2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——不等式选讲1

不等式选讲
1．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）证明：当时，总存在使成立
2．已知，设函数，，，，
(1)当时，求函数的值域；
(2)记的最大值为，
①求；
②求证：.
3．已知定义在上的函数满足：①对任意实数，，都有；②对任意，都有.
（1）求，并证明是上的单调增函数；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知，方程有三个根，若，求实数.
4．已知函数．
（1）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
5．已知函数
（1）当时，解不等式
（2）已知，，的最小值为m，且，求的最小值．
6．已知函数，，其中a∈R.
(1)若对恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围.
7．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
8． 已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最大值为3，求实数的取值范围.
9．已知集合，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
10．（1）解不等式：的解集
（2）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围.
11．1.已知函数，，其中为实数.
(1)当时，
①求不等式的解集；
②若不等式的解集包含，求实数的取值范围；
(2)已知在时恒成立，求的取值范围.
12．已知定义在上的函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
13．已知.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数，满足，求证：.
14．已知函数，函数，实数.
(1)当时，解不等式；
(2)令函数，对于给定的正实数a，方程有三个不同的实根 ，且，有恒成立，求实数的取值范围.
15．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，若的最小值为，求的值.
16．设函数，曲线在（1,0）处的切线与直线平行.证明：
（Ⅰ）函数在上单调递增；
（Ⅱ）当时，.
17．已知，，函数的最小值为，证明：
(1)；
(2)．
18．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）已知函数的最小值为，正实数满足证明:
19．已知函数
(1)解不等式
(2)设函数的最小值为M，若正实数a，b，c满足，求的最小值．
(3)若数列满足（或，a为常数），，求数列的前项和．
20．已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数的最小值为，正实数，满足，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）时，分区间讨论即可求出不等式的解；
（2）问题转化为有解，只需证明函数的最小值小于0即可.
【详解】
（1）当时
或或，
解得或，
所以的解集为或.
（2），
原问题转化为当时，不等式有解，
令，
即当时，有解，
只需即可.
化为分段函数，
，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数，
所以当时，，满足条件.
故当时，总存在使成立.
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，含绝对值函数的最值，分类讨论的思想，属于中档题.
2．(1)
(2)①；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）令，转化为，
配方求值域即可；
（2）①设，换元得，分类讨论即可求解；
②利用绝对值不等式的性质求出利用做差法与比较大小即可求证.
(1)
当时，，
令，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
(2)
①令，
所以，
因为，所以，所以，
，
，
是对称轴为，开口向上的抛物线，
，，
1）当时，，，所以，
2）当时，，，所以，
3）当时，，，所以，
综上所述：.
②
，
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，所以，
综上所述：所以.
3．（1），证明见详解；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）对抽象函数进行赋值，令，，即可求得；根据单调性的定义，作差，比较大小，定号即可证明；需要注意抽象函数在作差时的变形；
（2）利用函数的单调性，将问题转化为绝对值不等式恒成立的问题，再利用绝对值三角不等式求得最值，即可得到的取值范围.
（3）构造函数，从而将问题转化为函数图像交点的问题，数形结合，再利用，即可求解.
【详解】
（1）令，，则代入条件①，
得：又，则；
设，则
，
因为任意，都有，则，
令，则且，都有，
则对任意都有
则，所以，
所以：是上的单调增函数.
（2）由条件恒成立；
可化为，
即：，
即对恒成立.
因，
故只需.
解得.
（3）设，显然，
∴，
方程等价于
即：，
∵且可改写为：，
由，
又当时，，
∴，画出函数图像如下所示：
于是，∴，
由或，
∵，∴，，，
由已知条件，∴，
即，
又，
∴.
【点睛】
本题考查利用函数单调性的定义证明单调性，以及利用单调性解不等式，绝对值三角不等式求最值，涉及构造函数法，由函数零点的个数求参数的范围，属综合性困难题.
4．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出，然后通过去绝对值得出函数的最大值为，最后将对恒成立转化为，通过计算即可得出结果；
（2）本题首先可根据将转化为，然后去绝对值，得出，最后通过求出、的最值即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，
当时，；
当时，，；
当时，，
故函数的最大值为，
因为对恒成立，所以对恒成立，
即，，解得或，
故的取值范围为.
（2）因为，所以，
即，，
因为在上有解，所以在上有解，
即，，
因为，，所以，的取值范围为.
【点睛】
本题考查根据绝对值不等式恒成立求参数以及根据绝对值不等式有解求参数，可通过求最值的方式进行求解，考查通过分类讨论去绝对值，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，是难题.
5．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，令，作出函数、的图象，利用数形结合方法可以求解；
（2）由题意，利用绝对值不等式的性质求得,进而得到,然后将目标式子适当配凑整理，化为可利用基本不等式求最值的形式，然后得解.
【详解】
（1）由题可得，令，作出函数、的图象，如图.
观察图象：两函数有一个交点，所以不等式的解集为；
（2）根据绝对值三角不等式，有
∵，∴，当且仅当时取等号.
