2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——坐标系与参数方程3

坐标系与参数方程
1．已知平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且过点以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程并说明其轨迹；
（2）若直线与曲线相交于两点，求.
2．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求和的极坐标方程；
（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线的极坐标方程为：，点，参数.
（1）求点轨迹的直角坐标方程；
（2）求点到直线距离的最小值.
4．A在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的方程为以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求
已知不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若，求证：
5．若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(为参数)．
若曲线上存在M，N两点关于直线l对称，求实数m的值；
若直线与曲线相交于P，Q两点，且，求实数m的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
7．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，射线与的交点为（异于极点），与的交点为（异于极点），若，求的值．
8．己知是圆O的一条直径，且，点C、D是圆O上的两个动点．
（1）若点C满足_______，求的取值范围：（在①，②锐角面积为，③这三个条件里任选一个补充在上面问题中，并作答）
（2）求的取值范围．
9．已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线的极坐标方程；
（2）曲线分别交直线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．
10．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）直线上有一点，设直线与曲线相交于两点，求的值.
11．已知直线为参数，)经过椭圆为参数）的左焦点．
（1）求的值；
（2）设直线与椭圆交于两点，求的最小值．
（3）设的三个顶点在椭圆上，求证，当是的重心时，的面积是定值．
12．选修4-4：坐标系与参数方程
将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．
13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
14．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数，曲线上的点的极坐标分别为．
（1）过O作线段的垂线，垂足为H，求点H的轨迹的直角坐标方程；
（2）求两点间的距离的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程；
（2）过曲线上一点作直线与曲线交于两点，中点为，，求的最小值.
16．某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.己知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.
17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为．
(1)求，的极坐标方程；
(2)设点C的极坐标为(2，0)，求△ABC面积的最小值．
18．已知，，求函数的最小值
19．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ＝4，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）与曲线C交于O，M两点．
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）若射线l′与直线l交于点N，求的取值范围．
20．试求函数的最大值、最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）曲线的普通方程为，其轨迹是以为圆心，为半径的圆.（2）
【解析】
【分析】
（1）用公式直接代入即可.
（2）设出的参数方程，利用参数的几何意义求解即可.
【详解】
解：曲线的极坐标方程为
即
也就是
即得，
即得
故曲线的普通方程为
其轨迹是以为圆心，为半径的圆.
由条件可设直线的参数方程: (为参数)，
将代入
化简并整理，得
设对应的参数分别为，
则且
因此
故所求的的值为.
【点睛】
知识：极坐标方程转化为普通方程和参数方程中参数的几何意义求距离.能力：逻辑思维能力和运算求解能力.中档题.
2．（1）；（2）
【解析】
（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；
（2）利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.
【详解】
（1）因为，所以的普通方程为，
又，，，
的极坐标方程为，
的方程即为，对应极坐标方程为.
（2）由己知设，，则，，
所以，
又，，
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值.
所以，的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力.
3．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设点，则且参数，消去参数得点轨迹的直角坐标方程
（2）由可得直线的直角坐标方程为，点到直线的距离：，再利用三角函数的单调性即可得出点到直线距离的最小值.．
试题解析：
（1）设点，则且参数，消去参数得点轨迹的直角坐标方程为.
（2）∵，∴，即，所以直线的直角坐标方程为，点到直线的距离：
又时，所以当时，.（也可用代数法）
4．（1）见解析；（2）.（1）;（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：A（1）先消参转化为普通方程，再利用普通方程与极坐标的转化公式转化为极坐标；（2）根据极坐标中的几何意义，证明即可.B（1）分区间去绝对值号解不等式即可；（2）利用均值不等式证明.
试题解析： （1）曲线的普通方程为,则的极坐标方程为,由于直线过原点,且倾斜角为,故其极坐标为(或).
（2）由,得,故
（1）由,得或,解得
（2）由（1）知
当且仅当即时取等号,,即
5．（1）（2）
【解析】
【分析】
直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换进一步利用对称关系的应用求出结果．
利用直线和圆的位置关系的应用建立不等量关系求出参数m的取值范围．
【详解】
解：直线l的极坐标方程为，
化为直角坐标方程得．
曲线C的参数方程为为参数．
化为普通方程得．
从而得到圆心为，半径为3．
根据题意知圆心在直线l上
则，
即．
设圆心到直线l的距离为d，
则．
所以解得由点到直线距离公式得：
解得或，
又直线与圆必须相交，则即
解得．
综上，满足条件的实数m的取值范围是．
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
6．（1）圆C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0；（2）；4.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数t，即可求得圆C的普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l的直角坐标方程；
（2）设点P的坐标为（－5＋cost，3＋sint），求得点P到直线l的距离的最小值dmin＝，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由为参数），消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为.
