5.3.2 函数的极值与最大（小）值同步练习-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word含解析）

5.3.2 函数的极值与最大（小）值
◎判断函数的极值点与极值
1．（2021·全国·高二课时练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·广西·昭平中学高二阶段练习（理））下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东·广饶一中练习）已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（ ）条件.
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
4．（2022·重庆八中高二期末）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．为函数的一个极大值点
C．函数在区间上单调递增
D．是函数的最大值
◎求函数的极值
1．（2022·河南驻马店·期末（文））函数的极小值是______．
2．（2021·广西·钦州一中高二期中（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
◎求函数的最值
1．（2021·全国·专题练习（理））已知函数在处有极值2．
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值．
◎含参数问题
1．（2021·江苏·南京市宁海中学高二期中）已知函数在处有极值0，则的值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
2．（2021·江苏·高二专题练习）（1）若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值；
（2）已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a，b使f(x)在区间[-1，2]上取得最大值3，最小值-29 若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
3．（2022·全国·高二课时练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．
4．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知方程对总有解，则实数的范围为___________.
◎导数的综合应用
1．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，证明：．
2．（2022·福建永泰·高二期末）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
3．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
巩固提升
一、单选题
1．已知定义在上的函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．有极小值 B．有最大值
C．是奇函数 D．是偶函数
2．函数有（ ）
A．极大值点3 B．极小值点3
C．极大值点1 D．极小值点1
3．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最小值为-1
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
二、多选题
7．设函数f（x）的定义域为R，是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． B．是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
8．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
9．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．函数y＝在[0，2]上的最大值为________.
11．已知(a>0，b>0)在x=1处取得极值，则的最小值为___________.
12．函数仅有一个零点，则实数的取值范围是_________.
四、解答题
13．设函数．
(1)求的值；
(2)求的极大值．
14．已知函数．
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)求出方程的解的个数．
15．已知函数在与处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
16．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明
参考答案：
1．A
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
2．D
A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；
B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；
C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值；
D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，
故选：D
3．C
时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.
是的极值点时，由于在上连续，所以.
所以是为函数极值点的必要不充分条件.
故选：C
4．BC
由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、上单调递增，
故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC正确，AD错误.
故选：BC.
◎求函数的极值
1．2
由题意可得．由，得或；由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，则．
故答案为：
2．（1）；（2）单调增区间，，单调减区间；极小值为，极大值为．
解：（1），所以,
故切线方程为；
（2），
解，得或；解，得；
所以，为函数的单调增区间，
为函数的单调减区间
所以的极小值为，极大值为.
◎求函数的最值
1．（1），；（2）最小值是-2，最大值是2．
解：（1），
∵函数在处取得极值2，
∴，解得，
，经验证在处取极值2，故，
（2）由，令，解得
令，解得或，
因此，在递减，在递增，的最小值是
而，故函数的最大值是2．
◎含参数问题
1．C
解：由，得，
因为在处有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，
当时，，令，得或，经检验 和都为函数的极值点，
综上，
所以，
故选：C
2．（1）；（2）存在，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
(1)由于，所以.
依题意，可得且.
即解得
(2)存在,，
令，解得x1=0，x2=4(舍去).
①当a>0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表
x (-1，0) 0 (0，2)
+ 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以当x=0时，f(x)取得最大值.所以b=3.
又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，所以当x=2时，f(x)取得最小值，
所以-16a+3=-29，即a=2.
②当a<0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (-1，0) 0 (0，2)
- 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=0时，f(x)取得最小值.所以b=-29.
又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，所以当x=2时，f(x)取得最大值，
所以-16a-29=3，即a=-2.
综上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
3．
函数定义域为R，.
令，则.
当时，有，，即恒成立，所以在R上单增，无极值；
当时，有，有两个根（不妨设），令解得：；令解得：，所以在上单增，在上单减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.
故实数a的取值范围是.
故答案为：
4．
由有解，记，，.
为增，，，为减，.，
由有解，则，.