∴，
∵，∴，∴
∵，，
∴
，
当且仅当,即时取等号，
解得,
所以的最小值为.
6．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值不等式求出的最小值即可求解；
（2）不等式转化为在x∈[1，2]上恒成立，去绝对值，利用函数的单调性求最值可解.
(1)
由得，
令，则，
又，故只需，
解得或；
(2)
在x∈[1，2]时，恒成立等价于
在x∈[1，2]上恒成立；
由对x∈[1，2]恒成立，可得对x∈[1，2]恒成立，
由在x∈[1，2]递增，可得的最大值为3﹣4＝﹣1，则a≥﹣1，
又在x∈[1，2]递减，可得的最小值为1+4＝5，则a≤5，
可得﹣1≤a≤5；①
由对x∈[1，2]恒成立，
可得对x∈[1，2]恒成立，或对x∈[1，2]恒成立，
由在x∈[1，2]递减，可得的最大值为，可得；
由在x∈[1，2]递增，可得的最小值为﹣，可得，
则或②，
由①②可得a的取值范围是
7．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）时，函数，分类讨论去掉绝对值号，即可求解；
（2）由的解集包含，得到恒成立，在根据绝对值的定义，得到恒成立，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数，
当时，等价于，该不等式恒成立，
当时，等价于，该不等式不成立，
当时，等价于，解得.
所以不等式的解集为.
（2）由的解集包含，
即时恒成立，即恒成立，
即恒成立，即恒成立，
所以，解得或
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，绝对值的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用零点分界法，去绝对值即可求解.
（2）利用零点分界法去绝对值，讨论函数的单调性，根据最大值即可确定实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，即，
当时，整理可得，此不等式恒成立，故，
当时，整理可得，解得或，故或，
综上所述，不等式的解集为：或
（2），
当时，，
当时，，
当时，，
当时，在时，，
在时，，
在时，，显然的最大值为3，
当时，为单调递减函数，，
为单调递减函数，，即，
为单调递增函数，，则的最大值为3，
当时，为单调递增函数，，
显然没有最大值.
综上所述，实数的取值范围.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法、根据分段函数的最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
9．（1）；（2）
【解析】
（1）解含绝对值不等式得到集合A，解含参不等式得到集合B，利用，再结合数轴列出关于的不等式，求得的取值范围；
（2）分类讨论和，再结合数轴列出关于的不等式，，求出的取值范围.
【详解】
不等式等价于或 或
分别解不等组得：或或
，，，即或
方程的两个根为，
，利用数轴表示集合，如图所示
若时，必有，此时需，解得，此时无解；
若时，由数轴可知：，解不等式得，即
综上，若，的取值范围是
（2），
①当时，即，解得，满足，符合；
②当时，即或，由（1）知，利用数轴表示集合，如图所示：
若时，必有，集合B出现在位置，此时需，解得，取交集；
若时，必有，集合B出现在位置，此时需，若时，不等式无解；若时，转化为，解得，取交集此时无解，所以不符合；
综上，若，的取值范围
【点睛】
易错点睛：本题考查解绝对值不等式，含参不等式，利用集合关系得到关于b的无理不等式，无理不等式一般利用平方法和分类讨论法解答，但无理不等式转化为有理不等式，要注意平方得条件和根式有意义的条件，一般情况下：等价于或
10．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先判断分母恒大于0，进而将分式不等式转化为二次不等式即可得解；
（2）根据绝对值不等式的意义及二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】
（1）
所以不等式的解集为
（2）因为不等式的解集为R，
在R上恒成立，
即在R上恒成立，
所以的取值范围是
【点睛】
思路点睛：本题考查了解分式不等式，及利用不等式恒成立求参数问题，解题时要将分式不等式及绝对值不等式转化为二次不等式，再利用二次函数的性质解题即可，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.
11．(1)①；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①分别讨论和两种情况，进而解出不等式即可；②问题可转化为，进而结合二次函数的图象解得答案；
（2）利用三角不等式求出的最小值，进而得到答案.
(1)
①，，
若，则，所以；
若，则，所以.
综上：.
②时，，则，
令，于是.
(2)
因为，
所以.
12．(1);(2).
【解析】
(1) ,则临界点为,分别讨论,,,去掉绝对值号,即可求解.
(2) 当时可知对任意恒成立;当时, 通过讨论 的不同取值,,去掉绝对值号,求出的最小值,从而可求 的取值范围.
【详解】
解:(1)当时,.
当时,原不等式可化为,解得.结合得,此时.
当时,原不等式可化为,解得,结合得,此时不存在.
当时,原不等式可化为,解得,结合得,此时.
综上,原不等式的解集为.
(2)由于对任意恒成立,故当时
不等式对任意恒成立,此时.
当,即或时,由于,记
下面对分三种情况讨论.
当时,,在区间内单调递减.
当时,,在区间内单调递增.
当时,,在区间内单调递增.
综上,可得.要使得对任意恒成立,只需
即,得.结合或,得.
