2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——计算原理与概率统计3 (1)

2022届高三各地一模试卷专题汇编——计算原理与概率统计1．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
2．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），对每个正整数k，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前m项和为.求使得成立的所有正整数m的值.
3．系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
4．一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
5．设，，.
（1）求证：
①；
②（其中）；
（2）化简：.
6．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
7．某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
8．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
9．2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.
(1)记小明前2题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；
(2)记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.
10．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.
（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
11．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．
12．1.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
13．已知数列的首项为1，设，.
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；
（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由.
14．数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.
15．已知.
（1）证明是整数，并求的整数部分的个位数；
（2）将按照的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数.
16．已知集合.集合含有个元素的子集分别记为，，，，，其中，，.当，时，设，且.定义：；.
（1）若，
（i）写出满足的一个集合，并写出的最大值；
（ii）求的值；
（2）若存在唯一的，使得，求的值.
17．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
18．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25% 选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50% 选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩 防护服 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.
（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲 乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲 乙两人抢购成功的订单总数量 口罩总数量分别为，.
①求的分布列及均值；
②求的均值取最大值时，正整数的值.
20．2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【解析】
【分析】
（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】
解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】
本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：
（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；
（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
2．（1）（）；（2）.
【解析】
【分析】
第（1）问，由，把条件代入得与的关系，从而求得的通项公式；第（2）问是探究性问题，可采用二项展开式及不等式放缩的技巧进行探究，以寻找正整数m的值是否存在.
【详解】
（1）当时，由及为正整数，得；
当时，由
得，∵，∴.
故是首项和公差均为2的等差数列.
∴（）.
（2）当时，，，满足要求.
当时，若，则，不满足要求；
若，则必为数列中的某一项，不妨设（），
于是
.
由，得，即（）.（*）
显然，不满足（*），则当时，有
，
∴方程（*）无正整数解.
综上所述，满足条件的正整数m只有一个，即.
3．（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.
【解析】
【分析】
（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.
（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.
【详解】
（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，故，
（2）若增加2个元件，此时共有个元件.
为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
分三种情况讨论：
①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.
所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；
当，，系统可靠性降低；
当，，系统可靠性提高.
4．（1）；（2）；证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.
【详解】
解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知得，
的所有可能取值为1，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以p关于k的函数关系式为（且）
证明：令（且）
所以，
令，
，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
【点睛】
本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.
5．（1）①证明见详解；②证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）①证明即可，根据组合数定义化简求值；②证明即可，同样根据组合数定义化简求值.
（2）根据二项式定理，可得，两边同乘以求导，再同乘以再次求导，令即可求解.
【详解】
（1）①
，所以，即.
②
，
所以，即（其中）；
（2）当时，由二项式定理，有，
两边同乘以，得，
两边对求导，得
，
两边再同乘以，得
，
两边再对求导，得
令，得，
即，
即.
6．（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）（i）由题意可知，利用二项分布求解即可；
（ii）根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可.
【详解】
（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】
关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键，属于较难题.
7．（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.
【解析】
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.
此时，，.
【点睛】
本题考查二项分布的应用，涉及利用基本不等式求最值，属中档题，关键是熟练掌握独立事件及独立重复事件概率公式，利用基本不等式和二次函数的性质求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率的最大值，熟练掌握二项分布的期望值公式.
8．（1）5；（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3， ，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，， ，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2， ，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
9．(1)
0 10 40
数学期望为
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）写出的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出与的关系式，利用构造法求出的通项公式.
(1)
的所有可能取值为0，10，40
，
.
∴的分布列如下：
0 10 40
；
(2)
根据题意得：第题回答正确的概率为，则，所以
，而，∴成首项为，公比为的等比数列，所以，故.
10．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，可知最后一局必然甲赢，可知的可能取值有、、，分别计算出在不同取值下的概率，可得出，进而可得出，由此可气得结果；
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，可知的可能取值有、，分别计算出在不同取值下的概率，可求得，进而可得出，再利用导数求出的最小值，进而可得出结论.
【详解】
（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以.
