2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——平面解析几何3

2022届高三各地一模试卷专题汇编——平面解析几何
1．在平面直角坐标系中，、、、，直线、相交于点，且它们的斜率之积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过的直线与的轨迹交于、两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由．
2．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．
3．把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.
4．已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值．
5．如图，已知点F(1，0)为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG，△CQG的面积为，.
(1)求p的值及抛物线的标准方程.
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
6．已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，斜率为的直线l过点F和点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线m交椭圆C于点M、N，且满足(O为坐标原点)，求直线m的方程．
8．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．
9．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P，Q两点，且直线PQ垂直于x轴，O为坐标原点，的面积为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)圆D与抛物线C交于A，M，B，N四点（A，M，B，N四点依逆时针顺序排列），若，（，），，求直线AB的方程．
10．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求的范围．
12．已知点P到点的距离比它到直线的距离小1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点M，N在点P的轨迹上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），求面积的最小值.
13．已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.
14．已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
(3)证明：内切圆的面积小于．
15．已知过点的直线与抛物线C：交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线QN过定点．
16．已知圆，椭圆．
(1)求证：圆C在椭圆M内；
(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．
17．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上两点，直线与曲线相切，求的取值范围．
18．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
19．已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为.
(1)求此椭圆E方程；
(2)设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O.
（i）求矩形ABCD面积的最大值；
（ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)点在以为直径的圆外，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设点，根据斜率公式结合已知条件可得出点的轨迹方程；
（2）分析可知直线不与轴重合，可设，另记、，将直线的方程与的轨迹方程联立，列出韦达定理，计算出，即可证得结论成立.
(1)
解：设点的坐标为，其中，
则直线的斜率为，直线的斜率为．
由已知有，化简得点的轨迹方程为．
(2)
解：点在圆外，理由如下：
若直线与轴重合，则该直线与曲线无公共点，
故可设，另记、，
联立，可得，．．
由韦达定理知，
，，
则有
，
其中无解，则，故，
即点在以为直径的圆外．
【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
2．(1)
(2)
(3)存在；点的个数为2
【解析】
【分析】
（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；（3）先求出的长度，得到到直线的距离等于，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.
(1)
，令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.
(2)
直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.
(3)
由第二问得：，此时，故，
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，
当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；
当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．
3．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.
（2）设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而
求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.
(1)
当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，
由消去y并整理得：，则，解得，
于是得切线AB的方程为：，抛物线，，
由消去y并整理得：，显然，
设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，所以.
(2)
显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，
由消去y并整理得：，
，关于的方程，
于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，
切点C的横坐标是方程的等根，则点，
同理可得切点，则直线斜率为，
直线：，由消去y并整理得：
，即，
，
设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，
又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，
由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，
所以与的面积相等，即.
【点睛】
结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
4．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出相应等式，求得，再根据点（）是椭圆上一点，求得，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形ABCD的面积，化简可得结论.
(1)
不妨取左焦点（－c，0），到渐近线的距离为，解得，
∴
又∵点（）是椭圆上一点，∴，
解得
因此，椭圆的方程为
(2)
证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点
联立，得，
则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线AB的距离为，
因为
且
所以（定值），
综上述四边形ABCD的面积为定值．
5．(1)2，；
(2)最小值1＋，G(2，0).
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的性质可得：，由此能求出抛物线的准线方程；
(2)设，，，，，，重心，，令，，则，从而得直线的方程，代入抛物线方程求出B，由重心在轴上，得到C和G，进而得直线的方程，从而得Q的坐标，由此结合已知条件能即能求出结果．
(1)
由题意得＝1，即p＝2.
∴抛物线的标准方程为；
(2)
设，，，，，，重心，，
令，，则，
由于直线过，故直线的方程为，
代入，得：，
，即，，，
又，，重心在轴上，
，
，，，，
直线的方程为，得，，
在焦点的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时．
【点睛】
本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
6．(1)
(2)为定值
【解析】
【分析】
（1）根据，的面积为，求得，即可得出答案；
（2）设点，则点，根据在椭圆上，可得，设直线的方程为，则直线的方程为，
分别联立，求得三点的坐标，从而可得出结论.
(1)
解：因为，所以，
又，
联立可得，
所以椭圆的方程为；
(2)
解：设点，则点，
由题意得，
因为在椭圆上，
所以，则，
所以，
即，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立消得，
由在椭圆上，
所以，所以，
所以，
联立消得，
由点在圆上，所以，所以，
同理：，
所以，
所以，
即为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.
7．(1)；
(2)或或.
【解析】
【分析】
(1)由直线斜率求出c，由离心率求出a，由a、b、c关系求出b；
(2)按m斜率是否存在进行讨论.当直线m斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，求出△OMN的面积，另外也可由求得△OMN的面积，由此得关于k的方程即可求解.
(1)
由题设知，直线的斜率．
椭圆离心率，则．
∴，椭圆的标准方程为．
(2)
当直线m的斜率不存在时，m：x＝－2，直线交椭圆于点、.
．
注意到是等腰三角形，则，，
，∴直线满足要求．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
与联立消去整理得：
.
因直线过椭圆的左焦点，
∴直线与椭圆必相交，设交点、，
则，.
点到直线的距离.
，
∴，直线的方程为：或，
即或或.
【点睛】
关键点睛：由求出△OMN的面积，利用等面积法可求直线m的斜率.
8．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据通径的性质即可求解；
(2)取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．得，设AB方程，与椭圆方程联立，表示出并求其范围即可.