故答案为：
◎导数的综合应用
1．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
（Ⅰ）由题可知，．
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，解得．
当时，，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：若，则由（Ⅰ）可知，在处取得极大值，
．
令．，，
函数在上单调递减．
又，，
．
【点睛】
关键点点睛：第（Ⅱ）问的关键点是：通过构造函数证得.
2．（1）极小值为，无极大值；（2）.
（1）函数的定义域为，
当时，.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）对，恒成立，即对，恒成立.
令，则.由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此.
所以的取值范围是.
3．(1)在和上单调递增，在上单调递减；
(2)证明见解析
(1)
解：当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
(2)
解：，
，，
因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，
所以，，则，所以，
所以
，
令，
则，
，，
在上单调递减，
，而，
即，
．
巩固提升
1．A
由图可知：有极小值，无最大值，且的定义域为，，
所以该函数不是奇函数，同时函数图象不关于轴对称，故不为偶函数，
所以答案为A
故选：A
2．A
∵，
∴，
当时,单调递增；当时,单调递减.
∴在处取得极大值，即只有一个极值点，且是极大值点，
故选：.
3．B
因为函数，
所以，
所以，，
解得a=2,b=5，
=-3，
故选：B
4．C
由题意知，，
由函数有极小值和极大值，
得方程有两个不同的实根，
所以或，
即的取值范围为.
故选：C
5．C
解：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，排除B、D选项，
又，所以，
令，则，
令，解得，而，
所以当时，，所以单调递减，且，
，
所以存在，使得，即存在，使得，且 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减，
所以排除A选项，
故选：C．
6．A
选项①，由，所以是偶函数，故正确.
选项②，当时，，则
所以在上单调递增, 故正确.
选项③，由②可知，在上单调递增，且，
所以函数在上有唯一零点，
又根据①是偶函数，则函数在上有唯一零点
所以在有两个零点，故不正确.
选项④，由前面可知函数在单调递减，在上单调递增
所以，故正确.
故选：A
7．BD
对A. 是的极大值点，并不是最大值点，故A不正确；
对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；
对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；
对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
8．BC
对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，
对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，
故选：BC
9．ABD
函数与互为反函数，则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图象：
则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于D，记，则，，则，又，令，则，
当时，在上单调递增，
故，故D正确.
对于C，令，
，令，，
当时，，所以单调递减，所以，
所以， 所以在上单调递减，所以，
故C错误；
故选：ABD.
10．
∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0，2].
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)max＝f(1)＝.
故答案为：
11．
解：因为，所以，因为函数在处取得极值，所以，即，因为，，
所以当且仅当，即，时取等号；
故答案为：
12．
【解析】
解：由题意可得：函数，
所以，
令，则或，
令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为
所以当时函数有极大值，
当时函数有极小值，，
因为函数仅有一个零点，，
所以或，
解得或.
所以实数的取值范围是
故答案为：
13．(1)-3
(2)2
(1)
解：因为函数，
所以，
所以；
(2)
令，得，
当或时，，
当时，，
所以当时，取得极大值.
14．(1)f(x)的最大值为7，最小值为－33；
(2)见解析.
(1)
0 2 3
+ - +
f(－2)＝－33 ↗ f(0)＝7 ↘ f(2)＝－1 ↗ f(3)＝7
∴f(x)的最大值为7，最小值为－33；
(2)
0 2
+ - +
↗ f(0)＝7 ↘ f(2)＝－1 ↗
当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；
当a＝－1或7时，方程有两个根；
当－1＜a＜7时，方程有三个根.
15．(1)，；
(2).
(1)
由题设，，
又，，
解得，.
(2)
由（1）得，即，
当时，，随的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，
又，显然f（-）＜f(2),
所以为在上的最大值.
要使对任意恒成立，则只需，
解得或c>1.
∴实数c的取值范围为.
16．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
解：函数的定义域为，
，
∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；
当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
(2)
证明：因为时，证明，只需证明，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以.
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
所以时， ，
所以当时，