由，得，
又由，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
（2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（－2，0），B（0，2），
化为极坐标为，
设点P的坐标为（－5＋cost，3＋sint），
则点P到直线l的距离为 ,
所以dmin＝，又.
所以△PAB面积的最小值是.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7．（1）是圆心为，半径为的右半圆，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极坐标的几何意义和三角函数关系式求解.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为，
所以是圆心为，半径为的右半圆，
所以的直角坐标方程为，
由，，，得，
所以的极坐标方程为．
（2）设，，
∵，∴，，
，
，
因为，
所以或（舍）．
【点睛】
方法点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式；直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用.
8．（1）选① 选② 选③ （2）
【解析】
【分析】
（1）以圆心O为原点，以为轴，过O作直径的垂直平分线为建立平面直角坐标系，则,设若选①. 不妨取，由向量的数量积的坐标表示可得的式子，结合三角恒等变形可得解；若选②. 由,得，不妨取，由向量的数量积的坐标表示可得的式子，结合三角恒等变形可得解；若选③. 由，即点在圆 由，不妨取，由向量的数量积的坐标表示可得的式子，结合三角恒等变形可得解；
（2）设，，则由向量的数量积的坐标表示可得，当时，
可化为，由三角函数的最值结合二次函数的最值可解，再讨论时的情况.
【详解】
以圆心O为原点，以为轴，过O作直径的垂直平分线为建立如图所示的平面直角坐标系.
由，则圆的方程为
则
(1)若选①. ,即,不妨取，设
则，
由，则
若选②. 由,得，
由点在圆上，则，
又为锐角三角形,则，不妨取
则，
，所以
若选③. 由，即点在圆
由，解得，，不妨取
则，
所以
（2）设，
，
当时，
若，则，则
若，则
当时，
， 其中
所以
又
设，
又
设
则，
综上可得的取值范围是
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的数量积的范围问题，考查圆的参数方程以及三角恒等变形化简求最值问题，解答本题的关键是建立平面直角坐标系，将之变为的向量数量积的坐标运算，即设，，则，利用辅助角公式得到
可化为，属于难题.
9．（1）．．（2）时，取得最大值．
【解析】
（1）利用消参法将直线参数方程化为普通方程，利用互化公式和，将直线和曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；
（2）由（1）得直线的极坐标方程为，令，得出，，进而得出，利用降幂公式和辅助角公式，化简得，即可求得的最大值及相应的的值．
【详解】
解：（1）由题可知，直线l的参数方程为（为参数），
消去参数，得出直线的普通方程为：，
利用互化公式，
则直线的极坐标方程为：，
由于曲线的普通方程为：，即：，
的极坐标方程为．
（2）直线的极坐标方程为，令，
则，即，
又，
，
即：
，
，即当时，取得最大值．
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将直角坐标方程化为极坐标方程，以及利用三角函数求最值，还涉及降幂公式和辅助角公式的应用，考查计算能力.
10．（1），；（2）
【解析】
【详解】
分析：第一问首先利用平方关系将参数消掉，将其化为普通方程，将与直线l的极坐标方程对比，代入，即可得其直角坐标方程；第二问将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得两根积，结合直线参数方程中其几何意义求得结果.
详解：（1）曲线的参数方程为（为参数），利用可得普通方程：，由直线的极坐标方程为，可得直角坐标方程为：
（2）由于在直线上，可得直线的参数方程：（为参数）代入椭圆方程可得：，，所以
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，应用直线的参数方程中参数的几何意义求其有关线段所满足的条件，要认真分析，细心求解.
11．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
（3）利用三角形的面积公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为椭圆的普通方程为，所以．
因为直线的普通方程为，
其中．又直线过点，所以．
（2）将直线的参数方程代入椭圆的普通方程中，
整理得．
设点在直线参数方程中对应的参数分别为，
则，
当时，取得最小值，为．
（3）法一：设
，因为为的重心，
所以，得
所以
．
（也可
）
法二：设，
则有，代入椭圆得，
所以
，所以，
所以的面积是定值．
12．（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求出的参数方程，即可求出的普通方程；（2）建立适当的极坐标系，可得的极坐标方程，设极坐标，代入，可得其值．
(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，
则有

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，
曲线C化为极坐标方程得：，设A（），B（），
则|OA|=，|OB|=．则===.
13．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）消去参数，即可求得曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）以直线参数方程解决有关线段长的问题简单快捷.
