2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——坐标系与参数方程(word(版含解析)

坐标系与参数方程
1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.
2．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.
3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.
4．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）设为参数，若，求直线的参数方程及曲线的普通方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且依次成等比数列，求实数的值．
5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，直线与曲线交于两点，若，求的值.
6．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标是.
（1）求直线的极坐标方程及点到直线的距离；
（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积.
7．已知曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数．
判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；
若直线l和曲线C相交于A，B两点，求．
8．已知圆O：x2＋y2=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得的弦长为，且与x轴的交点为双曲线E：=1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线y=kx＋m（k＜0，k≠﹣，m＞0）交y轴于点P，交x轴于点Q，交双曲线右支于点M，N两点，当满足关系时，求实数m的值．
9．在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
1写出曲线C的直角坐标方程；
2已知点，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值．
10．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)已知直线的参数方程为（为参数，），点，并且直线与曲线交于两点，求.
12．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线经过点,倾斜角为.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.
13．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，，且线段的中点为，求.
14．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
（2）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．
15．具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值；
（2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
(2)若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
17．试求函数的最大值、最小值.
18．若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(为参数)．
若曲线上存在M，N两点关于直线l对称，求实数m的值；
若直线与曲线相交于P，Q两点，且，求实数m的取值范围．
19．在极坐标系中，已知圆的圆心，且圆经过点.
（1）求圆的普通方程；
（2）已知直线的参数方程为（为参数），，点，直线交圆于两点，求的取值范围.
20．在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,且直线的倾斜角为．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若直线与圆相交于两点,求弦的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由可得曲线的直角坐标方程为；用消参法消去参数，得直线的普通方程.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.
【详解】
（Ⅰ）由（为参数），消去参数，得直线的普通方程.
由，得曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程为（为参数），
代入，得.
则，.
∴，
.
所以，的值为，定点到，两点的距离之积为.
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程.
2．（1）C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0，C2的普通方程为x2＋y2＝1；
（2）.
【解析】
（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C1的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3C3的参数方程为为参数），设N（2cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，求得d有最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，
即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，
所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.
因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，
故C2的普通方程为x2＋y2＝1.
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，
则曲线C3的参数方程为为参数）.
设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离
（其中满足）
当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，
所以|MN|的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
3．（1）：，：； （2）2.
【解析】
【分析】
（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；
（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，
消去参数，可得普通方程为，即，
又由，代入可得曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，点点的极坐标为，
则，
因为，所以，即，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由题意，可得,
则，
即，
当，可得的最小值为2.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
4．（1）的参数方程为(t为参数)，的普通方程为；（2）.
【解析】
【分析】
(1)结合题意直接利用转换关系，将直线的普通方程转换成参数方程，将极坐标方程转换成普通方程；(2)利用直线和曲线的位置关系以及一元二次方程根与系数的关系和直线的几何意义即可求得答案.
【详解】
(1)由题意将代入，得
所以的参数方程为(t为参数)；
由和余弦的二倍角公式，可得，
令代入化简可得：，
所以曲线的普通方程为：.
(2)将直线的参数方程代入整理得：
设对应的参数为分别为，且为上述方程的两实根，则有：
由题知P点在直线上并且依次成等比数列可得：
则可得，由，
代入整理得：，又，则解得.
【点睛】
本题考查了普通方程、参数方程与极坐标方程之间的转换，考查了利用直线和曲线的位置关系以及一元二次方程根与系数的关系求取参数的问题，属于中档题.
5．(1)；(2)或
【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式，，即可得到答案；
(2)将的极坐标化为直角坐标可知直线经过点，把直线的参数方程代入，由直线的参数方程中的几何意义可得的值，再结合，即可求出的值．
【详解】
(1)由曲线的极坐标方程为，得，
将，及
代入得，即.
(2)点的直角坐标为，所以直线经过点，
所以将代入，得.
则，解得，
因为，所以或.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程中参数的几何意义，本题中求的关键是联立直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义结合根与系数关系求解．
6．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由消去，得到，再利用，求得极坐标方程，然后利用直线的极坐标方程求点到直线的距离.
