2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——数列2

2022届高三各地一模试卷专题汇编——数列
1．设数列满足，数列的前项和为，且
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
2．已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
3．设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.
4．2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.
(1)记小明前2题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；
(2)记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.
5．已知数列前n项和为，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：
①；
②.
7．已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.
(1)求与；
(2)设，，求的前项和.
8．对于项数为，的有限数列，记该数列前i项、、、中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，，即，，．例如数列：1、3、2，则，，；，；，．
(1)若四项数列满足，，，，求、、、；
(2)设c为常数，且，，求证：，；
(3)设实数，数列满足，，，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
9．在数列中，已知，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，问是否存在正整数m，n，使得若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
10．已知函数的图像上有一点列，点在轴上的射影是，且，且.
(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)对任意的正整数，当吋，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设四边形的面积是，求证：.
11．在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为的“等比子列”．已知等差数列，其各项与公差均不为零．
(1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式；
(2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为．当最小时，求的通项公式；
(3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”．
12．已知为数列的前项和，对任意的均有：
①；
②同时成立.
(1)求数列的通顶公式
(2)求数列的前项和.
13．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点的坐标为．
①当，，成等差数列时，求点的坐标；
②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
14．已知数列是各项均为正数的数列，且，.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)是否存在正整数c，使的解集中n的值有且仅有3个？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由.
15．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．
16．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．
(1)分别求2分钟，3分钟后的水温；
(2)记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(3)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
17．设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
(3)对于大于2的正整数（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.
18．已知在递减等比数列中，，其前项和是，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和，求的最大值.
19．设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质.
(1)若，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围；
(2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若数列具有性质，当 时， 都为单元素集合，求证：数列是等差数列.
20．已知数列满足，记为数列的前项和．
(1)证明：；
(2)证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)证明见解析，；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）结合与的关系用即可证明为常数；求出通项公式后利用累加法即可求的通项公式；
（2）裂项相消求，判断单调性求其最大值即可.
(1)
当时，
得到
，∴，
当时，
是以4为首项，2为公差的等差数列
∴
当时，
当时，也满足上式，.
(2)
令，
当，
因此的最小值为，的最大值为
对任意正整数，当时，恒成立，得，
即在时恒成立，
，解得t＜0或t＞3.
2．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.
(1)
因为=-n.
所以=-n-1，
所以
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
所以；
(2)
即证明： ，
，

.
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由求解；
（2）方法一：由题意得到，的各项为，再确定数列的项求解；方法二：由在数列中，前面（包括）共有项，令，确定数列的项求解.
(1)
解：设等差数列的公差为，
由题得，即，
整理得，
解得.
所以.
(2)
方法一：由题意可知，的各项为
即，
因为，
且，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
方法二：在数列中，前面（包括）共有项，
令，则，
所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，
所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，
所以，
4．(1)
0 10 40
数学期望为
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）写出的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出与的关系式，利用构造法求出的通项公式.
(1)
的所有可能取值为0，10，40
，
.
∴的分布列如下：
0 10 40
；
(2)
根据题意得：第题回答正确的概率为，则，所以
，而，∴成首项为，公比为的等比数列，所以，故.
5．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1），令，求出，再结合时，利用结合求出，然后结合和时，验证是否满足；
（2）把的通项公式带入中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的进行抵消求和.
(1)
，当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
(2)
.
6．(1)，
(2)
(3)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设出二次函数，求导可得与，进而求得，再利用退一相减法可求得与，再利用退一相减法求得；
（2）由（1）求出，再利用分组求和与错位相减可得；
（3）①构造函数，利用导数判断单调性，求最值即可得证；②根据①构造，再变形、赋值、放缩得：，代入化简后，再进一步放缩，利裂项相消法求和即可.
(1)
设二次函数，，
，则，
在上，
当时，
又时符合，
，
则，
由得，
①，
令代入上式得，
②，
①②得，，即，
又不满足上式，
；
(2)
由（1）得，，
③，
④，
③④得，
，
则，
(3)
①设，则，
在上是增函数，
，即，
故；
②，
当，时，令代入上式得：
，即，
令代入上式得，，，
则
，
故结论成立.