(1)
由（为参数），得，
即曲线C的普通方程为．
由，得，
即直线l的直角坐标方程为．
(2)
将直线l的方程转化为参数方程（t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得．
设A，B对应的参数分别是，，则，，
故．
14．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先将线的参数方程化为直角坐标方程，的极坐标化为直角坐标，代入曲线方程，化简得，再根据三角形中等面积法，得到，从而得H的轨迹是圆，得到点H的轨迹的直角坐标方程；
（2）表示出两点间的距离，再设，利用关系式，将也用表示出来，则可得，，再构造函数，利用导数研究函数的性质，求出两点间的距离的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为所以曲线的普通方程为．
因为曲线上的点的极坐标分别为，
所以点的直角坐标分别为
，
代入曲线的方程得，
所以，
所以两个式子相加得．
由题意可知，所以，
所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹的方程为．
（2）两点间的距离为，设，则，
令函数，
所以，所以在区间上是减函数，
在区间上是增函数． 又，
所以函数的最大值为13，最小值为，
所以两点间的距离的取值范围是．
【点睛】
本题考查了参数方程转化为普通方程，极坐标的意义与应用，结合考查了轨迹方程的求法，利用导数研究函数的性质，求函数的值域，还考查了学生的分析能力，观察能力，运算能力，难度较大.
15．（1）（2）
【解析】
（1）根据曲线的参数方程，得出，则，而，两式相除整理得，再代入，即参数方程和普通方程之间进行转换，消去参数，即可得出曲线的普通方程；
（2）设圆心到直线的距离为，由于，利用直线与圆的弦长公式求出，由，将求的最小值转化为最小，进而转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出，即可求出的最小值．
【详解】
解：（1）已知曲线的参数方程：（为参数），
由，得，
即，又，
两式相除得：，整理得，
代入，得，
整理得，即为曲线的普通方程.
（2）设圆心到直线的距离为，
则，∴.
由于，
当最小时，最小，因为的最小值为圆心到直线的距离，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，以及点到直线距离公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力．
16．(1)；
(2)，，，；
(3)存在，或，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设双曲线的标准方程为，易知，设，，代入求解即可；
（2）分析圆，圆的方程即可求解；
（3）利用圆的参数方程，设，，利用，即可求解，再利用线段PQ上任意一点的特征证明点在曲面上；
(1)
设双曲线的标准方程为，由题意知，
点，的横坐标分别为，，
则设点，的坐标为，，，，
，解得，，
又塔高米，，解得，
故所求的双曲线的方程为．
(2)
点在圆上，；点在圆上，；
圆，其半径为，；圆，其半径为，
(3)
存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.
由点在半径为的圆上，（为参数）；
点在半径为的圆上，（为参数）；
由已知得，
整理得
两式平方求和得，
则或
当时，，
当时，
证明：，则，
利用，，其中
又曲面上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点，
旋转直角坐标系，保持原点和y轴不变，点所在的轴为轴，
此时，满足，即
即点是曲面上的点.
17．（1）的极坐标方程为ρ=2sinθ；的极坐标方程为ρsinθ=3．（2）△ABC面积的最小值为1．
【解析】
【分析】
(1)根据公式，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行相互转换．
(2) 利用（1）的结论，结合三角形的面积公式、三角函数的值域即可求出结果．
【详解】
(1) 曲线的参数方程为(为参数)
转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1．
展开后得x2+y 2-2y=0
根据ρ2= x2+y 2， y=ρsinθ
代入化简得的极坐标方程为ρ=2sinθ
设点B的极坐标方程为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），
则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，
由于满足|OA| |OB|=6，
则，整理得的极坐标方程为ρsinθ=3
(2) 点C的极坐标为(2，0)，则OC=2
所以当时取得最小值为1
【点睛】
本题考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转换，三角形面积公式的综合应用，考查对知识的运用和计算能力，属于中档题．
18．.
【解析】
【分析】
设，，且，可得圆弧：（，）；又设，，且，可得等轴双曲线一支：（，），于是函数z的几何意义为两条曲线上的点之间距离的平方，进而画出简图，通过数形结合得到答案.
【详解】
设，，且，可得圆弧：（，）；又设，，且，可得等轴双曲线一支：（，），于是函数z的几何意义为曲线上的点与曲线上的点之间距离的平方.如图所示，设过圆心的直线与曲线、分别交于A、B两点.由图可知||的平方为z的最小值，即.
19．（Ⅰ）直线l的直角坐标方程，曲线C的参数方程.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．
（Ⅱ）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可.
【详解】
解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＝4，
∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
∴曲线C的参数方程为，（α为参数）．
（Ⅱ）设M（ρ1，β），N（ρ2，β），则ρ1＝2cosβ+2sinβ，，
∴＝＝＝
＝＝++，
∴，
∴的取值范围是（]．
【点睛】
本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
20．的最大值，最小值为
【解析】
【分析】
由于可以看作经过点和点的直线的斜率，而点P的轨迹是椭圆，因此的最值就是过点与椭圆上任一点的直线斜率的最值
【详解】
设，是椭圆的两条切线，如图所示，
点坐标为,由椭圆的参数方程可得
故的最大值为，的最小值为，
设过与椭圆相切的切线方程为.
由，
消去，得，
由得，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以.
所以，
所以的最大值的最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页