2021-2022学年河北省张家口市宣化区九年级（上）期末数学试卷（冀教版）（Word版 含解析）

2021-2022学年河北省张家口市宣化区九年级（上）期末数学试卷（冀教版）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共14小题，共34.0分）
如果反比例函数的图象经过点，则的值是
A. B. C. D.
若关于的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是
A. B. C. D. 或
数据，，，，，，的众数和中位数是
A. ， B. ， C. ， D. ，
如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为
A.
B.
C.
D.
如图，点是反比例函数图象上的一个点，过作轴，轴，则矩形的面积是
A.
B.
C.
D.
在中，若，，都是锐角，则的度数是
A. B. C. D.
如图，是的直径，点在上，，，则图中与相似的三角形的个数为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，是的切线，，则
A.
B.
C.
D.
如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥接缝处不重叠，那么这个圆锥的高为
A. B. C. D.
在中，，用直尺和圆规在上确定点，使∽，根据作图痕迹判断，正确的是
A. B.
C. D.
如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是
A.
B.
C.
D.
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
如图所示，在中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：；；；∽其中一定正确的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
已知一元二次方程有一个根为零，则的值为______．
如图，经过，，三点，，分别与相切于，点，，则______．
如图，为等边三角形，点、分别在边、上，，如果：：，，那么的长等于______ ．
直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是______．
如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______．
如图，是的直径，弦，若动点以的速度从点出发沿着的方向运动，点以的速度从点出发沿着的方向运动，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为，当是直角三角形时，的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图图和不完整的扇形图图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；
全校共有名学生，求读书超过册的学生的人数．
随后又补查了另外几人，得知最少的读了册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的直径．
为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台；每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量单位：台和销售单价单位：万元成一次函数关系．
求年销售量与销售单价的函数关系式；
根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，卓玛同学为了探究信号塔的高度，从建筑物一层点沿直线出发，到达点时刚好能看到信号塔的最高点，测得仰角，长米．接着卓玛再从点出发，继续沿方向走了米后到达点，此时刚好能看到信号塔的最低点，测得仰角不计卓玛同学的身高求信号塔的高度结果保留根号．
在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为不含双曲线与坐标轴．
求的值；
求内整点的个数；
设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部不包括边界不超过个整点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值．
【解答】
解：根据题意，得，即，
解得，．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为系数不为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】
解：由题意得：，
解得或．
不符合题意，舍去，即；
它的一次项系数．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：在这组数据中出现次数最多的是，即众数是；
把这组数据按照从小到大的顺序排列，，，，，，，
中位数为；
故选：．
在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，中间的数是中位数．
本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
4.【答案】
【解析】解：连接，设的半径为，
垂直平分半径，，
，，
在中，
，即，
解得．
故选A．
连接，设的半径为，由于垂直平分半径，，则，，再利用勾股定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：轴，轴，
矩形的面积，
故选：．
直接根据反比例函数系数的几何意义求解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
，，
．
故选C．
本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为，这两个非负数的值都为”分别求出、的值．然后用三角形内角和定理即可求出的值．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．
7.【答案】
【解析】解：，
图中的所有的三角形都是直角三角形
在直角和直角中，
∽
同理：，，均与相似
共有四个
故选A．
根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
本题考查相似三角形的判定，直径的性质等知识点的综合运用．
8.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
是的切线，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，于是得到．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
剩下的扇形的角度，
留下的扇形的弧长，
圆锥的底面半径，
圆锥的高．
故选B．
因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高．
主要考查了圆锥的性质，要知道圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10.【答案】
