2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似同步测试卷（二）（Word版含答案）

2022年度初中数学九年级下册第二十七章相似同步测试（二）一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的每一条边都与圆O相切，E、F为切点，BD与圆O交于H，的值为（ ）
A． B．2﹣ C．﹣1 D．
3．如图，中，直径为8cm，弦经过的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
5．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F、G在边AC上，且DF∥EG∥BC，AD＝DE＝EB，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2
8．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ AC，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
9．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H．下列结论：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH PC；④PE：BC＝（2﹣3）：3．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，，，的平分线BD交AC于点E，______．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．过点D的反比例函数的表达式是 _____．
13．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________
14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P在近岸取点Q和S，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交于点R测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝_______m．
15．如图， 为的直角边上一点. 以为半径的半圆与斜边相切于点 ， 交于点. 己知， 则的半径是____________.
三、解答题
16．梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，
∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．
(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
17．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
(1)求证：AB＝AD．
(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
18．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BE=4，DE=8，求CD的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
故A、B选项正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE=BF，EF=BD
∴
故C选项正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴
∴，
故D选项正确；
故选：C．
2．C
【详解】
解：连接OE，OF，
∵正方形ABCD的每一条边都与⊙O相切，E、F为切点，∴∠AEO=∠AFO=∠A=90°，
∴四边形AEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴矩形AEOF是正方形，
∴AE=OE，
∵∠OEB=∠AEO=90°，∠EBO=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，∠EHF=∠EOF=45°，
∴OE=AE，
∴AE=BE=AB，
∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=135°-∠EHB，
∵∠FHO=180°-∠EHF-∠EHB=135°-∠EHB，
∴∠BEH=∠FHD，
∵∠EBH=∠HDF，
∴△BHE∽△DFH，
∴，
设AB=2a，
∴BE=a，
，
∴，
故选：C．
3．B
【详解】
解：连结AD，BC，
∵中，直径为8cm，
∴OA=OB=4cm，
∵弦经过的中点，
∴AP=OP=2cm，
∵∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴，
∴，
∵（PC-PD）2≥0，即．
故选B．
4．D
【详解】
解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．
故选D．
5．C
【详解】
解：过点作垂直于轴的线交于点，如下图：
，
，
，
与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：C．
6．C
【详解】
解：，
，．
，
，．
，．
，．
．
故选：C．
7．D
【详解】
∵AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB＝CB：CA，
∵∠CEB＝∠A+∠ABE＝72°，
∴∠CEB＝∠C，
∴BC＝BE＝AE，
∴CE：AE＝AE：CA，
∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE＞CE，
∴，
∴，
故选：D．
8．D
【详解】
解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，故①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵，FG⊥CA，
∴，
∴四边形CBFG是矩形，
∴CBF=90°，
，故②正确；
∵CA=CB，，
∴，故③正确；
∵，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：D．
9．D
【详解】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE，
∵AD∥BC，
∴∠FEP＝∠PBC，∠EFP＝∠PCB，
∵∠EPF＝∠BPC，
∴∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°，
∴△EFP是等边三角形，
∴BE＝CF，
∴CF＝2AE，
故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH PC，
故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF﹣BC＝BC﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3，
∵EF＝PE，
∴PE：BC＝（2﹣3）：3，
故④正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
10．A
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故选：A．
11．5
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴，
∴AE=5，
故答案为：5．
12．
【详解】
解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为点，
四边形是矩形，
，
轴平分边，且，
，
，
，
在中，，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
，轴，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
，
设过点的反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
则过点的反比例函数的表达式为，
故答案为：．
13．8
【详解】
解：如图所示，连接DE，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．90
【详解】
解：根据题意可得：，
∴，，
则∽，
又，
∴，
∵m，m，m，
∴，
解得：m．
故答案为：90．
15．
【详解】
解：在直角△ABC中，BC==3，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴BC是半圆的切线，
又∵AB与半圆相切，
∴BD=BC=3，AD=AB-BD=5-3=2．
连接OD．
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=∠BCA，
又∵∠A=∠A，
∴△OAD∽△BAC，
∴，即，
解得OD=．即半径长是．
故答案为：．
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
(1)
证明：如图，过点作，交的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴．
(2)
解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G
∴由题意可知
∵D是BC的中点，为等边三角形
∴，
在中
∵
∴
解得
故答案为：．
(3)
解：如图5，分别过作
∵图5同图1，故可知
∵F为AB中点，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形BCEF的面积为
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)①；②见解析
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB=AD；
(2)
①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项
∴FD2=AD·AF，
∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，
∴x2=4（4-x），
解得：x=或（舍），
∴FD=；
②由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴DF=CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2=AF AD，
∴，
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE．
18．(1)证明见解析；（2）12．
(1)
如图所示，连接OD，
AB为⊙O的直径，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
AC为⊙O的切线，
，
，
CD为⊙O的切线；
(2)
⊙O半径为r，
则在中，，
解得，
，
，
即，
解得．
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