（2）由曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到，利用韦达定理及弦长公式求得，再由求解.
【详解】
（1）由消去，得到，则，∴
所以直线的极坐标方程为．
所以点到直线的距离为．
（2）由得，设，，
所以，，所以；
所以的面积.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，点到直线的距离以及三角形的面积，解题的关键是利用极坐标的几何意义求弦长，考查了学生的运算求解的能力，属于中档题.
7．(1) 直线l与曲线C相交.(2)
【解析】
【分析】
把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点，求出该点到圆心的距离，与半径比较即可判断出位置关系；
把参数方程分别化为普通方程，联立方程得到关于x的一元二次方程，利用两点间的距离公式即可得出．
【详解】
曲线C的极坐标方程为，
，
曲线C的直角坐标方程为，即，
直线l过点，且该点到圆心的距离为，
直线l与曲线C相交．
依题意得：，
解得
则即．
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程、弦长公式、直线与曲线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．(1)；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)设出直线的方程，用垂径定理求出其与圆相交的弦长，从而解得直线的方程，令其y为零，求与x轴的交点，再结合双曲线离心率即可求得双曲线方程；
(2)本题可设直线的参数方程，从而利用直线参数方程下的弦长公式，代入化简即可解出m的值﹒
(1)
当过点A(1，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
由弦长为2，不满足题意，故直线斜率存在，设斜率为n，
则过点A(1，1)的直线为y﹣1＝n(x﹣1)，
即为nx﹣y＋1﹣n＝0，
圆心O到直线的距离为，
由圆的弦长公式可得，
解得，由，解得n＝﹣2或．
则有直线为y﹣1＝﹣2(x﹣1)，令y＝0，则x＝1.5＜2舍去，
或直线y﹣1＝(x﹣1)，令y＝0，则x＝3＞2成立，
即有c＝3，
由离心率为，即有a＝2，．
则双曲线E的方程为；
(2)
设直线y＝kx＋m(k＜0，，m＞0)的参数方程为(t为参数)，
则令y＝0，则有，(m＞0，sinα＞0)．
即有，
将参数方程代入双曲线的方程可得5t2cos2α﹣4(m＋tsinα)2﹣20＝0，
整理可得(5cos2α﹣4sin2α)﹣8mtsinα﹣4m2﹣20＝0，
则有，
由，以及M，N在P的下方，则可设|PM|＝﹣t1，|PN|＝﹣t2，
即有，
即有，
即有4m2＋20＝8m2，
由m＞0，解得．
【点睛】
(1)圆的弦长的常用几何法求解：圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，一般要用到根与系数的关系，有时可以考虑使用直线的参数方程与圆锥曲线的方程联立，利用直线参数方程里面参数的几何意义来求弦长﹒
9．（1）；（2） .
【解析】
【详解】
（1）
；
（2）将直线的参数方程化为标准形式：（为参数），
代入曲线的方程得，
则
10．（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
11．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）消去参数t即可得到直角坐标方程；
（2）直线的参数方程化为标准式，再代入，利用t的几何意义即可求解.
(1)
，且，，即
且
曲线的普通方程.
(2)
把直线的参数方程化为标准式为为参数，，
代入，得到.
所以，
12．（1） 的直角坐标方程为 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解.
【详解】
（1）的参数方程为（为参数），即（为参数）.
由，得，∴，
从而有，
∴的直角坐标方程为.
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得.
此时.
设两点对应的参数分别为，则，，
∴
.
【点睛】
本题主要考查了直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标与直角坐标的相互转化，属于中档题.
13．(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【详解】
试题分析：（I）由极坐标与直角坐标互化的关系式 可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中，为中点，由的几何意义知故得到关于的方程，求出倾斜角.
试题解析：
（I）曲线,即,
于是有,
化为直角坐标方程为:
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.
方法3: 设,则由是的中点得
,
∵,∴,知
∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以.