【解析】解：当是的垂线时，∽．
，
，
，
，
，
∽．
根据作图痕迹可知，
选项中，是的角平分线，不符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
故选：．
如果∽，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选A．
13.【答案】
【解析】解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为人．
故选：．
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在 中，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
；故正确；
，，
；故正确；
，
，
，故正确；
不平行于，
与只有一个角相等，
与不一定相似，故错误，
故选：．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：把代入一元二次方程，
可得，
解得或，
二次项系数，
，
．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求得的值．
本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
16.【答案】
【解析】解：，分别与相切于，点，
，，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：．
根据切线的性质定理得到，，根据四边形的内角和等于求出，根据圆周角定理解答．
本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解为等边三角形，
，，
，，
，
，
∽，
，
：：，
，
，
，
．
故答案为：．
由等边三角形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查、折叠与对称，勾股定理等知识点．
折叠后形成的图形相互全等，设，则，在中利用勾股定理求出，利用三角函数的定义可求出．
【解答】
解：根据题意，设，则．
在中，，
解得，故CE，
．
故答案为．
19.【答案】
【解析】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，
轴，
轴，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
点在双曲线上，
，
同理，
，
，
，
，
故答案是：．
过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
20.【答案】或
【解析】解：如图，是直径，
．
又，，
根据勾股定理得到．
则，．
当点到达点时，点也随之停止运动，
．
如图，当时，，则
∽．
故，即，解得．
如图，当时，∽，则，即，
解得．
综上所述，当或时，为直角三角形．
故答案是：或．
应分两种情况进行讨论：当时，为直角三角形，根据∽，可将时间求出；当时，为直角三角形，根据∽，可将时间求出．
本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间时应分情况进行讨论，防止漏解．
21.【答案】
【解析】解：被调查的总人数为人，
册的人数为人，
平均数为册，
被抽查的学生读书册数的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均为册，
被抽查的学生读书册数的中位数为册，
众数是册，
答：条形图中被遮盖的数是，册数的平均数是册，中位数是册，众数是册；
人，
答：全校读书超过册的人数约为人；
册和册的人数和为，中位数没有改变，
总人数不能超过，即最多补查了人，
故答案为：．
由册人数及其所占百分比求出总人数，再根据各册数的人数和等于总人数可得册人数；
用乘以对应人数所占比例即可得；
由册和册的人数和为，中位数没有改变知总人数不能超过，据此可得答案．
本题考查了概率公式，也考查了统计图和中位数，能从统计图中读取相关信息是解题关键．
22.【答案】解：由题意知，，
解得：，
又，即，
则且；
由知，
则方程为，
即，
解得或．
【解析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
由得到关于的不等式，解之得到的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
由知，还原方程，利用因式分解法求解可得．
23.【答案】证明：连接，如图，
，为的中点，
，
，
又，
，
而，
，即，
，
与相切；
由得，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
直径的长为．
【解析】连接，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由，为的中点得到，则利用等腰三角形的性质得，，由于，所以，即，于是根据切线的判定定理即可得到与相切；
根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
24.【答案】解：设年销售量与销售单价的函数关系式为，
将、代入，得：
，
解得：，
年销售量与销售单价的函数关系式为．
设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，．
此设备的销售单价不得高于万元，
．
答：该设备的销售单价应是万元台．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量与销售单价的函数关系式；
设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解值取其小于的值即可得出结论．
25.【答案】解：在中，，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
答：信号塔的高度为米．
【解析】在中，根据三角函数的定义得到米，在中，根据三角函数的定义得到米，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
26.【答案】解：双曲线经过点，
解得，；
对于双曲线，
当时，，
在直线上，当时，有整点，，
当时，，
在直线上，当时，有整点；
当时，，
在直线上，当时，有整点；
当时，，
在直线上，当时，没有整点．
内整点的个数为个；
当时，点，点，点，
此时在区域内不包含边界有、、共个整点，线段上有个整点，线段上有个整点，
点重合，点、在边界上，
当时，区域内至少有个整点．
当时，点，点，
线段上有个整点，此时区域内整点个数为个．
当时，区域内部整点个数增加．
若内部不包括边界不超过个整点，．
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
分别写出直线上、直线上、直线上、直线上的整点，得到答案；
写出时，在区域内和线段上、线段上的整点，再写出时的情况，根据题意得到答案．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
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