(1)
由右焦点知，，
当垂直于x轴时，最小，其最小值为．
又∵，解得，，
∴椭圆C的标准方程为．
(2)
解法一：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点．
∴．
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为．
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，，
，
∴，
令，则，
此时．
综上可得，面积的取值范围为．
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为1，
又，∴的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k ，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即．
故点P在直线上，且此直线平行于直线．
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
，
∴，
令，则，
此时．
综上可得，面积的取值范围为．
解法三：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点．
∴，
设直线的方程为，则点O到直线的距离．
联立方程，消去x整理得，
则，，，
，
∴，
∴，
即面积的取值范围为．
9．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
(1)由关系的面积为2，列方程求，由此可得抛物线方程；(2)由可设直线的方程为，由条件可得，列方程化简求，由此可得结果.
(1)
由已知地物线的焦点为，
令，代入，解得，所以，
所以，解得，
故抛物线C的方程为．
(2)
由题设，知过焦点F，且与坐标轴不垂直，
设，直线，
将代入，得．
则，
得的中点为．
又因为，所以直线的斜率为，且过的中点，
所以的方程为，即．
代入，并整理得，
设，则，
故的中点为，
．
因为是直径，所以垂直平分，
所以A，M，B，N四点在同一个圆上等价于，
所以，
即，
化简得，解得或．
所以直线的方程为或．
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
10．(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
11．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据离心率及通径长求出椭圆方程；（2）分直线AB斜率存在和斜率不存在两种情况得到的范围，进而得到答案.
(1)
当轴时，取代入椭圆方程得：，得，
所以，又，解得，，所以椭圆方程为．
(2)
由，记，
当轴时，由（1）知：，
所以，
当AB斜率为k时，直线AB为，
，消去y得，
所以，，
所以，综上，的范围是.
12．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件可得点P到点的距离等于它到直线的距离，再由抛物线定义即可得解.
(2)由(1)设出点M，N的坐标，再结合给定条件及三角形面积定理列式，借助均值不等式计算作答.
(1)
因点P到点的距离比它到直线的距离小1，显然点P与F在直线l同侧，
于是得点P到点的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点P的轨迹方程是.
(2)
由(1)设点，，且，因，则，解得，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
13．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由此求得，同理求得，从而化简求得直线的斜率为定值.
(1)
由题可知，解得，
从而粚圆方程为.
(2)
证明设直线的斜率为，
则，，
联立直线与椭圆的方程，得，
整理得，
从而，于是，
由题意得直线的斜率为，
则，，
同理可求得，
于是
即直线的斜率为定值.
14．(1)；
(2)存在，1；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
(1)
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为．
(2)
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求．
(3)
由(2)知，，
点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于．
15．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据求得，即可得出答案；
（2）设，，，直线AM的方程，理由韦达定理求得，从而可求得，直线QN的方程为，要证直线QN过定点，即证恒成立，同理求得直线MQ的方程，代入整理即可得出结论.
(1)
解：由题可知，
由，解得，
所以抛物线C的方程为；
(2)
证明：设，，，直线AM的方程，
联立消去y得，
则，
则，
由题可知，
所以直线QN的方程为，
要证直线QN过定点，即证，
即恒成立，
同理可知直线MQ的方程为，
代入得，
得，
所以，所以，即直线QN过定点．
16．(1)证明见解析
(2)4
【解析】
【分析】
（1）证明椭圆M上任意一点到圆心C的距离大于半径1即可解决；
（2）以设而不求的方法得到△面积的表达式，再去求最大值即可.
(1)
圆心，半径．设为椭圆M上一点，
则．
∵，∴当时，有最小值．
而，即，故点A总在圆C外．
∴圆C在椭圆M内．
(2)
若直线m斜率不存在，m不能过点，则m的方程只能为，
，．
若直线m斜率存在，设m的方程为．
由直线m与圆C相切得，化简得，则．
由得，
则．
又到直线m的距离．
设，则，
．
综上，面积的最大值为4．
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）对直线的斜率分成不存在，，三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围.
(1)
依题意.
所以椭圆的方程为.
(2)
圆的圆心为，半径.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，
，，
所以.
当直线的斜率为时，直线的方程为或，
，，
所以.
当直线的斜率时，设直线的方程为，
由于直线和圆相切，所以.
，消去并化简得，
.
设则，
所以
.
另一方面，由于，当且仅当时等号成立.
所以，即.
综上所述，的取值范围是.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
(1)
因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
(2)
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
，
故即，
综上，或.
所以的取值范围是.
19．(1)；
(2)(i) ；(ii).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件列出关于a，b的方程组，解方程组代入得解.
(2)(i)设直线AB方程，与椭圆方程联立求出线段AB长，再求出原点O到直线AB距离列出矩形面积求解即可；
(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情况即可判断计算作答.
(1)
令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆E的方程为：.
(2)
(i)由(1)知，，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为：，
由消去y并整理得：，点的横坐标，
则点的横坐标有：，解得，
则有，因矩形的边CD过原点O，则，
因此，矩形的面积，当且仅当，即时取“=”，
所以矩形ABCD面积的最大值是.
(ii)假定矩形ABCD能成为正方形，则，由(i)知：，
整理得：，即，而，解得，
所以矩形ABCD能成为正方形，此时，直线AB的方程为.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以
斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.
20．(1)；
(2)理由见解析，圆的方程为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.
(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.
(1)
因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，
，因此，，解得，，
所以椭圆C的标准方程是：.
(2)
由消去y并整理得：，
依题意，，设，
，因，
则
，
于是得，此时，，则原点O到直线l的距离，
所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为.
【点睛】
思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，
再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.
答案第1页，共2页
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