14．（1）曲线C的极坐标方程为；曲线D的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
（1）由曲线C的参数方程，利用三角函数的基本关系式，求得曲线C的普通方程，结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的极坐标方程和曲线D的直角坐标方程；
（2）根据题意，求得直线l的参数方程为为参数），代入曲线C的方程，结合一元二次方程根与系数的关系得，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C的参数方程为为参数），即为参数）
平方相加，可得曲线C的普通方程为，
将代入曲线C的普通方程
可得曲线C的极坐标方程为，
又由曲线D的极坐标方程为，
所以，
又由
所以，
所以曲线C的极坐标方程为，
曲线D的直角坐标方程为.
（2）由点，则，即点A（2，2）．
因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，
所以直线l的参数方程为为参数），代入，
可得，
设M，N对应的参数分别为，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15．（1）证明见解析；（2）或，．
【解析】
【分析】
（1）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，再根据抛物线的方程表达出的解析式证明即可
（2）根据圆锥曲线的参数方程将A、B的坐标用三角函数表示，从而使求的范围问题转化为三角函数值域的求法即可
【详解】
解：（1）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，则．
当时，（），，
即；
当时，（），．
即；∴为定值．
（2）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧或椭圆弧上加以分类．由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），
当时，，此时，．
当时，A在椭圆弧上，由题设知代入，
得，整理得，
解得或（舍去）．
当时，A在抛物线弧上，由方程或定义均可得到，于是．
综上，或．
相应地，．
①当时，A在抛物线弧上，B在椭圆弧上，
；
②当时，A在椭圆弧上，B在抛物线弧上，
；
③当时，A、B在椭圆弧上，
．
综上，．
16．(1)，；(2).
【解析】
(1) 已知直线的极坐标方程，运用互化公式，，即可求出直角坐标方程.将曲线的参数方程进行消去参数，即可得出曲线的普通方程.
(2) 利用曲线的参数方程表示出点坐标，再写出点的直角坐标，便得出中点坐标，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离的最大值.
【详解】
(1)∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.
(2)设.
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.
17．的最大值，最小值为
【解析】
【分析】
由于可以看作经过点和点的直线的斜率，而点P的轨迹是椭圆，因此的最值就是过点与椭圆上任一点的直线斜率的最值
【详解】
设，是椭圆的两条切线，如图所示，
点坐标为,由椭圆的参数方程可得
故的最大值为，的最小值为，
设过与椭圆相切的切线方程为.
由，
消去，得，
由得，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以.
所以，
所以的最大值的最小值为.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换进一步利用对称关系的应用求出结果．
利用直线和圆的位置关系的应用建立不等量关系求出参数m的取值范围．
【详解】
解：直线l的极坐标方程为，
化为直角坐标方程得．
曲线C的参数方程为为参数．
化为普通方程得．
从而得到圆心为，半径为3．
根据题意知圆心在直线l上
则，
即．
设圆心到直线l的距离为d，
则．
所以解得由点到直线距离公式得：
解得或，
又直线与圆必须相交，则即
解得．
综上，满足条件的实数m的取值范围是．
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出的直角坐标，求出后可得圆的直角坐标方程.
（2）根据直线的参数方程和圆的方程可以得到，利用参数的几何意义可得，根据可得的取值范围.
【详解】
（1）∵的直角坐标为， 的直角坐标为，
∴圆C的半径为，∴圆C的直角坐标方程为.
（2）将代入圆C的直角坐标方程，
得，即，
∴，
∴.
∵，∴，∴，
即弦长的取值范围是.
【点睛】
本题考查点的极坐标与直角坐标的互化以及直线参数方程的应用，两类坐标互化可利用来沟通两者之间的坐标关系，而直线的参数方程有很多种，若直线的参数方程为 （其中为参数），则要注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．本题属于中档题.
20．(1)，；(2).
【解析】
【详解】
（1）依题意,当倾斜角时,直线的参数方程为(为参数),
消去参数得直线的普通方程为；
将圆的极坐标方程化为,
把,代入上式,
可得圆的直角坐标方程为,即．
（2）法1:将直线的参数方程(为参数),代入圆的直角坐标方程中,化简得．
设交点所对应的参数分别为,
由根与系数的关系得.
由直线参数方程中的几何意义知,．
法2:由（1）知,圆的直角坐标方程为,
所以圆心为,半径,
所以圆心到直线的距离,
故．
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