7．(1)，，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后根据等差数列和等比数列的通项公式计算出，，，，再结合已知条件即可求解；
（2）由（1）计算出数列的通项公式，数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
(1)
由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
，，
，，
，即，
解得（舍去），或，
，，
，.
(2)
由（1），可得，
则，
.
8．(1)，，，
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）结合已知条件，首先求出，，，然后利用数列的新定义即可求解；
（2）结合数列新定义可得到，然后结合已知条件可得到，进而即可证明；
（3）结合已知条件对参数分类讨论，易知当和时，不满足题意；当且时，构造等比数列并求出通项公式，结合数列新定义可得到，进而求得，然后可得到，对不等式求解即可得到答案.
(1)
因为四项数列满足，，，，
由题意可知，，故，，，且，
因为，从而，，，
故，，，.
(2)
证明：因为，，
所以，
又因为，所以，
故，即，
所以.
(3)
①当时，数列是等差数列，此时，不满足题意；
②当时，由可得，，
由可知，，
(i)当时，，
即，则数列为常数列，此时，不满足题意；
(ii)当时，，
故数列是公比为的等比数列，易得，
由题意可知，，
，
因为，且，
所以，
故对于任意正整数都成立，从而，
故，，
所以，
解得，
故实数的取值范围为.
9．(1)
(2)存在，，
【解析】
【分析】
由题意可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列，分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
，，假设存在正整数m，n，使得，化为，可得，2，分类讨论即可得出．
(1)
由，，
可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；
偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．
对任意正整数k，；．
数列的通项公式．
(2)
，．
．
假设存在正整数m，n，使得，
则，
，
从而，，
又，，2，3．
当时，式左边大于0，右边等于0，不成立．
当时，式左边等于0，，解得，．
当时，式可化为，显然不满足，
当时，存在，，，使得，，且，
从而，，，
，，于是，．
综上可知，符合条件的正整数对只有两对：，．
10．(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义进行证明即可，结合等比数列可求数列的通项公式；
（2）先求出，判断的单调性，利用单调性求出的最大值，结合恒成立可求的取值范围；
（3）先求四边形的面积表达式，然后利用放缩和裂项相消法可证结论.
(1)
因为，且
所以，即（常数）；
因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即；数列的通项公式为.
(2)
由题可知，由（1）可得
，所以，即，数列为单调递减数列.
所以最大值为；
因为当吋，不等式恒成立，
所以恒成立.
所以，解得或.
所以的取值范围为.
(3)
四边形的面积是.
因为，
所以.
因为，所以；
所以
【点睛】
本题综合了函数和数列，数列类型的判定和证明一般采用定义法进行，数列不等式的证明常用裂项相消法，适当放缩也是常用技巧；函数恒成立问题的求解转化为函数最值问题.
11．(1)或；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)“等比子列”可能为：；；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式；
(2)要使公比q最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式；
(3)要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明.
(1)
由题可设，
①n＝3时，“等比子列”仅可能为：则，无解；
②n＝4时，“等比子列”可能为：；；，
经验证：“等比子列”为时无解；
“等比子列”为时，前4项为：2，4，6，8，通项为；
“等比子列”为时，前4项为：－8，－6，－4，－2，通项为；
(2)
由题可知，
∵，∴为递增的等差数列，要使公比q最小，则，
即，∴，∴，
又，∴，解得；
(3)
由有，即.
∵，，
∴，
即，解得或.
∵，∴.
要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，
用数学归纳法证明：
①由以上推理及题设知的前三项满足，即时结论成立.
②假设当时，结论成立，即存在使.
当时，
.
即是的第项.
故时，结论成立.
由①②可知，总有是中的某一项.
综上所述，数列为数列的“等比子列”.
12．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用根据进行求解即可，注意验证题设条件；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
(1)
，当时，
两式相减得：，化简得
整理得：， 或
又对任意的均有：，故
当时，，整理得，解得或
当时，数列是首项为1，公差为2的等差数列，此时，不满足题意，舍去；
当时，数列是首项为3，公差为2的等差数列，此时，满足题意；
所以数列的通顶公式
(2)
由（1）知，，
①
②
两式相减得：
13．(1)；
(2)①或；②过定点、，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由焦点三角形的周长、离心率求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）①由（1）可得，结合椭圆的定义求，即可确定的坐标；②由题设，求直线、的方程，进而求、坐标，即可得为直径的圆的方程，令求横坐标，即可得定点.