综上,的取值范围为.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法,考查了不等式恒成立问题.解含绝对值的不等式时,常用的方法有分类讨论法、几何意义法、图像法等.对于不等式恒成立问题,常转化为函数的最值,若 恒成立,则求 的最小值,使;若恒成立,则求的最大值,使.
13．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论解不等式，再取并集；
（2）分类讨论求出函数的最小值，可知，利用基本不等式知，再利用柯西不等式及不等式的性质即可证得结论.
【详解】
（1）当时，，得；
当时，，得；
当时，，得，
综上，原不等式的解集为．
（2）由（1）可知，当时，；
当时，；当时，．
故的最小值，则．
于是，则，当且仅当，时，等号成立.
．
当且仅当即，时取“=”
所以，．
【点睛】
方法点睛：本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，解绝对值不等式常用分类讨论法解不等式再取并集，考查学生的转化能力是以及计算能力，属于一般题.
14．(1)
(2)当时，；当时，；当时，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，去绝对值讨论，即可求解；
（2）根据题意，去绝对值转化为分段函数，结合图象交点，即可求解.
(1)
根据题意，由，得.
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
(2)
根据题意，得.
（i）当时，函数，
易知函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，直线与函数的图象有三个交点，
，，，
当时，，可知，
又，即恒成立；
①当时，即当时，令，解得或（舍），此时，，即；
②当时，即当时，令，可得（舍）或，此时，，即；
（ii）当时，函数，
函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，直线与函数的图象有三个交点，
，，，
由（1）可知，可知，又，即恒成立；
令，解得（舍）或，
此时，，即；
（iii）当时，函数，
函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，直线与函数的图象有三个交点，
，，，
同理可知，可知，又，即恒成立；
①当时，即当时，令，解得或，此时，；
②当时，即当时，令，可得或（舍），此时，.
综上所述，当时，；当时，；当时，.
【点睛】
15．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1)代入解析式,结合x的不同范围，去绝对值，计算x的范围，即可．（2）得到解析式，结合单调性，计算最小值，计算a，即可．
【详解】
(Ⅰ)，即 或 ，
∴实数的取值范围是.
(Ⅱ)∵，∴，∴，
易知函数在时单调递减，在时单调递增，
∴.
∴，解得.
【点睛】
本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．
16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求出得到，再证明，即得函数在上单调递增；
（Ⅱ）由题得，令，证明，再证明，即得.
【详解】
（Ⅰ）由题得，
又.
在上是增函数，
，
∴函数在上单调递增.
（Ⅱ）.
令，则.
令可得，令可得.
在上单调递减，在上单调递增.
，
又时，.
.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数证明函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查绝对值三角不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．(1)见解析；
(2)见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)由不等式的性质得a＋b＝2，再由基本不等式变形可得结果；
(2)由基本不等式进行证明﹒
(1)
≥|(x＋a)－(x－b)|＝|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)≤0时取等号，
∵，∴|a＋b|＝a＋b，∴由题可知a＋b＝2，
∴，
∴
∴，∴；
(2)
由(1)知a＋b＝2，a＞0，b＞0，∴，即，∴，
∴，
∴，即﹒
18．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.
（2）求出函数的最小值，即得出，结合所要证明的不等式，联想到基本不等式进行求解.
【详解】
(1)解:由题可得，
所以
即或或
解得或
所以不等式的解集为.
证明:，
则
则，
故
当且仅当时取等号.
【点睛】
（1）解双绝对值不等式的办法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集.
（2）利用求出最小值，即特别要结合所证明的不等式的特点来进行变形，以应用基本不等式解决问题，抓住特点是核心.
19．(1)或
(2)
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）写出分段函数解析式，把原不等式转化为不等式组，求解后取并集得答案；
（2）由（1）求出值，利用“1”的代换及基本不等式求最值．
（3）根据的范围分类讨论，分别求出对应数列为等差数列（或局部等差数列），求和即可得解.
(1)
，
若，即或或，
解得或或．
不等式的解集为或；
(2)
由（1）知，当时，，即，
，
当时取等号，即所求最小值为．
(3)
①当时，
，解得，
，解得，
依次类推，有，此时
故即
故当时，；
当时，
，
故.
当时，
，解得，
，解得，
所以，解得，
依次类推，有，，此时
故 ，
所以，
当时，
，
故此时.
②当时，
，解得，
所以，解得，
故当时，，
即当时，是以为公差，为首项的等差数列，
故当时，，
当时，，
，
③当时，
由可得，
即是以为公差，为首项的等差数列，
所以.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式即可；
（Ⅱ）利用绝对值不等式性质，可得，所以，
即，所以，再根据基本不等式的应用，积定和小，即可得解.
【详解】
（Ⅰ），即.
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，无解.
综上，原不等式的解集为.
（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，，
，即，
所以，
所以，
当且仅当，时取“=”，
原不等式得证.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解及性质，考查了基本不等式求最值，考查了转化思想，考查了计算能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页