2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似同步测试卷（一）（Word版含答案）

2022年度初中数学九年级下册第二十七章相似同步测试（一）
一、单选题
1．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（ ）
A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2 米
2．已知，那么下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．．
3．如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（5，4），分别以A、B为圆心，大于画弧，作直线GF经过弧的交点且分别与边AB，AD交于点E，F，则点F的坐标为（　　）
A．（4，4） B． C． D．（3，4）
4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过菱形的顶点和边的中点，若菱形的边长为6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，P为线段AB上的一点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、E、C在一条直线上，，，，若EF平分，则为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且满足△ADE∽△ACB， AED B ， 若 AB＝10，AC＝8，AD＝4，则 CE 的长是（ 　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2
8．如图，E是矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，BD，分别交对角线AC于点F，O．则AF：FO：OC＝（ ）
A．2：1：3 B．3：2：5 C．4：2：7 D．5：3：8
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴于点C，若AC∶BC＝3∶2，S△AOC＝6，则k的值为______．
12．如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A'处，若AB=2，则A'C的长度为____________．
13．如图，点阵中的相邻4个顶点的小正方形面积为1，则五边形ABCEF的面积为______．
14．如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为_____．
三、解答题
16．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．
(1)联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE PF；
(2)若AB2＝BD DP，求证：∠BPC＝90°．
17．如图，四边形OABC为正方形，反比例函数的图象过AB上一点E，BE=2，．
(1)求k的值．
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
(3)点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．
18．【认识模型】
(1)如图1，直线l1∥l2，直线m、n分别与l1、l2交于点A、B和点F、D，m和n交于点E．则＝ ；
　　　
【应用模型】
(2)如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，且．若BC＝4，AB＝10，求AC的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【详解】
如图，过点P作，分别交AB于点F，交CD于点E
∵AB//CD
∴
∴
又∵AB//CD
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴米
故选：B．
2．C
【详解】
解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，
∴3a=2b，
A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；
B：，即，故错误，不符题意；
C： ，即，故正确，符合题意；
D：，即3a=4b，故错误，不符题意；
故选C．
3．B
【详解】
解：由题意知，，EF是AB的垂直平分线，
∴，，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
解得，
∴，
故选：B．
4．D
【详解】
解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为、
则∠DMO=∠ENA=90°
∵是菱形
∴，
∴
∴
∴
又
∴设点坐标为，则，
∴
∴点坐标为
又点、都在函数的图象上
∴
解得：
在中，由勾股定理得
∴
故选：D．
5．D
【详解】
解：过点F作，交AB延长线于N，
∵四边形APCD、PBFE是菱形，
∴BF，
∴∠FBN=∠CPB=，
∵四边形PBFE是菱形，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB =，
∴∠N=∠PBE ==∠FBN，△PBE是等边三角形，
∴△BFN是等边三角形，
∴BN=FN=BF=b，
∵EF平分，
∴∠EFC=∠EFM，
∵EF=EF，∠BEF=∠FEC=，
∴△CEF≌△MEF，
∴EM=CE=a-b，
∵BE=PB=b，
∴BM=BE-EM=2b-a，
∵，
∴△ABM∽△ANF，
∴,
∴，
得
∴，
∵a>0，
∴，
∴=，
故选：D．
6．B
【详解】
解：∵△ADE∽△ACB， AED B ，
∴AB：AE=AC：AD，
而AB＝10，AC＝8，AD＝4
∴10：AE=8：4，
∴AE=5
∴ ．
故选：B．
7．D
【详解】
∵AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB＝CB：CA，
∵∠CEB＝∠A+∠ABE＝72°，
∴∠CEB＝∠C，
∴BC＝BE＝AE，
∴CE：AE＝AE：CA，
∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE＞CE，
∴，
∴，
故选：D．
8．A
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，OA=OC=AC，
∴△AEF∽△CBF，
∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∴，
∴AF=AC，
∴OF=OA-AF=AC-AC=AC，
∴AF：FO：OC＝AC：AC：AC=2：1：3，
故选：A．
9．B
【详解】
解：如图，设与交于点，
由旋转可知：，，，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10．C
【详解】
解：过点作垂直于轴的线交于点，如下图：
，
，
，
与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：C．
11．
【详解】
解：过点作轴于，
，
在和中，
，
，
，
，S△AOC＝6，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得，
，
，
．
故答案为：．
12．##
【详解】
解：如图，连接A'D，设BE与AC交于点M，
由翻折知，BE垂直平分AA'，
∴AB=A'B=2，AM=A'M，AE=A'E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠DCA=∠BAC，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE=A'E，
∴点A，A'，D三点在以AD为直径的圆上，
∴∠DA'A=∠DA'C=90°=∠AMB，
∴△ABM≌△CDA'（AAS），
∴A'C=AM，
∴AM=A'M=A'C，
∵∠ABC=∠ANB=90°，∠BAM=∠BAM，
∴△BAM∽△CAB，
∴，
设AM=A'M=A'C=x，则AC=3x，
∴，
解得，x=（取正值），
即A'C=，
故答案为：．
13．
【详解】
解：如图所示：
∵GD∥QH，
∴△PGF∽△PQH，
∴，
，
，
∵CD∥PQ，
∴△HCE∽△HQP，
，
，
∴五边形ABCEF的面积=S△PQH-S△PGF-S△HCE-S矩形ABQG
，
故答案为：．
14．
【详解】
解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为：．
15．5﹣或3﹣5
【详解】
解：过作于，如图所示：
，
，
，
的面积，
是边上的黄金分割点，
当时，，
，
的面积；
当时，，
，
，
的面积；
故答案为：或．
16．(1)见解析
(2)见解析
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，BC∥AD，
∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，
∴，，
∴，，
∴PC2＝PE PF；
(2)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠DCB＝90°，
∵
∴DC2＝BD DP，
∴，
又∵∠CDP＝∠BDC，
∴△CDP∽△BDC，
∴∠DCP＝∠BDC，
∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∴∠BPC＝90°．
17．(1)48
(2)OF⊥DF，见解析
(3)
(1)
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB，∠OAB=90°，
∵，
设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，
∴3x+2=4x，
∴x=2，
∴AE=3x=6，AO=4x=8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k=6×8=48；
(2)
解：OF⊥DF，理由如下：
将x=8代入y=得y=6，
∴D（8，6），
∴BD=BC-CD=8-6=2，
∵点F是线段AB的中点，
∴AF=BF=4，
∵，∠OAF=∠FBD=90°，
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF=∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，
∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，
∴OF⊥DF；
(3)
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，
∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，
∴△AFG≌△BFD（AAS），
∴AG=BD=2，GF=DF，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，
∵OC=OA=8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得，解得，
∴
设直线OF为y=ax，代入F（4，8），
∴a=2，
∴y=2x，
联立直线OF、CG得，解得，
∴点P的坐标为(，)．
18．(1)
(2)AC＝2
(1)
解：∵l1∥l2
(2)
解：如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，作CH⊥AE，垂足为H，交AB于点F．
∵BC∥AE，
∴△CDB∽△EDA ，
＝．
∵，
∴AC＝CE．
∵＝
∴＝．
∵△CDB∽△EDA，BC＝4，
∴AE＝8．
∵AC＝CE，CH⊥AE，
∴AH＝HE＝4．
∴AH＝CB，
在△AHF和△BCF中
∴△AHF≌△BCF．
∵AB＝10，
∴AF＝BF＝5．
∴在Rt△AHF中，
∴HC＝6．
∴在Rt△ACH中，．
答案第1页，共2页
答案第15页，共16页