(1)
由题设，易知：，可得，则，
∴椭圆.
(2)
①由（1）知：，令，则，
∴，解得，故，此时或
②由（1），，，
∴可令直线：，直线：，
∴将代入直线可得：，，则圆心且半径为，
∴为直径的圆为，
当时，，又，
∴，可得或.
∴为直径的圆过定点、.
【点睛】
关键点点睛：第二问，应用点斜式写出直线、的方程，再求、坐标，根据定义求为直径的圆的方程，最后令及在椭圆上求定点.
14．(1)
(2)存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）时可得，时可得，即可求出，进而求出前项和；
（2）题目等价于关于的不等式的解集中有且仅有3个正整数，利用二次函数的性质可求.
(1)
因为①，
当时，，即，
当时， ①，
①-②可得，即，满足，
所以，则，
所以.
(2)
由可得，
设，则对称轴为，开口向上，
则的解集中n的值有且仅有3个等价于关于的不等式的解集中有且仅有3个正整数，
则，即，解得，
又为正整数，所以.
15．(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据递推公式及()，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式.
(2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解.
(3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答.
(1)
因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，.
(2)
数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，2时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数k的取值范围是.
(3)
对于任意的正整数n，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为 的等差数列.
【点睛】
思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为 的递推关系，再求其通项公式；
二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求 .
16．(1)2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
(2)证明见解析，，；
(3)在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
(1)
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
(2)
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
(3)
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】
思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
17．(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合递推公式以及等比数列定义，即可求证；
（2）根据题意，通过对进行讨论，结合作差法，即可求解；
（3）根据题意，分别对、、三个数不同排序进行讨论，即可求解.
(1)
证明：根据题意，由，
得，即，
又，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
(2)
依题意，
则.
若存在，则对恒成立.
①当奇数时，，其中当时，，故；
②当为偶数时，，其中当时，，故.
综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.
(3)
由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，∴，
又，∴，∴；
②若，则，∴，
左边为偶数，右边为奇数，∴不成立；
③若，同理也不成立.
综合①②③得，.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题可设，则，即求；
（2）利用等比数列求和公式及裂项相消法可得，然后由判断数列的单调性，即得.
(1)
由题可设，由，，成等差数列，
则，即，
∴，
解得，（舍去），
故数列的通项公式为.
(2)
∵，
∴，又，
设，且数列的前项和为，
则，
所以.
令，
随着的变化，比较与变化速度，令，可得，
即，，，递增，而，，，，递减，
所以最大，最大值.
故的最大值为.
19．(1)
(2)数列不具有性质
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由数列具有性质，建立不等式组求解即可；
（2）根据数列是等比数列计算，利用不等式可得，由数列不具有性质可得存在使得，转化为，求出，即可判断；
（3）根据数列具有性质，运用不等式可得对任意的都成立，先证明时，，同理可得，即可证明.
(1)
由题意可得，即
解得；
(2)
设数列的通项为，
，
因为数列不具有性质，
所以存在使得，
所以，
，
，
不具备性质X；
(3)
因为数列具有性质，
所以 ，
对任意的都成立，
当时，需满足对任意的恒成立，
当时，有，即，
当时，有，
当时，，
，
所以只需 即可满足条件，
为单元素集合，
同理可证，对任意的时，都有，
所以数列是等差数列.
【点睛】
本题的证明过程，采用了类比的方法，首先证明时，需满足，再由为单元素集可得，类似的可证得其他情况都有，由等差数列的定义知为等差数列.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据数列的递推公式，利用数学归纳法及二倍角公式化简计算即可；
（2）利用放缩法及等比数列求和公式进行证明.
(1)
①时，，此时成立；
②假设时成立，即，
则时，，
即时命题成立．
综上可得：，．
(2)
由（1）得，
又函数，恒成立，所以函数在上单调递减，且，所以恒成立，即恒成立，
所以，
另一方面：，
，
当时，；
当时，；
所以．
答案第1页，共2页
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