所以，甲赢的概率为.
所以，；
（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部奖金的概率为.
于是甲赢得全部奖金的概率.
求导，.
因为，所以，所以在上单调递增，
于是.
故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.
【点睛】
关键点点睛：本题在求和时，要明确最后一局是谁赢，前几局甲或乙各赢了几局，再结合独立事件的概率乘法公式计算即可.
11．(1)分布列见解析，（分）
(2)
【解析】
【分析】
（1）可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；
（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案.
(1)
解：可取5，6，7，8，9，10，
，，
，，
，，
分布列如下：
5 6 7 8 9 10
所以（分）；
(2)
解：设一天得分不低于3分为事件，
则，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率，
则
，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值.
12．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；
（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；
（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.
(1)
由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
(2)
设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着，共有条最近路线；
③沿着，共有条最近路线；
④沿着，共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
(3)
由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形.
13．（1）15；（2）；（3）能，.
【解析】
【分析】
(1)根据为常数列，代入可求得的表达式；
(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；
(3)先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论.
【详解】
(1)因为为常数列，所以.
，
所以.
(2)因为为公比为2的等比数列，.
所以，
所以，
故.
(3)假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为，则
相加得
所以.
所以恒成立，
即恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，
它的通项公式为.
14．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.
（2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可.
（3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和.
(1)
由题设，，又，
所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，；
综上，.
(2)
证明充分性：当时，可得；
证明必要性：当时，用反证法，
假设，则矛盾.
从而；
所以的充分必要条件是，得证.
(3)
当时，由（2）知：，反之亦然.
当时，有中不同取值方式，
其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种，
因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次，
从而所有指数和之和为 .
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和.
15．（1）证明见解析，9；（2）最大项是第578项，最小项是第2022项.
【解析】
【分析】
(1)把和按二项式定理展开，分析它们的同次幂的奇次项和偶次项，再讨论的范围即可作答；
(2)分析按的升幂展开的第r+1项和第r+2项系数的比与1的关系即可作答.
【详解】
(1)按的升幂展开的第r+1项是：
，
为偶数，和展开式中该项值都为正且相等，为奇数，和展开式中该项值互为相反数，
于是，
而，对于每一个n值，都是正整数，即是整数，
显然对于每一个n值，都有因数5，即个位数字为0，
而，则，从而得的整数部分的个位数是9，
所以是整数，且的整数部分的个位数是9；
(2)令按的升幂展开的第r+1项的系数为，，显然恒成立，
从而得，
由得，即时，，
时，，而，
所以展开式中系数最大是第578项，最小的项的项数是第2022项.
16．（1）（i），的最大值为3；（ii）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）理解定义：，.
（i）取特殊值可得答案；
（ii）用枚举法可得答案，
（2）分类讨论，分一类含，一类不含，分别求得对应集合，建立方程可求得答案.
【详解】
解：（1）若，
取，2，3，，.所以的最大值为3.
枚举法：集合含有1个元素的子集有，，，，，则；
集合含有2个元素的子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则；
集合含有3个元素的子集有，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，4，，，3，，，3，，，4，，，4，，则；
.
（2）对于集合的子集，可以分两类，一类含，一类不含；
如果有集合，，，，，，，，，且，则存在唯一与之对应的集合，，，，
满足，，，，，，，，且这样的集合有组，最后还剩下集合；
，
令，得.
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的新定义，关键在于准确理解定义，在理解时，可采用特值法，用利于理解定义.
17．（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由题意可知的所有可能取值为，，，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望．
【详解】
解：（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为： ；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为：；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为： ；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：.
（2）依题意的所有可能取值为，，
由（1）知，
当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时，
分两种情况：
3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：
3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：
3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.
所以，
故，
故的分布列为
则．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考査数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养．
18．（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为
0 1 2 3
故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
19．（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.
【解析】
【分析】
（1）可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）①可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用基本不等式可求出.
【详解】
（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级 一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.
，，
，所以的分布列为
0 1 2
所以.
因为，所以，当且仅当时取等号.
所以取最大值时，的值为2.
20．（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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