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为　 　．
15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝　 　．
16．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
17．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为　 　．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．
19．如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
20．在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
2．解：∵△AD′C≌△CBA，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42，
64﹣16x+x2＝x2+16，
16x＝48，
解得x＝3，
∴△AFC的面积＝×4×8﹣×3×4＝10．
故选：B．
3．解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝ AE BF，
∴BF＝．
故选：B．
4．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5．
故选：D．
5．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE：ED＝1：3，
∴BE：OB＝1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AE⊥BD，AE＝3，
∴AB＝2，
故选：C．
7．解：设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴h＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
8．解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
9．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．
10．解：连接CF，如图所示：
∵DE是AC的中垂线，
∴AF＝CF，∠CDE＝90°，
∴∠ACF＝∠A＝30°，
∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，
∵AF＝BF，
∴CF＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，
∴CD＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，
∵BE⊥DF，
∴∠E＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴四边形BCDE的面积＝BC CD＝2×＝2；
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG＝DG，
∴∠ADG＝∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CED，
∴∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠CED，
∵∠AED＝2∠CED，
∴∠AED＝∠AGE，
∴AE＝AG＝4，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故答案为22.5°．
13．解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB，
∵AB＝3，AD＝4，
∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝××PE+××PF＝（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝．
故答案为．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OB＝OC，OB＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵∠1＝15°，
∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠AOB＝30°+30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴∠OEB＝∠EOB，
∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°，
∴∠OEB＝75°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°，
故答案为：30°．
16．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故答案为16．
17．解：连接HF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝90°
∵H、F分别为AD、BC边的中点，
∴DH＝CF，DH∥CF，
∵∠D＝90°，
∴四边形HFCD是矩形，
∴△HFG的面积是CD×DH＝S矩形HFCD，
即S△HFG＝S△DHG+S△CFG，
同理S△HEF＝S△BEF+S△AEH，
∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，
故答案为：1：1．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ＝PQ，PC＝DC，
∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，
∴PC＝5，
在Rt△PBC中，PB＝＝4，
∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，
∴AQ＝．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°，
∴∠PME+∠DMF＝90°，
∵∠FDM+∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM＝QC，PM＝QC，
∴DM＝PM，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME＝DF，PE＝MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM＝MC，
∴DF＝CF＝DC＝，
∴ME＝，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，
∴AQ＝2．
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM＝CM，
∴∠DMQ＝2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP＝CM，
∴∠PMQ＝2∠PCQ，
∵∠DMP＝90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，
∴AQ＝AP＝2．
19．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
20．（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED＝∠BFD，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDE中
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形BFCE是矩形，
证明：∵△BDF≌△CDE，
∴DE＝DF，
∵BD＝DC，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵BD＝CD，DE＝BC，
∴BD＝DC＝DE，
∴∠BEC＝90°，
∴平行四边形BFCE是矩形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．